Ước chung lớn nhất và số mũ đúng trong một số bài toán Tổ hợp - Lê Phúc Lữ

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP I. Các kiến thức cần nhớ. Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng lập luận số học hoặc dùng thuật toán Euclid. Các ví dụ minh họa. 1) Trên trục số, các điểm n[r]

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP

I Các kiến thức cần nhớ

1 Cho a b, là các số nguyên dương Khi đó, đại lượng axby được gọi là tổ hợp tuyến tính của ,

a b Gọi S là tập hợp các số như thế và có giá trị nguyên dương Khi đó, min Sd với ( , )

d  a b là UCLN của a b, Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng lập luận số học hoặc dùng thuật toán Euclid

2 Cho a b, 

  và p là số nguyên tố Khi đó v a là số mũ đúng của p( ) p trong phân tích tiêu

chuẩn của a và ta có v p ab v a p( )v b p( ), nếu a b| thì v p b v b p( ) v a p( )

a

 

 

3 Công thức Legendre: cho p nguyên tố và n nguyên dương, khi đó  

1

!

k

n

v n

p





4 Số hoán vị của n đối tượng, trong đó có k đối tượng giống nhau là !

!

n

k Đặc biệt, số hoán vị

của một chuỗi nhị phân độ dài a và có b số 1 là !

b a

a

C

b a b 

II Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1

1) Trên trục số, các điểm nguyên được đánh các số từ 1 đến k sao cho mỗi đoạn thẳng có độ dài

2m thì trung điểm của nó được đánh số bằng trung bình cộng số của hai đầu mút Tính số các

cách đánh số

2) Thay điều kiện trên bởi đoạn thẳng có độ dài 2m hoặc độ dài 2n

Lời giải

1) Gọi A i( ) là điểm nguyên có tọa độ i trên trục số Nếu số nhỏ nhất được dùng là a thì không mất tính tổng quát, giả sử nó được đánh cho A(0) Khi đó, dễ thấy 2 số A m A( ), (m) có trung bình cộng là a nên cũng đều được đánh số a Từ đó, suy ra các số A km( ) được đánh cùng 1 số

Lập luận tương tự, suy ra các vị trí có cùng số dư khi chia cho m được đánh cùng một số và các

vị trí khác số dư thì được đánh số độc lập với nhau Vậy số cách đánh số là k

m 2) Đặt d ( , )m n thì lập luận tương tự, các số A i( ) và A i( xmyn) được đánh cùng một số

Và do ta có giá trị nhỏ nhấtmin xm ynd nên số cách đánh số là m

d

Ví dụ 2

1) Hỏi có tồn tại hay không số nguyên dương n  sao cho có một hoán vị của n số nguyên 2

dương đầu tiên thỏa mãn: 2 số liên tiếp trong hoán vị chênh lệch nhau là 2014 hoặc 2016? 2) Câu hỏi tương tự khi thay bởi 2014 và 2016 bởi 2015 và 2016?

Lời giải

1) Không tồn tại vì tất cả các số trong hoán vị đều cùng tính chẵn lẻ, vô lý

2) Xét số 4031 2015 2016  và hoán vị cần tìm là: 1, 2017, 2, 2018, 3, 2019, , 2015, 4031, 2016 (tăng 2016, giảm 2015)

Ví dụ 3

1) Cho một đa giác đều có 2015 đỉnh và ban đầu, tất cả các đỉnh đều được tô xanh Ở mỗi bước,

ta được quyền chọn 2 đỉnh liên tiếp và đổi màu chúng: từ xanh sang đỏ và đỏ sang xanh Hỏi có thể đổi tất cả các đỉnh của đa giác sang màu đỏ được không?

2) Câu hỏi tương tự nếu thay 2 bởi 3?

Lời giải

1) Xét bất biến: tính chẵn lẻ của số đỉnh xanh Dễ thấy mỗi lần thao tác, các đỉnh xanh tăng 2, giảm 2 hoặc không đổi Ban đầu có 2015 (lẻ) đỉnh xanh, không thể đạt được trạng thái 0 (chẵn) đỉnh xanh được để toàn bộ đỉnh là đỏ được

2) Câu trả lời là khẳng định Ta chuyển các nhóm như sau:

(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (2015,1, 2) Mỗi đỉnh được đổi màu đúng 3 lần, nên toàn bộ sẽ được chuyển sang màu đỏ

Ví dụ 4

1) Chứng minh rằng C chia hết cho i p p nếu 1 i p1

2) Chứng minh rằng

2n

k

C là số chẵn với mọi số nguyên dương k thỏa 1k2n 1

Lời giải

!( )!

i

p

p C

i p i



 , tử chia hết cho p, trong khi mẫu gồm tích các số bé hơn p nên nguyên

tố cùng nhau với p Suy ra i

p

p C với i1,p 1

2) Đặt k 2m t với t lẻ và 0m Khi đó, ta có n

(2 )!

!(2 )!

n

n

n



n

v            

và

2 2 2 1

m n





Điều này đúng do nhóm tổng số hạng thứ 2 có 2 ,2 2

t  t

  với im và ta biết rằng nếu ,

x y   thì [ ] [ ] x  y   Từ đây suy ra x y

2 2n 0

k

v C  hay

2n

k

C là số chẵn

Chú ý rằng ta có thể tổng quát thành: Biểu thức C là số chẵn khi và chỉ khi n k v n2( )v k2( )

III Các bài tập áp dụng

Bài 1 Một xâu nhị phân được gọi là đẹp nếu như số hoán vị của các phần tử của xâu là số lẻ

Xác định số các xâu nhị phân thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i Xâu có độ dài 99, bao gồm 66 số 0 và 33 số 1

ii Các xâu con liên tiếp có độ dài tùy ý tính từ đầu của xâu đều đẹp

Hướng dẫn Ta có các nhận xét sau đây:

1) Tất cả 64 số đầu tiên phải là 0: vì C với 064x  x 64 luôn chẵn nên nếu có số 1 thì hoán vị của 64 số đầu chẵn, không thỏa mãn

2) Tất cả các số từ vị trí 65 đến 96 đều là 1: vì C với 096x x31 luôn lẻ

Từ đó, ta đã hoàn thành việc xếp 96 số đầu tiên của xâu, còn lại 2 số 0 và 1 số 1 Kiểm tra trực tiếp các trường hợp 001, 010,100 , ta thấy chỉ có xâu 001 là thỏa mãn (vì các hoán vị của xâu con độ dài 97,98,99 tương ứng là 32 32 33

97, 98, 99

C C C đều lẻ)

Bài 2 Cho một đa giác có n đỉnh với n  và ban đầu, tất cả các đỉnh đều được tô xanh Ở mỗi 3

bước, ta được chọn k đỉnh liên tiếp và đổi màu chúng: từ xanh sang đỏ và đỏ sang xanh n

1) Tìm điều kiện cần và đủ cho các số n k, để có thể chuyển tất cả các đỉnh sang đỏ

2) Nếu n k không thỏa điều kiện 1, hãy xác định số lượng đỉnh màu đỏ lớn nhất có thể chuyển , được theo quy tắc đã nêu

Hướng dẫn

1) Đặt d ( , )n k Đánh số các đỉnh từ 1 đến n và chia chúng thành d nhóm rời nhau có cùng số

dư khi chia cho d , mỗi nhóm có n

d đỉnh Khi đó, mỗi lần thao tác, số đỉnh bị đổi màu trong mỗi

nhóm bằng nhau và là k

d Nếu v n2( )v k2( ) thì dễ thấy k

d chẵn, còn

n

d lẻ

Số đỉnh bị đổi màu trong mỗi nhóm là chẵn sau mỗi lượt nên không thể chuyển được toàn bộ các đỉnh của mỗi nhóm sang đỏ (từ n 0

d  ), tức là không thể chuyển cho toàn bộ đa giác

Nếu v n2( )v k2( ) thì k

d và

n

d đều lẻ Gọi q là số nhỏ nhất sao cho kq n thì dễ thấy q n, lại đặt t n

q

 thì t k và k

t lẻ Ta tiến hành đổi màu (1, 2, , ), (k t1,t2, ,tk), (các bộ bắt đầu

bằng số chia t dư 1) Dễ thấy mỗi số xuất hiện đúng k

t lần, là số lẻ nên chúng đều được chuyển

sang màu đỏ

2) Do trong mỗi nhóm, ta không thể thực hiện được việc chuyển toàn bộ đỉnh sang màu đỏ nên

có nhiều nhất là n 1

d  đỉnh được chuyển Suy ra, có nhiều nhất d n 1 n d

d

  đỉnh có thể chuyển được sang màu đỏ Dễ thấy cách chuyển như 1) thỏa mãn

Bài 3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, người ta đánh số các điểm có tọa độ nguyên bằng một trong các số

từ 1 đến k sao cho: các hình chữ nhật có kích thước 2 m2n mà các cạnh song song với các trục tọa độ đều có tâm được đánh số bằng trung bình cộng của 4 số đánh cho các đỉnh

1) Tính số các cách đánh số

2) Phát biểu bài toán trong trường hợp 3 chiều và dự đoán kết quả

Hướng dẫn

1) Lập luận tương tự trong trường hợp 1 chiều, ta thấy mỗi điểm A x y đều được đánh số trùng ( , ) với các điểm có tọa độ A x( pm qn y rm sn ,   ) với p s, cùng tính chẵn lẻ và q r, cùng tính chẵn lẻ Giả sử d ( , )m n và đặt d m m n n1  1 , tính chẵn lẻ của m n ảnh hưởng đến cách chọn 1, 1 , , ,

p q r s để có các điểm có quan hệ với nhau (tức là phải được đánh cùng một số)

Nếu m n,

d d cùng lẻ thì m n cùng lẻ, dẫn đến ( , )1, 1 A x y và ( , A x y d ) độc lập với nhau Do đó,

các đỉnh của 2 hình vuông cạnh nhau, kích thước là d d được đánh số độc lập Kết quả là k 2d2 Ngược lại thì m n khác tính chẵn lẻ, dẫn đến ( , )1, 1 A x y và ( , A x y d ) phụ thuộc nhau và chỉ có

các đỉnh của hình vuông kích thước là d d được đánh số độc lập Kết quả là k d2

2) Trong trường hợp 3 chiều, ta có hình hộp chữ nhật có kích thước 2m2n2p có các cạnh song song với trục tọa độ và tâm được đánh số bằng trung bình cộng của 8 số đánh cho các đỉnh Bài toán này cũng chính là đề thi chọn đội tuyển Việt Nam năm 2014 Đáp số cũng cần phải xét

3 trường hợp tương tự trên (lẻ - lẻ - lẻ, lẻ - lẻ - chẵn và lẻ - chẵn - chẵn)

Bài 4

Cho các số nguyên dương a b Một số nguyên dương , n được gọi là “hoán vị được” nếu như tồn tại hoán vị của n số nguyên dương đầu tiên là ( ,x x1 2, ,x mà n) x i1x i a b i, , 1,n Tìm 1 điều kiện cần và đủ của a b để tồn tại vô số số hoán vị được ,

Hướng dẫn Điều kiện cần và đủ là ( , ) 1a b  Trước hết, ta xây dựng cho a b  Giả sử a và b

bắt đầu từ 1, ta tăng lên b đơn vị rồi giảm đi cho a một số lần đến số nhỏ nhất có thể Sau đó,

lại tăng lên b đơn vị và giảm cho a Rõ ràng mỗi lần tăng cho b thì số dư của các số mới khi

chia cho a thay đổi, vậy nên sau khi thực hiện a lần, ta được tất cả các số từ 1 đến a b

Cuối cùng, ta dùng quy nạp để chỉ ra rằng các số (k a b k ),  đều thỏa mãn 

IV) Các bài tập tự luyện (các bài toán được xếp thứ tự tăng dần theo độ khó).

Bài 1 (Chọn đội tuyển KHTN 2012) Trên mặt phẳng tọa độ ta đánh dấu tất cả các điểm nguyên

( , )a b với , a b là 2 số nguyên tố cùng nhau Khi đó với mỗi số nguyên k thì điểm ( , ) a b sẽ được

nối với mỗi điểm (a kab b , ) và ( ,a b kab ) bằng mỗi cạnh (không có hướng)

1) Chứng minh rằng với mọi điểm được đánh dấu ( , )a b đều có con đường nối điểm này với

điểm (1,1)

b) Ta gọi các cạnh nối điểm ( , )a b với các điểm ( a kab b , ), ( ,a b kab ) là cạnh dương nếu 0

k  và cạnh âm nếu k  Với mỗi con đường nối điểm ( , )0 a b với (1,1) , ta tính số lần đổi dấu

của các cạnh và gọi v a b là giá trị nhỏ nhất của số lần đổi dấu trong tất cả các con đường nối ( , )

đó Hỏi khi ( , )a b thay đổi trên các điểm được đánh dấu thì ( , ) v a b có thể nhận giá trị lớn tùy ý

được hay không?

Bài 2 (VN TST 2011) Trên mặt phẳng tọa độ, có một con cào cào ở điểm (1;1) Nó có thể nhảy

từ điểm A sang điểm B khi tam giác OAB có diện tích bằng 1

2 và tọa độ của A, B nguyên dương

1 Tìm các điểm ( , )m n sao cho con cào cào có thể nhảy đến đó sau hữu hạn bước

2 Chứng minh rằng con cào cào có thể nhảy đến ( , )m n kể trên sau ít hơn m n bước

Bài 3 (USA MTS 2015) Cho số nguyên dương n 4 Người ta xếp n số nguyên dương nào đó trên một đường tròn sao cho:

i Tích của hai số không nằm cạnh nhau thì chia hết cho 2015 2016

ii Tích của hai số nằm cạnh nhau thì không chia hết cho 2015 2016

Tìm giá trị lớn nhất của n

Bài 4 (VMO 2013) Cho một dãy các số 1, 2, 3, ,1000 Ở mỗi lượt, người ta xác định tất cả các cặp số đứng cạnh nhau và điền vào giữa hai số đó tổng của chúng Hỏi sau khi thực hiện một số lần thì số lượng số 2013 trong dãy này là bao nhiêu?

Bài 5 (Codeforces contest 2014) Cho một bàn bida hình chữ nhật có kích thước m n với

m n  Một viên bida bất kì trên bàn sẽ được di chuyển theo một góc 45 hợp với một trong

hai cạnh của bàn Khi nó chạm cạnh bàn, nó sẽ xoay một góc 90 và tiếp tục di chuyển, còn nếu

nó đến góc của bàn thì nó sẽ bị đẩy bật ra và di chuyển theo phương cũ nhưng chiều ngược lại Tìm số lớn nhất các viên bida có thể đặt lên các ô của bàn sao cho nếu cho một viên bất kì trong chúng di chuyển theo hướng nào đó thì sẽ không chạm vào các viên bida khác

Gợi ý và đáp số

Bài 1 Sử dụng thuật toán Euclid, chú ý là ( , ), (a b a b b , ), ( ,a a b ) được nối cùng 1 điểm

Bài 2 Chú ý cách thay đổi tọa độ từ điểm A sang B, điều kiện cần tìm là ( , ) 1m n 

Bài 3 Phân tích 2015  5 13 31, 2016  2 3 75 2 để tìm điều kiện, đáp số là n 8

Bài 4 Ta thấy cách xây dựng các số đã nêu chính là quá trình thực hiện thuật toán Euclid

( , )m n (m n n , ), ( ,m m n ) Đáp số là (2013) 2 1198. 

Bài 5 Tìm cách thu kích thước của bàn bida đến mức nhỏ nhất thể, đáp số là (m1,n1) 1