Từ đó tam giác OPQ nội tiếp đường tròn đường kình OT cố định nên ta có điều phải chứng minh.. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác APQ và HMN tiếp xúc nhau..[r]
Trang 1DN AC AQ BC Gọi K là trung điểm BC Chứng minh rằng trục đẳng phương của PEM
và QFN song song với IK
Lời giải
Ta có BF BD và AP BD nên AF AP. Tương tự, ta thu được AP AF AEAQ nên
90
Gọi X là giao điểm của PE và QF thì X là trực tâm tam giác DPQ
nên XP XE XQ XF , tức là X có cùng phương tích với PEM và QFN
Ta có BF BD và BF CM nên CM CDCE Do đó CEM 90 EDP EPM nên
AE là tiếp tuyến của PEM , lại có APAE nên AP tiếp xúc với PEM Tương tự, AQ là
H G
Trang 2tiếp tuyến của QFN , mà AP AQ nên A có cùng phương tích với PEM và QFN Suy .
ra AX là trục đẳng phương của PEM và QFN Do đó ta chỉ cần chứng minh IK AX .Thật vậy, dễ thấy DX là đường kính của I Gọi T là giao điểm của AX và BC đường thẳng ,
qua X vuông góc với DX cắt AB AC tại , G H Ta thấy phép vị tự tâm , A biến GH thành
BC sẽ biến I thành đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC mà , T là ảnh của X qua
phép vị tự này nên T là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc A với BC, do đó K là trung điểm DT nên KI XT Ta có điều phải chứng minh
Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O I I I a, b, c tương ứng là tâm đường tròn bằng tiếp các góc A B C của tam giác , , ABC AI a giao O tại D khác A Trên I D I D b , c lần lượt lấy các điểm ,E F sao cho ABC 2 I BE a , ACB 2 I CF a , E F nằm trong tam giác ,
Trang 3Dễ thấy A B C là chân 3 đường cao của tam giác , , I I I a b c nên ( )O là đường tròn Euler của tam
giác I I I a b c, do đó gọi N là trung điểm I I b c thì N thuộc ( ).O Ta cần chứng minh EF đi qua
N
E D
Trang 4Dễ thấy hai tam giác I BC b và I I H b a đồng dạng ngược nên I M I D b , b đẳng giác trong góc
a b
I I B Mặt khác, tương tự như cách 1, ta có BE BM, đẳng giác trong góc I BI a b, suy ra E và
M liên hợp đẳng giác trong tam giác I BI a b tức I E I M a , a đẳng giác Mà I BC a và I I I a b c đồng dạng ngược, suy ra I E a đi qua N Tương tự I F a cũng đi qua N ta suy ra điều cần chứng ,minh
Bài 3 Cho tam giác ABC nhọn có đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với BC CA AB lần lượt tại , ,, ,
D E F Gọi H là trực tâm tam giác ABC , M N L lần lượt là trung điểm , , CA AB BC Trên , , , ,
AH BH CH lần lượt lấy K P Q sao cho , , DK IL, EPIM, FQIN Gọi X Y Z, , lần lượt
là giao điểm của MP và NQ NQ và , LK , LK và MP
a) Chứng minh rằng XD YE ZF đồng quy tại một điểm , , T
b) Chứng minh rằng H I T thẳng hàng , ,
Lời giải
a) Ta cần có bổ đề sau: “ Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp , I tiếp xúc với BC CA AB , ,lần lượt tại D E F Gọi , , M là trung điểm BC đường thẳng , IM cắt đường thẳng quaA vuông góc BC tại X khi đó , AXDI là hình bình hành.”
A
Trang 5MK IK BK MK
Nên AX IF ID, suy ra AXID là hình bình hành Hoàn tất chứng minh bổ đề
Trở lại bài toán,
Gọi G là giao điểm của IL với AK. Áp dụng bổ đề, ta có GD AI nên GDEF
Mặt khác, trong tam giác GKL ta thấy KDGL LD, GK nên D là trực tâm tam giác GKL ,suy ra GDKL Do đó ta có EF KL Chứng minh tương tự, ta có hai tam giác DEF và XYZ
có các cặp cạnh tương ứng song song nên XD YE ZF đồng quy tại tâm vị tự , , T của hai tam giác này
b) Gọi ,S J lần lượt là trung điểm IH IA thì JS, AH nên JSMN
Mà NJ BI BI, DF DF, XZ nên NJXM Tương tự, MJ XN, suy ra J là trực tâm tam giác XMN nên XJ MN hay X J S thẳng hàng Suy ra , , XS ID YS IE Vậy phép vị tự tâm ,
T biến tam giác DEF thành tam giác XYZ sẽ biến các đường thẳng DI thành XS , EI thành
IS nên nó biến I thành S, do đó , ,S I T thẳng hàng, kéo theo H I T thẳng hàng Ta có điều , ,phải chứng minh
H
G
T X
Trang 6Bài 4 Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn O Gọi D E F lần lượt là trung điểm , ,cung BAC CBA ACB, , DE DF cắt , AC AB tại , M N Gọi , H K lần lượt là hình chiếu của , A
lên BE CF, Chứng minh rằng CH BK MN đồng quy , ,
I
A
T D
Trang 7Ta thấy tứ giác AEDC nội tiếp và AB TN nên NTD BED NCD suy ra TDNC nội tiếp Mà NANDNC nên NA2 ND2 NM NT suy ra hai tam giác ANM và TNA đồng dạng, để có MAN NTA BAT.Suy ra AT là đường đối trung của tam giác ABC.
Trở lại bài toán,
Gọi BE giao CF tại X , CF giao AD tại Y , AD giao BE tại Z Ta thấy X Y Z là 3 tâm , ,đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC; A B C và , , D E F là chân các đường cao, các đường , ,trung tuyến của tam giác XYZ, vì thế XHK XAK XYZ XBZ, suy ra BC HK
Mặt khác, áp dụng bổ đề vừa chứng minh, ta có X M N thẳng hàng vì cùng nằm trên đường , ,đối trung của tam giác XYZ, đồng thời đường thẳng MN đi qua trung điểm BC vì hai tam giác
XBC và XYZ đồng dạng ngược Từ đó áp dụng bổ đề hình thang, ta có BH CK MN đồng quy , ,
Bài 5 Cho tam giác ABC nhọn có D E F lần lượt là trung điểm , , BC CA AB Đường tròn qua , ,
E tiếp xúc BC tại B cắt lại DE tại M Đường tròn qua F tiếp xúc BC tại C cắt lại DF tại
N Gọi K là giao điểm của MN và EF Chứng minh rằng AK song song với trục đẳng phương của ABC và DEF
X
Y
Z
K H
Trang 8Áp dụng định lý Pappus cho hai bộ 3 điểm thẳng hàng B X F, , , C Y E, , ta có T thuộc OQ
Từ đó, theo định lý Brokard ta có AK QT , suy ra AKOQ hay AK song song với trục đẳng phương của ABC và DEF Ta có điều phải chứng minh
Bài 6 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp; , L M N ,
là các giao điểm thứ hai của AI BI CI với , , O Một đường tròn đi qua , I L cắt BC tại , E F
,
LE LF cắt O lần nữa tại , P Q PQ cắt AB AC tại , H K Chứng minh rằng , NH và MK cắt nhau tại một điểm nằm trên IEF
Lời giải
Ta có L là trung điểm cung BC nên LI LBLC và LI2 LE LP LF LQ suy ra tứ giác
EFQP nội tiếp, đồng thời hai tam giác LIE và LPI đồng dạng, để có PIL IEL, tương tự
X N
Trang 9Gọi T là giao điểm thứ hai của NH và O , TM giao AC tại K' Áp dụng định lý Pascal
Bài 7 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O Một đường kình thay đổi cắt AB AC ,tại E F, Gọi M N lần lượt là trung điểm , BF CE ,, P Q là hình chiếu của , B C lên OM ON ,
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OPQ có bán kính cố định
Lời giải
X
T
K H
Q
P
F E
Trang 10Kẻ đường kính BL CK của , O Do , , E O F nên tương tự bài trước, ta có KE LF giao nhau ,tại một điểm T nằm trên O .
Ta có OM là đường trung bình của tam giác BLF nên 1
Thật vậy, ta có MDB DCB MTB nên tứ giác TDMB nội tiếp, tương tự TDNC cũng là
tứ giác nội tiếp
Q P
L K
T
N M
F
A
Trang 11Đồng thời chú ý rằng T và X nằm cũng phía so với MN nên từ
Ta suy ra NXTM nội tiếp
Ta có MNT DCT RST nên RS MN , suy ra TRS và TMN tiếp xúc Từ đó ta thu được điều phải chứng minh
Bài 9 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O Gọi D là hình chiếu của trực tâm H
lên trung tuyến AI của tam giác ABC Tiếp tuyến tại A của đường tròn O cắt BC tại T
DT cắt AB AC lần lượt tại , , E F Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh rằng KEF tiếp xúc O
A
Trang 12Gọi P Q lần lượt là hình chiếu của ,, A B trên BC CA Dễ thấy các tứ giác , IPHD PHQC nội ,tiếp nên AD AI AH AP AQ AC , suy ra IDQC nội tiếp, dó đó IDC IQC ICA, suy
ra hai tam giác IDC và ICA đồng dạng Để có
SC DC AC nên ABSC là tứ giác điều hòa, do đó
TDTSTA, suy ra TD2 TA2 TB TC nên TD là tiếp tuyến của BDC
Gọi M N là giao điểm thứ hai của , CD BD với , O Ta có , , E D F thẳng hàng nên ME giao
NF tại một điểm X nằm trên O Do đó EXB MCB EDB nên tứ giác XDEB nội tiếp, tương tự XDFC cũng là tứ giác nội tiếp, vì thế
180 2
Suy ra XEKF nội tiếp
Mặt khác EFX DCX MNX nên EF MN do đó , XEF tiếp xúc O Ta có điều .phải chứng minh
Bài 10 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O có D E F là tiếp điểm của đường tròn nội , ,tiếp I với BC CA AB Lần lượt lấy trên , , OI BC AD các điểm , , L M N sao cho , ,
P
Q
S X
N
F E
T
D H
I
O
A
Trang 13Gọi X Y Z lần lượt là trung điểm , , EF FD DE Khi đó, dễ thấy phép nghịch đảo tâm I phương , , tích r sẽ biến đường tròn 2 O thành đường tròn XYZ, hay là đường tròn Euler của tam giác
DEF Vì thế OI đi qua tâm đường tròn Euler của tam giác nên nó chính là đường thẳng Euler của tam giác DEF
Trở lại bài toán,
Áp dụng bổ đề, ta có L chính là trực tâm của tam giác DEF nên từ bài trước, ta dễ dàng suy ra
DK là đường trung tuyến của tam giác DEF nên nó đi qua trung điểm EF Như vậy, ta chỉ cần chứng minh MN chia đôi EF
Thật vậy, gọi X Y lần lượt là hình chiếu của ,, E F trên DF DE và , T là trung điểm BC
Z Y
X F
Trang 14Ta có LN DA LM, DM LX, DF LY, DE nên L NM XY , D AM FE , 1 Mà , , ,
M N X Y cùng nằm trên đường tròn đường kính DL nên ta có MN XY, 1 Hơn nữa, dễ thấy TX TY là tiếp tuyến của , DL nên ta có MN đi qua T
Bài toán được chứng minh hoàn toàn
Bài 11 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O có H là trực tâm Gọi K M N lần , ,lượt là trung điểm BC CA AB Đường thẳng qua , , M vuông góc với MH cắt đường thẳng qua
N vuông góc với NH tại D Trên MN lấy E sao cho EH vuông góc với AD Trên BC lấy
F sao cho EF vuông góc với AO Chứng minh rằng KH và AF cắt nhau trên O
Lời giải
Gọi X Y lần lượt là hình chiếu của , B C trên , CA AB Dễ thấy , HE là trục đẳng phương của
AH và DH Mà MN XY HE là 3 trục đẳng phương nên chúng đồng quy tại tâm đẳng , ,phương của 3 đường tròn AH , DH , YNXM, đo dó E thuộc XY
Y
X
T N M
Trang 15Gọi AF giao O tại T khác A Ta có FT FA FB FC FY FX nên tứ giác AXYT nội tiếp, suy ra ATH 90
Do đó TH đi qua Q là điểm đối xứng của Aqua O, mà ta có tính chất quen thuộc H K Q , ,thẳng hàng, suy ra ,T H K thằng hàng Ta có điều phải chứng minh ,
Bài 12 Cho tam giác ABC có BC cố định, A thay đổi sao cho S ABC không đổi Đường cao ,
BE CF cắt nhau tại H Gọi M N lần lượt là trung điểm , AB AC , EF giao MN BC tại , , P Q
AP giao QH tại K Chứng minh rằng tam giác KBC có diện tích cố định
Lời giải
Q
Y
X T
Trang 16Gọi T là giao điểm của AP và BC.
Dễ thấy Q AH FB , 1 nên AK PT, 1 Suy ra KP 2KT, từ đó có được AT 3KT ,
mà tam giác ABC có diện tích cố định nên tam giác KBC có diện tích cố định
Bài 13 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O có B C cố định, điểm , A thay đổi trên
O sao cho tam giác ABC nhọn và BAC ABC. Gọi H là trực tâm, D là trung điểm BC Trên AB AC lấy , E F sao cho , EF qua D và vuông góc HD Đường thẳng qua E và vuông góc FH cắt AC ở G Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFG Chứng minh rằng
KF luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi
L
K G
Trang 17Bài 14 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O có trực tâm H CH cắt AB ở D.Trên AC lấy M sao cho DM OD Trên MD lấy N sao cho CNMH Gọi K là giao điểm của CD và OM Chứng minh rằng MNK CNH.
Hơn nữa, gọi X là giao điểm của MH và AB Ta có MDX CDO (cùng phụ góc ADO)
nên X và O là hai điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác MCD Từ đó
nên X đối xứng B qua D
Ta có DCN 90 XHD 90 DHB ACD nên CD là phân giác góc MCN.Mà MH
và MK đẳng giác nên ta cũng có NH và NK đẳng giác, hay MNK CNH Ta có điều phải chứng minh
A
Trang 18Bài 15 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O có , B C cố định, A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn BE CF là các đường cao Trung tuyến qua , A của tam giác AEF cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại D Kí hiệu K , H lầ lượt là các đường tròn qua D
và tiếp xúc AB AC tại , F E Chứng minh rằng trục đẳng phương của , K , H luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi
Lời giải
Gọi M là trung điểm của EF, N là giao điểm thứ hai của K và H , ND giao AEF lần nữa tại X Ta có FND END BFD CED180 nên N thuộc EF Từ đó có được
suy ra DN là đường đối trung của tam giác DEF nên
XEDF là tứ giác điều hòa Mặt khác, gọi T là trung điểm BC thì dễ thấy TE TF là tiếp tuyến ,của AEF nên T thuộc XD Vậy ND đi qua T cố định Ta có điều phải chứng minh
Bài 16 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O Gọi , E F là chân các đường cao qua
,
B C của tam giác ABC Trung tuyến qua A của tam giác AEF cắt lại O ở M Trung tuyến qua A của tam giác ABC cắt lại AEF ở N Chứng minh rằng AO tiếp xúc AMN
Lời giải
Gọi T là trung điểm BC H là trực tâm tam giác , ABC, AH giao BC tại D Ta có các tứ giác
TDHN và CDHE nội tiếp nên AN AT AH AD AE AC , suy ra TCEN nội tiếp, do đó
Trang 19AB AC lấy , E F sao cho DEAC DF, AB
a) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên O thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
AEF di chuyển trên một đường cố định
b) DEF cắt BC lần nữa tại G AG giao O tại M khác A Đường cao qua A của tam giác ABC cắt ( )O lần nữa tại N Các tiếp tuyến của O ở M N cắt nhau ở , P Các tiếp tuyến của BGM , CGM tại , B C cắt nhau ở Q Chứng minh rằng PQ và AD cắt nhau trên O
D
H
T N
Trang 202R , là một đường tròn cố định
b) Ta có TEAB DF, AB nên TE DF tương tự TF DE nên , TEDF là hình bình hành, do
đó gọi I là trung điểm DT thì I cũng là trung điểm EF
Đường thẳng qua A và vuông góc BC cắt AEF lần nữa tại J Ta thấy qua phép đối xứng tâm ,I E biến thành F , T biến thành D nên nếu , J biến thành G' thì DG' JT , suy ra
'
G BC Đồng thời, EJTF là tứ giác nội tiếp nên FG DE' cũng là tứ giác nội tiếp, do đó G
trùng G' Vậy G đối xứng J qua I Suy ra IH IG nên D là trung điểm HG
F D
O
A
Trang 21Ta có BQC180 QBC QCB180 BMC BAC nên Q thuộc O Đồng thời, .
nên AQ BC suy ra , A QD GH , 1 nên QMRN là tứ giác điều
hòa, suy ra AD giao QP trên O Ta có điều phải chứng minh
Bài 18 Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp Gọi E F lần lượt là chân đường ,phân giác trong và chân đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC Các tiếp tuyến qua ,
E F (khác BC) của I cắt nhau ở D Gọi H M N là tiếp điểm của , , AB DE DF với , , I Trên BI lấy K sao cho DK AI
a) Giả sử B C cố định, , A thay đổi Chứng minh rằng K luôn thuộc một đường tròn cố định
b) Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC MN ở , , P Q HQ giao I ở T Chứng minh rằng PT là tiếp tuyến của I
Nên A M N thẳng hàng Suy ra , , A nằm trên đường đối cực của D đối với I , do đó theo định lý La Hire ta có D thuộc HX , là đường đối cực của A đối với I , vì thế HX cũng đi qua K
S
T
Q P
A
Trang 22AB DQ nên HS DQ suy ra S là trực tâm tam giác DHQ Suy ra D S T thẳng hàng, và , ,
PX PDPQPT nên PT là tiếp tuyến của I Ta có điều phải chứng minh
Bài 19 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O Các đường tròn đường kính AB AC ,cắt nhau tại D và lần lượt cắt đường trung tuyến AI tại E F , IDE và IDF lần lượt cắt
AC , AB ở M N Gọi , G là trọng tâm tam giác ABC Tia DG cắt O tại P Chứng minh rằng MN PI cắt nhau trên , O
Lời giải
Dễ thấy D là hình chiếu của A trên BC
Đường thẳng qua A song song với BC cắt O lần nữa tại P'. Gọi X là hình chiếu của P'trên BC Dễ thấy AP XD' là hình chữ nhật, đồng thời I là trung điểm DX nên ta có
O
A