[r]
Trang 1Đề Toán chuyên tuyển sinh trường Phổ Thông Năng khiếu – Đại Học
Quốc Gia TP.HCM Năm 2012 – 2013
Câu 1
1)Giải hệ phương trình
2 2 2
2) Cho hình vuông ABCD cạnh a M, N là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh AB và BC sao cho AM CN
x
AB CB với 0 x 1 Các đường thẳng qua M, N song song với BD lần lượt cắt AD tại Q và CD tại P Tình diện tích tứ giác MNPQ theo a và x Tìm x sao cho
diện tích này lớn nhất
Câu 2 Số nguyên dương n được gọi là số điều hòa nếu như tổng các bình phương của
các ước dương của nó (kể cả 1 và n) đúng bằng n 32
a) Chứng minh rằng số 287 là số điều hòa
b) Chứng minh rằng số n p3(p nguyên tố) không phải là số điều hòa
c) Chứng minh rằng nếu số n p q ( p q , là các số nguyên tố khác nhau) là số điều hòa thì n 2 là số chính phương
Câu 3
1)Tìm giá trị x thỏa mãn x2 5 x 4 2 x 1 0
2)Chứng minh rằng với các số không âm a b c, , thỏa mãn a b c 3ta có bất đẳng thức a b c ab bc ca
Câu 4 Cho tam giác ABC vuông tại A Trên đường thẳng vuông góc với AB tại B ta lấy
điểm D di động cùng phía với C đối với đường thẳng AB
a) Chứng minh rằng nếu AC BD CD thì trên cạnh AB tồn tại hai điểm M, N sao
90
Trang 2b) Giả sử điều kiện trên được thỏa mãn Đường thẳng qua A song song với MD cắt đường thẳng qua B song song với MC tại F Chứng minh đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5 Cho đa giác đều n cạnh Dùng 3 màu xanh, đỏ, vàng tô màu các đỉnh đa giác một
cách tùy ý(mỗi đỉnh được tô bởi một màu và tất cả các đỉnh đều được tô màu) Cho phép thực hiện thao tác sau đây: chọn hai đỉnh kề nhau bất kì (nghĩa là hai đỉnh liên tiếp) khác màu và thay màu của hai đỉnh đó bằng màu còn lại
a) Chứng minh rằng bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta luôn luôn làm cho các đỉnh của đa giác chỉ còn được tô bởi hai màu
b) Chứng minh rằng với n 4 và n 8, bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần
ta có thể làm cho các đỉnh của đa giác chỉ còn được tô bởi một màu
Hướng dẫn giải
Câu 1
a)
2 2 2
2 2 2
Ta có: 2 z 2 xy 2 x 2 yz x z y 1 0 y 1
Trường hợp: x z
- thay vào (3) ta có: 2 0
2
y
y
- thay vào (1) ta có: 2 2
2
x y xx (1’)
+ y 0 thay vào (1’) ta có: 2 0
1
x
x
Hệ có nghiệm x y z ; ; là 0;0;0 , 1;0;1
Trang 3+y 2 thay vào (1’) ta có: 2 2 2 1
2
x
x
Hệ có nghiệm x y z ; ; là 1;2;1 , 2;2;2
Trường hợp y 1 từ 3 2 1 1
1
+z x 1 thay vào (2) ta có: 2 1
0
x
x
Hệ có nghiệm x y z ; ; là 1;1;2 , 0;1;1
+z x 1 thay vào (2) ta có: 2 2 1
2
x
x
Hệ có nghiệm x y z ; ; là 1;1;0 , 2;1;1
Vậy hệ có 8 nghiệm x y z ; ; là:
0;0;0 , 1;0;1 , 0;1;1 , 1;1;0 , 1;2;1 , 1;1; 2 , 2;1;1 , 2;2;2
b)
Ta có:
.
Trang 4
2
21
2a a x 2 2a
MNPQ
S lớn nhất là 1 2
2 a khi và chỉ khi
1 2
x
Câu 2
1 2 41 84100290 2873 b) Giả sử n p3 là số điều hòa
Các ước dương của p3 là 1, , p p2, p3 Khi đó ta có:
1 p p p p3
Do p2| 8 và p là số nguyên tố p2
Tuy nhiên p 2 thì 2 2
Vậy không có p để p3 là số điều hòa hay với mọi số nguyên tố p thì p3 không là
số điều hòa
c) n p q có các ước dương là 1, , ,p q pq
n là số điều hòa nên 2 2 2 2 3
1 p q pq pq3
4 pq 2 p q
Do đó 4 | 2 2 |
2
p q p q là số nguyên
Do đó
2
2
p q
n pq
là số chính phương
Trang 5Câu 3
a)Điều kiện: x 1
2
x x x x x x
Do đó bất phương trình đúng với mọi x 1
b)Theo câu a) ta có: x12 3x12 x 1 0 với mọi x 1
Đặt a x 1 0 ta có: a2 2 a 2 a với mọi a 0
Ta có : a b c ab bc ca
Ta có : a2 2 a 3 ,a b2 3 b 3 ,b c2 3 c 3c
Câu 4
Trang 6a)Gọi O là trung điểm CD và I là trung điểm của AB
Gọi đường tròn đường kính CD là đường tròn (O)
Ta có tứ giác ACDB là hình thang vuông có OI là đường trung bình
Do đó khoảng cách từ O tới đường thẳng AB là OI nhỏ hơn bán kính của đường tròn đường kính CD nên đường tròn (O) cắt AB tại hai điểm phân biệt M, N và
90
Hơn nữa OI là trung trực của AB nên OA = OB
Trang 7Trong hình thang vuông ACDB, vì 0
180
ACD CDB nên phải có một góc không nhỏ hơn 900, giả sử 0
90
ACD
Do đó trong tam giác ACO thì ACD là góc lớn nhất tương ứng cạnh đối diện là OA sẽ là
cạnh lớn nhất nên
2
CD
OA OC (bán kính đường tròn (O))
Vậy A, B nằm ngoài đường tròn (O) nên suy ra M, N thuộc cạnh AB
b) Gọi E’ là giao điểm của đường thẳng qua A và song song với MD với CD
P là giao điểm của MD với AC, Q là giao điểm của MC với BD
Ta có: '
CD CP DQ thẳng hàng
Do đó DE đi qua điểm cố định C
Câu 5
a)Ta xét một dãy các đỉnh cùng màu, giả sử là màu xanh được giới hạn bởi hai đỉnh A, B ( có thể trùng nhau) là AX X1 2 X B k (k 1) Sử dụng thao tác đề cho ta đổi màu hai đỉnh A và X1 thành màu thứ ba (không phải màu xanh), kí hiệu đỉnh X1 đã đổi màu là
1
'
X Tiếp tục như vậy ta sẽ đổi màu đỉnh X'1 và X2 (hiển nhiên không phải màu
xanh),… Như vậy ta đã làm mất màu xanh trong dãy các đỉnh liên tiếp có màu xanh Tiếp tục thực hiện như trên đối với các dãy màu xanh khác ta sẽ làm mất hết màu xanh trên các đỉnh của đa giác, nghĩa là các đỉnh của đa giác chỉ còn được tô bởi hai màu là đỏ và vàng
b) Ta chỉ xét trường hợp các đỉnh của đa giác được tô bởi hai màu, giả sử là vàng và đỏ Khi n 4
Vì 4 đỉnh được tô bởi hai màu nên ta có hai trường hợp
Trường hợp 1: Hai đỉnh cùng màu:
ddvv dxxv vvxv vddv xxxx hoặc dvdv dxxv vvxv vddv xxxx
Như vậy hai đỉnh cùng màu thì 4 đỉnh được chuyển về màu thứ 3
Trang 8Trường hợp 2: 3 đỉnh cùng màu và 1 đỉnh khác màu
dddv ddxx dvvx xxvx xddx vvvv
Như vậy 3 đỉnh cùng màu sẽ được chuyển về màu của đỉnh còn lại
Như vậy ta đã chuyển 4 đỉnh về cùng một màu
Khi n 8
Theo trường hợp trên, ta chia 8 đỉnh thành hai bộ 4 đỉnh và chuyển mỗi bộ 4 đỉnh về cùng một màu Nếu màu của hai bộ trùng nhau thì ta có điều phai chứng minh, ngược lại hai bộ không trùng màu(giả sử là xanh và đỏ) thì ta thực hiện biến đổi
|
xxxxdddd xxxvvddd xxxv vddd vvvvvvvv
Như vậy trường hợp n 8 được chứng minh