Đề toán không chuyên tuyển sinh trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2010-2011

[r]

Đề Toán không chuyên tuyển sinh trường Phổ Thông Năng

khiếu – Đại Học Quốc Gia TP.HCM

Năm 2010 – 2011

Bài 1 (2,5 điểm)

a) Tìm m để phương trình x2 2xm  có hai nghiệm phân biệt 3 0 x x1, 2 thỏa 2 2  2

x x  x x  x x

b) Giải phương trình    2 

94x x 6x9  2x5 94x

Bài 2 (2 điểm)

a) Giải hệ phương trình

1





b) Rút gọn biểu thức 1 : 1 2 1

1

a



với a 1

Bài 3 (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, có chu vi bằng 30 cm và diện tích bằng

2

30cm Tính độ dài các cạnh của tam giác

Bài 4 (1 điểm)

Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục là x , chữ số hàng đơn vị

là y(nghĩa là x 0 và n10xy) Gọi M n





a) Tìm n để M 2

b) Tìm n để M nhỏ nhất

Bài 5 (3 điểm)

a) Chứng minh tứ giác AOED nội tiếp trong một đường tròn

b) Cho DG cắt AB tại F Tính diện tích tứ giác AFOE

c) Đường tròn tâm J nội tiếp tam giác BCD tiếp xúc với BD, CD lần lượt tại I,

K Gọi H là giao điểm của IK và AC Tính góc IOJ và độ dài đoạn HE

Hướng dẫn giải

Bài 1

a)Phương trình x2 2xm  3 0

   Phương trình có hai nghiệm phân biệt m4

Theo định lí viet ta có: x1 x2  2; x x1 2 m 3

x x  x x  x x  x x  x x  x x

2

7

2

m

m









So với điều kiện nhận 7

2

m 

94x x 6x9  2x5 94x

Điều kiện: 9 4 0 9

4

Phươn trình  94x x3  2x5 94x

9 4x x 3 2x 5 0

x



 



 

9 9

4 4

8

3

x x













So với điều kiện nhận 9; 2

4

Vậy phương trình có hai nghiệm 9; 2

4

Bài 2

 

xy x y







1

x

y







Với x 1 thay vào (1) ta có: 2 2 2 0 0

1

y

y







Với y   thay vào (1) ta có: 1 2 0 0

1

x

x





    



Vậy hệ có nghiệm x y;  là 1;0 , 1; 1 , 0; 1      

1

a



với a 1

 

a

 

2

1

a



2



Bài 3 Gọi hai cạnh góc vuông có độ dài là x y,

Chu vi tam giác : x y x2  y2 30

Diện tích tam giác : 1 30 60

2xy  xy

Ta có: x y x2  y2 30 x y x y2 2xy 30

Đặt t x y ta có phương trình : t t2 120 30 t2 120 30 t

 2 2

17

t

t

 





Ta có: xy 17,xy60 nên x y, là nghiệm của phương trình

12

X

X







Vậy hai canh góc vuông có độ dài là 12cm cm , cạnh huyền có độ dài 13 cm ,5

Bài 4

a) M 2 10x y 2 8x y





Vì 0 y 9 x 1 y Vậy 8 n 18

b) 10 1 9

1

M

y

x



M nhỏ nhất y

x

1

y x





 





Vậy M nhỏ nhất là 19

10 khi và chỉ khi n 19

Bài 5

a) Chú ý tam giác ADO đều

b) Đáp số : 3 3 2

4

AFOE

45

Gọi Q là điểm tiếp xúc của BC với (J) Vì tam giác BCO đều nên ta có

CQ = OI = CK (1)

Từ O vẽ đường thẳng song song với CD cắt IK tại P

Ta có OIP EKI (hai góc tại bởi tia tiếp tuyến và dây cung KI của (J))

Mà EKI OPI (đồng vị)

Từ (1) và (2) suy ra OPCK và OP // CK

 OPCK là hình bình hành

H

 là trung điểm OC

1

2

Chứng minh tam giác HEO vuông tại O (vì tam giác EAC cân tại E có EO là trung tuyến nên cũng là đường cao)

Áp dụng đinh lí pythagore trong tam giác vuông HEO ta có 7

2