Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB, AC. Chứng minh AEHF là hình chữ nhật. Cho tứ giác ABCD có hai đườ[r]
Trang 1
1.Định nghĩa Hình chữ nhật là t
Nhận xét Hình chữ nhật cũng l
2.Tính chất
+ Hình chữ nhật có tất cả các tính ch
+ Trong hình chữ nhật, hai đườ
3 Dấu hiệu nhận biết hình ch
+ Tứ giác có 3 góc vuông là hình ch
+ Hình thang cân có 1 góc vuông là hình
+ Hình bình hành có mộ
+ Hình bình hành có hai
4.Một số ví dụ
a) Ví dụ 1 Chứng minh rằng các đư
nhau tại các điểm là các đỉnh c
bằng hiệu hai cạnh liên tiếp củ
toanth.net
HÌNH CHỮ NHẬT
t là tứ giác có 4 góc vuông
ũng là một hình bình hành, cũng là một hình thang cân
các tính chất của hình bình hành, hình thang cân
ờng chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điể
t hình chữ nhật
giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật
+ Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật
ột góc vuông là hình chữ nhật
+ Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
ng các đường phân giác trong của một hình bình hành giao
nh của một hình chữ nhật, và hình chữ nhật này có đư
ủa hình bình hành
Giải
toanth.net
t hình thang cân
a hình bình hành, hình thang cân
ểm mỗi đường
t hình bình hành giao
t này có đường chéo
Trang 2toanth.net
Gọi MNPQ là các điểm giao nhau của các đường phân giác trong của hình bình hành ABCD
E la giao điểm của phân giác góc B với AD
F là giao điểm của phân giác góc D với BC
+ Xét tam giác ABE ta có : AEB EBC (so le trong)
EBC ABE (BE là phân giác góc B)
ABE
cân tại A
Mà AM là phân giác của góc A nên AM BE (1)
Chứng minh tương tự ta cũng có CP DF (2)
+ Xét hai đương thẳng BE và DF ta có
2
EBC ABC (BE là phân giác góc B)
2
Mà ABC ADC (hai góc đối của hình binh hành)
Mà AM BE AM DF (3)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra tứ giác MNPQ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật
+ Tam giác ABE cân tại A có AM là phân giác nên AM cũng là đương trung tuyến, do
đó M là trung điểm BE
Tương tự ta cũng có P là trung điểm DF
Tứ giác BEDF là hình bình hành có MP là đường trung bình nên MP // BF
Trang 3
tứ giác BMPF là hình bình hành
Tam giác CDF cân tại C nên
Do đó : MP BF CB CF CB CD
b)Ví dụ 2 Cho hình chữ nhật ABCD K
trung điểm BH, F là trung điểm CD Ch
Gọi P là trung điểm AH
Xét tam giác HAB ta có BE là đư
Vì AB AD PE AD
Xét tam giác ADE có AH và EP là hai đư
Ta lại có : 1
2
tứ giác PEFD là hình bình hành
/ /
(điều phả
toanth.net
giác BMPF là hình bình hành MP BF
i C nên CD CF
MP BF CB CF CB CD (điều phải chứng minh)
t ABCD Kẻ AH vuông góc với BD (H thuộc BD) G
m CD Chứng minh AE vuông góc EF
Giải
Xét tam giác HAB ta có BE là đường trung bình nên 1
/ / ,
2
Xét tam giác ADE có AH và EP là hai đường cao nên P là trực tâm
1
2
giác PEFD là hình bình hành
ải chứng minh)
toanth.net
c BD) Gọi E là
1 2
Trang 4toanth.net
5 Bài tập
Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc cạnh BC) Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB, AC Chứng minh AEHF là hình chữ nhật
Bài 2 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc nhau Gọi M, N, P, Q
lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật
Bài 3 Chứng minh rằng hình thang vuông có hai cạnh bên bằng nhau là một hình chữ
nhật
Bài 4 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi E, F lần lượt là chân đường
vuông góc kẻ từ H lên AB, AC
a) Chứng minh EAFH là hình chữ nhật
b) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với EF, cắt BC ở I Chứng minh I là trung điểm
BC
Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh huyền BC Gọi D, E
lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M lên AB, AC
a) Chứng minh AM = DE
b) Gọi I là trung điểm DE, chứng minh I luôn thuộc một đường thẳng cố định
c) Tìm vi trí M trên BC để DE nhỏ nhất
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC
Gọi M, N, P , Q theo thứ tự là trunng điểm DE, BE, BC, CD Chứng minh MQ = NP
Bài 7 Cho tam giác ABC Lấy D, E theo thứ tự thuộc tia đối của tia BA, CA sao cho
.
BD CE BC Gọi O là giao điểm của BE và CD Qua O kẻ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC tại K Chứng minh AB CK
Bài 8 Cho hình chữ nhật ABCD (AB < BC) Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho CM =
CD Từ M kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD tại N, trên tia đối của tia MN lấy điểm E sao cho ME = MB Chứng minh AC vuông góc DE
Trang 5toanth.net
Bài 9 Cho hình chữ nhật ABCD, nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD, trên
tia đối của EC lấy điểm F sao cho EF = EC Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với AB và
AD Chứng minh rằng:
a)Tứ giác AHFK là hình chữ nhật
b)AF song song với BD và KH song song với AC
c)Ba điểm E, H, K thẳng hàng
Bài 10 Cho tam giác ABC nhọn, BD, CE là các đường cao, H, K lần lượt là hình chiếu
của B, C lên DE
a) Chứng minh EH = DK
b) Tam giác ABC cần điều kiện gì để tứ giác BCKH là hình chữ nhật
Bài 11 Cho tam giác ABC và H là trực tâm Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC và CA Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các đoạn HA, HB và HC
a) Chứng minh rằng các tứ giác MNFD và MEFP là các hình chữ nhật
b) Để các đoạn MD, ME và DP bằng nhau thì tam giác ABC phải là tam giác gì?
Bài 12 Cho tam giác ABC Gọi P, Q theo thứ tự là hình chiếu của A lên các tia phân giác
trong và ngoài của góc B R, S theo thứ tự là hình chiếu của A lên các tia phân giác trong
và ngoài của góc C
a) Chứng minh các tứ giác APQB, ARCS là hình chữ nhật
b) Chứng minh P, Q, R, S thẳng hàng
c) So sánh QS với chu vi tam giác ABC
Bài 13 Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G Gọi P là điểm đối
xứng của M qua G, gọi Q là điểm đối xứng của N qua G
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? tại sao?
b) Nếu tam giác ABC cân ở A thì tứ giác MNPQ là hình gì ?
Bài 14 Cho tam giác ABC vuông tại A, AC > AB AH đường cao, trên tia HC
Trang 6toanth.net
lấy HD = HA, đường vuông góc BC tại D cắt AC ở E
a) Chứng minh AE = AB
b) Gọi M trung điểm BE Tính số đo góc AHM ?
Bài 15 Cho hình thang ABCD (AB // CD và AB < CD) M là một điểm trên cạnh đáy
AB Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC và BD Vẽ H là điểm đối xứng với M qua E
và K là điểm đối xứng với M qua F Chứng minh
a) H, K, C, D thẳng hàng
b) M di động thì HK có độ dài không đổi
Bài 16 Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý trong tam giác Gọi D, E, F lần lượt là
trung điểm của BC, CA, AB Gọi H, I, K lần lượt là điểm đối xứng của M qua D, E, F Chứng minh
a) AH, BI, CK đồng qui
b) M di động trên AB thì đường thẳng OM luôn đi qua một điểm cố định
Bài 17 Cho tam giác ABC vuông tại A và AC = 3AB Trên cạnh góc vuông AC lần lượt
lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EC Tính ACB AEB
Bài 18 Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ AH BD Trung điểm của DH là I Nối AI Kẻ đường thẳng vuông góc với AI tại I cắt cạnh BC ở K Chứng minh K là trung điểm cạnh
BC