Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax và By và một tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến Ax và By tại C và D.. Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.[r]
Trang 1Đề kiểm tra 45 phút môn Toán lớp 9 Chương 2 Hình học: THCS Tân Bình
Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax và By và một tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến Ax và By tại C và D
a Chứng minh : AC + BD = CD và AC.BD không đổi
b Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB
c Cho
2
R
AC Tính MA, MB và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆BMD
Giải:
a Ta có: CM = CA, DM = DB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
mà CD = CM + MD ⇒ CD = AC + BD
Lại có OC và OD lần lượt là hai phân giác của hai góc kề bù là
AOM va BOM COD
Trong tam giác vuông COD có OM là đường cao nên ta có :
.
CM DM OM R (không đổi)
⇒ AC.BD = 2
R
b Gọi I là tâm đường tròn đường kính CD, ta có OI là đường trung bình của hình thang vuông ACDB ⇒ OI // AC mà AC ⊥ AB
Do đó: IO ⊥ AB và ,
CA BD CD
chứng tỏ đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB
c Ta có: OA = OM (=R), CA = CM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó OC là đường trung trực của đoạn AM
Gọi H là giao điểm của OC và AM
Xét tam giác vuông CAO có đường cao AH, ta có:
Trang 22
Ta có: AMB 90 (AB là đường kính), theo định lí Pi-ta-go :
2
2 2
Dễ thấy OMD OBD 90 nên đường tròn ngoại tiếp ∆BMD có đường kính là OD
Tứ giác MHOK là hình chữ nhật (K là giao điểm của OD và MB) nên
R
OK MH AM
Xét tam giác vuông OMD, đường cao MK, ta có:
2
.
MO OD OK (hệ thức lượng)
5 5
5
MO R
OK R
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆BMD là 5
2
R