Đề kiểm tra 15 phút lớp 9 môn Toán Chương 2 Hình Học - Bài 3

Gọi I là trung điểm của dây cung AB không qua tâm của đường tròn (O; R).. Qua I vẽ dây cung CD.[r]

Đề kiểm tra 15 phút lớp 9 môn Toán Bài 3 – Chương 2 Hình Học: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Đề số 1

Cho đường tròn (O; 10cm), dây AB = 16cm

a Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB

b Lấy K thuộc dây AB sao cho AK = 14cm Vẽ dây PQ vuông góc với AB tại K Chứng tỏ : AB = PQ

Giải:

a Kẻ OH ⊥ AB, ta có:

 

16 8

2 2

AB

HAHB   cm

Xét tam giác vuông AOH, ta có:

 

10 8 6

b Ta có: KB = AB – AK = 16 – 14 = 2 (cm)

Do đó: HK = HB – KB = 8 – 2 = 6 (cm)

Kẻ OI ⊥ PQ, khi đó tứ giác OHKI là hình chữ nhật có hai cạnh kề OH = KH = 6(cm) nên là hình vuông

Do đó: OH = OI = 6(cm) ⇒ AB = PQ (định lí 1)

Đề số 2

Gọi I là trung điểm của dây cung AB không qua tâm của đường tròn (O; R) Qua I

vẽ dây cung CD

a Chứng tỏ CD ≥ AB Tìm độ dài nhỏ nhất, lớn nhất của các dây quanh I

b Cho R = 5cm, OI = 4cm Tính độ dài dây cung ngắn nhất qua I

c Chứng tỏ rằng : OAI  ODI

Giải:

a Kẻ OK ⊥ CD, ta có: ∆OKI vuông nên OI ≥ OK (cạnh huyền > cạnh góc vuông)

⇒ CD ≥ AB (định lí 2)

Dấu “=” xảy ra khi CD = AB Do đó độ dài nhỏ nhất của CD bằng AB hay CD trùng với AB Hiển nhiên đường kính qua I là dây lớn nhất

b Ta có: ∆OIA vuông tại I

 

Do đó dây cung AB = 6cm

c sin OI OI;sin OK OK

OI OK hay OAI ODI OAI ODI

R R

Đề số 3

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định và dây AC Biết rằng khoảng cách

từ O lần lượt đến AC và BC là 8cm và 6cm

a Tính độ dài các dây AC, BC và bán kính đường tròn

b Lấy D đối xứng với A qua C Chứng minh ∆ABD cân

c Khi C di chuyển trên đường tròn (O) Chứng minh rằng D thuộc một đường tròn

cố định

Giải:

a Kẻ OH, OK lần lượt vuông góc với AC và BC, ta có:

OH = 8cm, OK = 6cm

và

2

AC

HAHC

BC

KBKC (định lí đường kính và dây cung)

AB là đường kính nên ACB  90 Do đó tứ giác CHOK là hình chữ nhật (có ba góc vuông)

⇒ OH = CK = 8cm ⇒ BC = 16cm

Tương tự có : AC = 12cm

Xét tam giác vuông OHC, ta có:

 

8 6 10

OC OH HC    cm (định lí Pi-ta-go)

b ∆ABD có đường cao BC đồng thời là đường trung tuyến nên ∆ABD cân tại B

c Ta có: BD = BA = 2R (cmt), B cố định, 2R không đổi

Vậy D thuộc đường tròn cố định tâm B và bán kính bằng 2R

Đề số 4

1 Cho điểm M nằm bên trong đường tròn (O; R) Dựng qua M hai dây AB và CD sao cho AB > CD Gọi H, K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng : MH > MK

2 Cho đường tròn (O) đường kính AB Chứng minh rằng nếu hai dây cung AC và

BD song song thì bằng nhau

Giải:

1 Nối M với O Xét tam giác vuông OHM, ta có:

HM  OM OH  OM OH (định lí Pi-ta-go)

Tương tự với ∆OKM, có:

Mà AB > CD ⇒ OH < OK

Do đó MH > MK

Các bạn hãy xét bài toán tương tự : Khi điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R)

2 Kẻ OE ⊥ AC thì đường thẳng OE ⊥ BD và cắt BD tại F (vì AC // BD)

Xét hai tam giác vuông AEO và BOF có:

OA = OB (=R)

 

O O (đối đỉnh)

Do đó ∆AEO = ∆BOF (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ OE = OF

⇒ AC = BD (định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)

Đề số 5

Cho điểm P nằm ngoài đường tròn (O; R) và OP = 2R Một đường thẳng qua P cắt (O) tại A và B ( A nằm giữa B và P) và AB = R Gọi H là chân đường vuông góc

kẻ từ O đến PB

a Tính OH, AP theo R

b Kẻ một đường thẳng khác qua P cắt (O) tại C và D (CD ở khác phía với AB so với OP), kẻ OK ⊥ CD

So sánh AB và CD biết 3

2

R

OK  Giải:

a Ta có: OH ⊥ AB (gt)

2 2

AB R

HA HB

(định lí đường kính dây cung)

Xét tam giác vuông AHO, ta có:

2

R R

OH  AO AH  R   

 

∆PHO vuông tại H, ta có:

 

2 2

2

13 1 13

R

 

     

 



OK  hay OKOH  cmt  ABCD