Đề Toán Chuyên Tuyển Sinh Trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2011-2012

[r]

Đề Toán chuyên tuyển sinh trường Phổ Thông Năng khiếu – Đại Học

Quốc Gia TP.HCM Năm 2011 – 2012

Câu 1 Cho phương trình bậc hai 2   2

x  m xm  , trong đó m là tham số sao cho

phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

a) Khi m  1, chứng minh rằng ta có hệ thức 8 8

b) Tìm tất cả các giá trị m sao cho x1  x2  5

c) Xét đa thức   3 2

P x  x ax bx Tìm tất cả các cặp số  a b ,  sao cho ta có hệ thức P x  1  P x  2 với mọi giá trị của tham số m

Câu 2

a) Cho a b , là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1 1

P

ab



 b) Cho x y z , , là các số thực thỏa mãn điều kiện x  1, y  1, z  1 Chứng minh

1  x  1  y  1  z  9  x  y  z

Câu 3 Cho tam giác nhọn ABC có AB  b AC ,  c M là một điểm thay đổi trên cạnh

AB Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC cắt cạnh AC tại N

a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB Tính tỷ số MA

MB để diện

tích tam giác AMN bằng một nửa diện tích tam giác ACB

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Chứng minh I luôn thuộc một

đường thẳng cố định

c) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC Chứng minh rằng độ dài IJ

không đổi

Câu 4 Cho a b c , , là các số nguyên sao cho 2 a  b b ,2  c c , 2  a đều là các số chính phương   *

a) Biết rằng có ít nhất một trong ba số chính phương nói trên chia hết cho 3 Chứng minh rằng tích  a b b c c      a  chia hết cho 27

b) Tồn tại hay không các số nguyên a b c , , thỏa mãn điều kiện   * sao cho

 a b b c c      a  không chia hết cho 27?

Câu 5 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  3, BC  4

a) Chứng minh rằng từ 7 điểm bất kỳ nằm trong hình chữ nhật ABCD luôn tìm được

hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 5

b) Chứng minh rằng khẳng định ở câu a) vẫn còn đúng với 6 điểm bất kỳ nằm trong

hình chữ nhật ABCD

Hướng dẫn giải

Câu 1

a) Khi m  1 ta có phương trình x2 4x 1 0 với      ' 4 1 3 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa x1 x2 4,x x1 2 1

Do

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

m 32 4m2 3m 1 3 m 0 1 m 3

Phương trình có hai nghiệm phân biệt không âm

 

2

m



    







        

  



Ta có

2

3

2

2

m m

m

m

m

















So với điều kiện (*) nhận 2

3

m 

c) P x  1  P x  2 ,  m  P x  1  P x  2  0  m

x x x x x x a x x b

        (vì x1  x2)

x1 x22 a x 1 x2 x x1 2 b 0 m

 a 6  m b 3 a 9 0 m

Câu 2

a)

P

1 2

1 1

ab ab





Vậy Pmin  1 ab

b) Từ x  1, y  1, z  1 ta có:

1 x  1 y  1z  3 x  y  z

        

1  x 1  y   1 x  y  x y   1 2 xy  x y  1  xy

Do đó ta có:

1 x  1 y  1 z  3 x  y  z 2 1xy 1 yz 1 xz

9 x y z

   

1  x  1  y  1  z  9  x  y  z

Câu 3

a)  AMN   ACB

2

1

AMN

ACB

AM

 

 

Ta có:

AB  AB  ABMA AB AC

2



b)Trong đường tròn (I) ta có:  1  0   0 

2

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC , H thuộc BC

Do đó ta có: MAI  BAH A I H, , thẳng hàng

Vậy I thuộc đường cao của tam giác ABC và đường cao này cố định

c)Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó ta có :

OJ vuông góc BC, AI vuonnng góc BC nên OJ // AI

IJ vuông góc MN, AO vuông góc MN nên IJ // AO

Do đó AIJO là hình hình hành nên IJ = AO không đổi

Câu 4

a) Ta có  2 a  b    2 b  c    2 c  a   3  a   b c   3

Theo đề giả sử 2 a b   3 nên  2 b  c    2 c  a   3

Vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 nên 2 b c   3 và 2 c   a 3

Vậy ta có cả ba số 2 a  b b ,2  c c , 2  a đều chia hết cho 3

Từ đó ta có a   b 3 a   2 a  b   3; b   c 3 b   2 b  c   3

c  a  c  c  a 

Vậy  a  b b   c c   a   27

b) Tìm được ba số thỏa 1, 2,0

Câu 5

a)Chia hình chữ nhật thành 6 hình chữ nhật nhỏ có kích thước 1 x 2 mỗi hình có đường chéo độ dài là 5

Theo nguyên tắc đirichlet thì có ít nhất hai điểm nằm chung 1 hình là A, B và AB  5 b)Chia hình chữ nhật ban đầu thành 5 phần hình như hình vẽ

Trong mỗi hình thì khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm là 5