Đề Toán Chuyên Tuyển Sinh Trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2013-2014

Chứng minh rằng khi đó hai nghiệm không thể trái dấu nhau. a) Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ. Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qua K song song BC cắt AB, AC lần lượ[r]

Đề Toán chuyên tuyển sinh trường Phổ Thông Năng khiếu – Đại Học

Quốc Gia TP.HCM Năm 2013 – 2014

Bài 1 Cho phương trình 2 2  

x  mxm  m  với m là tham số

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 phân biệt Chứng minh rằng khi đó hai nghiệm không thể trái dấu nhau

b) Tìm m sao cho x1 x2  1

Bài 2 Giải hệ phương trình

2 2 2









Bài 3 Cho x y , là hai số không âm thỏa mãn x3 y3   x y

a) Chứng minh rằng yx1

b) Chứng minh rằng x3 y3 x2 y2 1

Bài 4 Cho M a2 3a1 với a là số nguyên dương

a) Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ

b) Tìm a sao cho M chia hết cho 5 Với những giá trị nào của a thì M là lũy thừa của

5

Bài 5 Cho tam giác ABC có  0

60

A  Đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qua K song song BC cắt AB, AC lần lượt tại M, N

a) Chứng minh rằng IFMK và IMAN là các tứ giác nội tiếp

b) Gọi J là trung điểm BC Chứng minh A, K, J thẳng hàng

c) Gọi r là bán kình đường tròn (I) và S là diện tích tứ giác IEAF Tính S theo r và

chứng minh

4

IMN

S

Bài 6 Trong một kì thi, 60 phải giải 3 bài toán Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy

rằng: với hai thí sinh bất kì luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được Chứng minh rằng:

a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được

b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thì sinh giải được

Hướng dẫn giải

Bài 1 Phương trình x2 4mxm2 2m 1 0

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

1

m

m









 



Khi đó x x1 2 m12 0 nên x x1, 2 không trái dấu

b) Phương trình có hai nghiệm không âm

2

1 2

1

1

1

3





 









(*)

2

m

0

1

1

2

1

m

m

m

m

m



(thỏa điều kiện (*))

Vậy 1

2

m 

Bài 2

a) Giải hệ phương trình

2

2

2









Cộng 3 phương trình vế theo vế ta có

x y2 yz2 zx2 x12 y12 z12 0

Thử lại ta thấy x y  z 1 thỏa hệ

Vậy hệ có một nghiệm  x y z ; ;  là  1;1;1 

Bài 3 Cho x y , là hai số không âm thỏa x3 y2  x y

a) Chứng minh y x1

Ta có: x  y  x3 y3  0 x  y

Nếu x  y thì 0  x3 y3  0 x  y   0 y  x  1

Nếu x  y   1 x2  xy  y2  x2  0 y  x  1

Vậy yx1

b) Chứng minh x3 y3 x2 y2 1

Vì 0  y  x   1 y3 y x2, 3 x2 x3 y3 x2 y2

và do 1  x2 xy  y2 x2 y2

Do đó ta có: x3 y3  x2  y2  1

Bài 4 Cho M a2 3a1 với a là số nguyên dương

a) Chứng minh mọi ước của M đều là số lẻ

M a  a a a a a a  a nên M là số lẻ do đó mọi ước của M đều là số lẻ

b) Tìm a để M chia hết cho 5 Với những giá trị nào của a thì M là lũy thừa của 5

Ta có: M a12 5 5a a125a1 5 a5k 1k 

M là lũy thừa của 5, hay 2  *

Vì M chia hết cho 5 nên theo trên a  5 k  1 với k là số tự nhiên

Vì a   1 M    5 n 1

Ta có: 5k12 3 5 k 1 1 25k2 25k  5 5n

Nếu n  2 5 5n 2 5 5 2 (vô lí) Do đó n  1 khi đó k   0 a  1

Vậy a  1 thì M là lũy thừa của 5

Bài 5

a) MN//BC mà ID vuông góc BC nên ID vuông góc MN tại K Do đó tứ giác IFMK nội tiếp đường tròn đường kính IM và tứ giác IKEM nội tiếp đường tròn đường kính IN

b) Ta có:   0

30

30

30

KMI  KNI    IMN cân tại I  K là trung điểm của MN

Gọi K ' là giao điểm của AJ với MN, ta có

BJ  AJ  JC    là trung điểm của MN  K '  K

Vậy A, K, J thẳng hàng

c) Vì tam giác AIE vuông tại E có  0

30

Do đó AE  AF  r 3

2

IEAF

60

4

IEF

Vì tam giác IEF đồng dạng tam giác IMN (hai tam giác cân có góc đáy bằng nhau)

Nên

2 1

IMN

IEF

  (vì IF là dây cung của đường tròn đường kính IM)

1 4

Dấu “ = “ xảy ra khi M F hay tam giác ABC đều

Bài 6 Trong một kì thi, 60 thí sinh giải ba bài toán Khi kết thúc kì thi, người ta nhận

thấy rằng với hai thí sinh bất kỳ luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được Chứng minh rằng:

a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được

Gọi ba bài toán là A, B, C Từ giả thiết ta thấy rằng mỗi thí sinh đều giải ít nhất một bài toán

Giả sử mọi thí sinh đều không giải được bài toán A Khi đó nếu mọi thí sinh đều giải được bài toán B thì thỏa yêu cầu bài toán Nếu có thí sinh không giải được bài toán B thì thí sinh đó phải giả được bài toán C, khi đó xét mọi thí sinh còn lại với thì sinh này thì theo giả thiết, các thí sinh còn lại phải giải được bài toán C Do đó yêu cầu bài toán được chứng minh

b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được

Nếu có 1 thí sinh chỉ giải được 1 bài toán thì suy ra mọi thí sinh đều giải được bài toán đó (thỏa yêu cầu bài toán)

Xét trương hợp mọi thí sinh đều giải ít nhất hai bài toán

Gọi x là số thí sinh không giải được bài A

y là số thí sinh không giải được bài B

z là số thí sinh không giải được bài C

Nếu x y z, , 20 x y z 60 (mâu thuẫn) nên trong ba số x y z , , phải có một số không vượt quá 20, do đó có một bài toán mà có nhiều nhất là 20 thí sinh không giải ra, nghĩa là có ít nhất là 40 thí sinh giải ra được

Vậy bài toán được chứng minh