Nhà trường muốn thành lập các nhóm tốp ca, mỗi nhóm gồm đúng 3 học sinh (mỗi học sinh có thể tham gia vài nhóm tốp ca khác nhau). Biết rằng hai nhóm tốp ca bất kỳ có chung nhau nhiều n[r]
Trang 1ĐỂ TOÁN CHUYÊN TUYỂN SINH VÀO 10 PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
NĂM 2018 – 2019
Bài 1 (1,5 điểm) Cho các phương trình x2 x m 0 (1) và mx2 x 1 0 (2) với m là tham số
a) Tìm m để các phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm dương phân biệt
b) Giả sử điều kiện ở câu a) được thỏa mãn, gọi x1, x2 là nghiệm của (1) và x3, x4 là nghiệm của (2) Chứng minh rằng x x x1 2 3x x x2 3 4x x x3 4 1x x x4 1 2 5
Bài 2 (2,0 điểm) Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn a3 + b3 > 0
a) Chứng minh rằng a3b3 a b 0
b) Chứng minh rằng 3 3 2 2
a b a b c) Tìm tất cả các bộ số x, y, z, t nguyên sao cho 3 3 2 2
z t x y
Bài 3 (2,0 điểm) Cho An = 2018n + 2032n – 1964n – 1984n với n là số tự nhiên
a) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì An chia hết cho 51
b) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho An chia hêt cho 45
Bài 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Một đường tròn qua B, C cắt các cạnh AB,
AC lần lượt tại E và F; BF cắt CE tại D Lấy điểm K sao cho tứ giác DBKC là hình bình hành
a) Chứng minh rằng ΔKBC đồng dạng với ΔDFE, ΔAKC đồng dạng với ΔADE b) Hạ DM vuông góc với AB, DN vuông góc với AC Chứng minh rằng MN vuông góc với AK
c) Gọi I là trung điểm AD, J là trung điểm MN Chứng minh rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của cạnh BC
d) Đường thẳng IJ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN tại T (T I) Chứng minh rằng AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DTJ
Trang 2Bài 5 (1,5 điểm) Đội văn nghệ của một trường THCS có 8 học sinh Nhà trường muốn
thành lập các nhóm tốp ca, mỗi nhóm gồm đúng 3 học sinh (mỗi học sinh có thể tham gia vài nhóm tốp ca khác nhau) Biết rằng hai nhóm tốp ca bất kỳ có chung nhau nhiều nhất
là một học sinh
a) Chứng minh rằng không có học sinh nào tham gia từ 4 nhóm tốp ca trở lên
b) Có thể thành lập được nhiều nhất là bao nhiêu nhóm tốp ca như vậy?
GỢI Ý GIẢI
Bài 1 (1,5 điểm) Cho các phương trình x2 x m 0 (1) và mx2 x 1 0 (2) với m là tham số
a) Tìm m để các phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm dương phân biệt
b) Giả sử điều kiện ở câu a) được thỏa mãn, gọi x1, x2 là nghiệm của (1) và x3, x4 là nghiệm của (2) Chứng minh rằng x x x1 2 3x x x2 3 4x x x3 4 1x x x4 1 2 5
Giải
a)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương
1
1
1
1 4 0
1
4 0
m
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương
1
2
2
0
1
4 1
0
m
m
m P
m S m
Vậy để phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm dương phân biệt thì 0 1
4
m
b) Theo Viet ta có: 1 2 1 2 3 4 3 4
1 2 3 2 3 4 3 4 1 4 1 2 1 2 3 4 3 4 1 2
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Trang 31 1 1 1 1 1 5
1 4
m
Ta có thể giải cách khác như sau
Với điều kiện câu a) Giả sử a là nghiệm dương của (1), tức là a2 a m 0
2
2
tức là t 1
a sẽ là nghiệm của (2)
Khi đó gọi x x1, 2 là nghiệm dương của (1) thì 3 4
x x là các nghiệm dương của (2)
Khi đó 1 2 3 2 3 4 3 4 1 4 1 2 1 2 3 4 1 1 1 1 5
1 4
x
m
Bài 2 (2,0 điểm) Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn a3 + b3 > 0
a) Chứng minh rằng a3b3 a b 0
b) Chứng minh rằng 3 3 2 2
a b a b c) Tìm tất cả các bộ số x, y, z, t nguyên sao cho 3 3 2 2
z t x y Giải
a)a3 b3 0 a b, không đồng thời bằng 0
mà ta có:
với mọi a b, không đồng thời bằng 0 nên suy ra a b 0
Theo trên a2 ab b 2 0 mà 2 2
a ab b ℤ (vì a b ℤ, )
Ta có: a b a2 ab b 2 1 0 a b a2 ab b 2 a b a3 b3 a b
Vậy a3 b3 a b 0
Trang 4b)Vì a b 0 và a b là số nguyên
Nếu a b 1 a 1 b
Ta có : b2 b b b 1 0 b 0 hoặc b 1 Do đó b2 b 0 với mọi số nguyên b
Do đó ta có: 3 3 2 2 2 2 2
Nếu a b 2 ta có:
c) 3 3 2 2
x y z t và 3 3 2 2
z t x y
Ta có x3 y3 z2 t2 0 và z3 t3 x2 y2 0
Tương tự nếu z3 t3 0 x y z t 0
Nếu
3 3
3 3
0 0
theo trên ta có:
Mà theo giả thiết 3 3 3 3 2 2 2 3
Do đó điều kiện dấu “ = “ xảy ra, tức là
Vì x3 y3 0 x y 0
Nếu x y 1 x 1 y khi đó
Nếu x y 2
Trang 5 2
1
(loại x y 0 )
Do đó ta có : x3y3 x2y2 x y; 1;0 , 0;1 , 1;1
Tương tự z3 t3 z2 t2 z t; 1;0 , 0;1 , 1;1
Vậy x y z t; ; ; cần tìm 0;0;0;0 , 1;0;1;0 , 1;0;0;1 , 0;1;1;0 , 0;1;0;1 , 1;1;1;1
Bài 3 (2,0 điểm) Cho An = 2018n + 2032n – 1964n – 1984n với n là số tự nhiên
a) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì An chia hết cho 51
b) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho An chia hêt cho 45
Giải
2018n 2032n 1964n 1984n 2018n 1984n 2032n 1964n
n
Ta có: 2018n 1984n⋮2018 1984 hay 2018n 1984n⋮ 34
2032n 1964n⋮2032 1964 hay 2032n 1964n⋮ 68
Vậy A ⋮ n 17
Mặc khác : 2018n 2032n 1964n 1984n 2018n 1964n 2032n 1984n
n
2018n 1964n⋮2018 1964 hay 2018n 1964n⋮ 54
2032n 1984n⋮2032 1984 hay 2032n 1984n⋮ 48
Vậy A ⋮ n 3
Vì 3;17 1 A n⋮51
b)Tìm n để A ⋮ n 5
2018n 2 n mod 5 , 2032n 2 mod 5 ,1964n n 1 n mod 5 ,1984n 1n mod 5
Trang 6do đó 2 n 2n 2 1 n mod 5
n
Nếu n4k A n 0 mod 5
4 1 n 2 mod 5
4
4 2 8.2 k 2 6 mod 5
n
4 3 n 2 mod 5
Vậy A n⋮ 5 n 4k
Tìm n 4k để A ⋮ n 9
2n 2 n 2n 4 mod 9n 2 n 4 mod 9n 2n 4 mod 9n
n
A (vì n 4k là số chẵn)
2 k 4 k mod 9 2 k 1 mod 9
Nếu k 3m n 12m thì A n 0 mod 9
Nếu k 3m 1 thì A n 3 mod 9
Nếu k 3m 2 A n 3 mod 9
Vậy A n⋮ 45 n 12m hay n⋮12
Bài 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Một đường tròn qua B, C cắt các cạnh AB,
AC lần lượt tại E và F; BF cắt CE tại D Lấy điểm K sao cho tứ giác DBKC là hình bình hành
a) Chứng minh rằng ΔKBC đồng dạng với ΔDFE, ΔAKC đồng dạng với ΔADE b) Hạ DM vuông góc với AB, DN vuông góc với AC Chứng minh rằng MN vuông góc với AK
c) Gọi I là trung điểm AD, J là trung điểm MN Chứng minh rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của cạnh BC
d) Đường thẳng IJ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN tại T (T I) Chứng minh rằng AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DTJ
Trang 7Giải
a) Xét tam giác KBC và tam giác DFE ta có:
BKC BDCEDF và BCK CBDDEF
Do đó tam giác KBC đồng dạng tam giác DFE
Ta có : KBC đồng dạng DFE CB CK
AEF
đồng dạng ACB CB AC
Do đó CK AC CK ED
Ta lại có : KCAKCBBCAFECFEADEA
Do đó CKA đồng dạng EDA
b) Ta có từ giác AMDN nội tiếp đường tròn đường kính AD
Trang 8Mà CAK MAD ( vì CKA đồng dạng EDA )
Do đó : MNA CAK MDA EAD 90 0 MN AK
c) Gọi O là trung điểm BC
I là trung điểm AD nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMDN
J là trung điểm của dây cung MN nên IJ là trung trực của MN hay IJ MN
Xét tam giác DAK ta có : I là trung điểm AD, O là trung điểm BC nên IO là đường trung bình tam giác DAK IO/ /AK , mà AK MN IOMN
Ta có: IJ MN IO, MNI J O, , thẳng hàng
d) Xét tứ giác IMTN nội tiếp đường tròn ITN IMN
Vì IJ là trung trực của MN MIT TIN
Ta có: 90 0 MIJIMN TINITN INT vuông tại N
Ta có : IJN đồng dạng INT IN IT IN2 IJ IT.
Mà IN = ID nên ID2 IJ IT.
Khi đó IDJ đồng dạng ITDIDJ ITDID là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DTJ hay AD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DTJ
Bài 5 (1,5 điểm) Đội văn nghệ của một trường THCS có 8 học sinh Nhà trường muốn
thành lập các nhóm tốp ca, mỗi nhóm gồm đúng 3 học sinh (mỗi học sinh có thể tham gia vài nhóm tốp ca khác nhau) Biết rằng hai nhóm tốp ca bất kỳ có chung nhau nhiều nhất
là một học sinh
a) Chứng minh rằng không có học sinh nào tham gia từ 4 nhóm tốp ca trở lên
b) Có thể thành lập được nhiều nhất là bao nhiêu nhóm tốp ca như vậy?
giải
a)Giả sử có bạn a tham gia 4 nhóm N N N N1; 2; 3; 4
vì hai nhóm bất kì chỉ có nhiều nhất một bạn chung nên ta có thể giả sử
Trang 9
1 ; ;1 1 , 2 ; ;2 2 , 3 ; ;3 3 , 4 ; ;4 4
Trong đó x x x x y y y y1, , , , , , ,2 3 4 1 2 3 4 là các bạn học sinh phân biệt Khi đó ta có nhiều hơn 8 học sinh (mâu thuẩn giả thiết)
b)Ta chứng minh có nhiều nhất 8 nhóm
Giả sử có 9 nhóm Khi đó số lần tham dự vào nhóm của các bạn là 9.3 = 27
Mà có tất cả 8 học sinh, nên theo đirichlet thì có một học sinh tham giá ít nhất 4 lần (điều này mâu thuẩn câu a)) Do đó không thể có 9 nhóm
Ta chỉ ra một cách chia 8 bạn x x x x x x x x1, , , , , , ,2 3 4 5 6 7 8 thành 8 nhóm như sau:
x x x1; ;2 3 , x x x1; ;4 5 , x x x1; ;6 7 , x x x2; ;4 6 , x x x2; ;5 8 , x x x3; ;5 7 , x x x3; ;6 8 , x x x4; ;7 8