Bài giải đề toán chuyên tuyển sinh vào 10 TP.HCM năm 2018 – 2019

Đường thẳng AC cắt (O) tại điểm thứ hai K. Đường thẳng BK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại L. các đường thẳng CL và KM cắt nhau tại E. Chứng minh rằng E nằm trên đường tròn ng[r]

ĐỀ TOÁN CHUYÊN TUYỂN SINH 10 TP.HCM 2018 – 2019

Bài 1 (1 điểm) Cho , ,a b c là ba số thực thỏa điều kiện a b c  0 và

a  a c  a b  Tính giá trị biểu thức 2 2 2

Aa b  c

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình 4 x 3 1 4x 2

x

    b) Giải hệ phương trình

2 3

1

x y

x y x y





Câu 3 (2 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) vuông tại A có đường cao AH, gọi E, F lần lượt

là hình chiếu của H lên AB, AC

a) Chứng minh rằng BE CH CF BH AH BC 

b) Gọi D là điểm đối xứng của B qua H và gọi O là trung điểm của BC Đường thẳng đi qua

D và vuông góc với BC cắt AC tại K Chứng minh BK  AO

Câu 4 (1,5 điểm)

a) Chứng minh rằng 4 1 0

2

x   x với mọi số thực x b) Cho ,x y là các số thực thỏa điều kiện x2xyy2 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 2

Px y

Câu 5 (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB Đường thẳng AC cắt (O) tại điểm thứ hai K Đường thẳng

BK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại L các đường thẳng CL và KM cắt nhau tại E Chứng minh rằng E nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM

Câu 6 (2 điểm) Các số nguyên dương từ 1 tới 2018 được tô màu theo qui tắc sau:

Các số mà khi chia cho 24 dư 17 được tô màu xanh

Các số mà khi chia cho 40 dư 7 được tô màu đỏ

Các số còn lại được tô màu vàng

a) Chứng tỏ rằng không có số nào được tô cả hai màu xanh và đỏ Hỏi có bao nhiêu số được

tô màu vàng ?

b) Có bao nhiêu cặp số a b;  sao cho a được tô màu xanh, b được tô màu đỏ và a b 2

Gợi ý giải

Bài 1 (1 điểm) Cho , ,a b c là ba số thực thỏa điều kiện a b c  0 và

a  a c  a b  Tính giá trị biểu thức 2 2 2

Aa b c

0 a b c  a b c 2 ab bc ca 2 ab bc ca   a b  c

Ta lại có: a2 2a c 1a b  1 2a2ab bc ca b c     1

a ab bc ca b c

2 2 2 2 2 2 2 0

1

b

c





 

Vậy a2b2c2  2

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình 4 x 3 1 4x 2

x

    b) Giải hệ phương trình

2 3

1

x y

x y x y





Giải

a) 4 x 3 1 4x 2

x

    Điều kiện: x 3;x 0

Phương trình 4x x  3 x 4x2   2 x 3 4x x 3 4x2  1

   

+

2

 

41 3 2

8

x

x

  





(nhận)

+

1 1

2 2

x x



8

x 

Vậy phương trình có nghiệm 41 3

8

x  ; 5 57

8

x 

 

2 3

2

x y

x y x y







Từ (1) x2  1 y3

Từ (2) ta có: x2x3  y3y5  y21y3y x2 2

2

0

1

x

x y





Nếu x   0 y 1

Nếu 1 x y  2

1

y

y x





Nếu y   0 x 1

  



Thử lại thấy các nghiệm     0;1 , 1;0 , 3; 2   thỏa

Vậy hệ có ba nghiệm     0;1 , 1;0 , 3; 2  

Câu 3 (2 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) vuông tại A có đường cao AH, gọi E, F lần lượt

là hình chiếu của H lên AB, AC

a) Chứng minh rằng BE CH CF BH AH BC 

b) Gọi D là điểm đối xứng của B qua H và gọi O là trung điểm của BC Đường thẳng đi qua

D và vuông góc với BC cắt AC tại K Chứng minh BK  AO

a)thay AB2 BH BC BH AB2

BC

BC

BE CH CF BH AH BC

BE AC CF AB

AH BC

BE AC CF AB AH BC

Tam giác BEH đồng dạng tam giác BAC BE BA BE CA HE AB 2S ABH

Tam giác CFH đồng dạng tam giác CAB CF CA CF AB HF AC 2S AHC

Ta có: BE CA CF AB  2SABH 2SACH 2SABC AH BC (điều phải chứng minh)

b)Gọi giao điểm của BK với AH là G, khi đó HG là đường trung bình tam giác BKD nên G là trung điểm BK

DG là trung tuyến tam giác vuông ADK nên

2

BK

DG 

AG là trung tuyến tam giác vuông ABK nên

2

BK

AG 

BG AG

Mà OB = OA (AO là trung tuyến tam giác vuông ABC)

Nên OG là trung trực của AB

Trong tam giác ABO ta có G là trực tâm BG AO hay BK  AO

Câu 4 (1,5 điểm)

a) Chứng minh rằng 4 1 0

2

x    với mọi số thực x x b) Cho ,x y là các số thực thỏa điều kiện x2xyy2  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị 3 nhỏ nhất của 2 2

Px y Giải

a)

0

x   x x x  x   x x   x  

Dấu “ = “ xảy ra

2 1 2 1 2

x

x



 

 



(vô nghiệm)

2

x    với mọi số thực x x

2

x y

x y  xy xy   Dấu “ = “ xảy ra

x y

 

Ta có:



3 3

x y

  





 

Vậy Pmax    6 x y 3 hoặc x  y 3

2

x y

         Dấu “ = “ xảy ra    x y

x y

1 3

y

x xy y

 

1 1

x y

 



 

1

x P

y





    

1

x y

 







Câu 5 (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB Đường thẳng AC cắt (O) tại điểm thứ hai K Đường thẳng

BK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại L các đường thẳng CL và KM cắt nhau tại E Chứng minh rằng E nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM

Vì BAK 900BK là đường kính của đường tròn (O)

KM BM

Vì BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên BLLC

Trong tam giác EBC có K là trực tâm nên suy ra EK BC (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra E, K, M thẳng hàng

Khi đó ta có: CAECME900A M, thuộc đường tròn đường kính CE hay E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC

Câu 6 (2 điểm) Các số nguyên dương từ 1 tới 2018 được tô màu theo qui tắc sau:

Các số mà khi chia cho 24 dư 17 được tô màu xanh

Các số mà khi chia cho 40 dư 7 được tô màu đỏ

Các số còn lại được tô màu vàng

a) Chứng tỏ rằng không có số nào được tô cả hai màu xanh và đỏ Hỏi có bao nhiêu số được

tô màu vàng ?

b) Có bao nhiêu cặp số a b;  sao cho a được tô màu xanh, b được tô màu đỏ và a b 2 Giải

Gọi a n 24n17 là số được tô màu xanh

m

b  m là số được tô màu đỏ

Giả sử có số được tô cả hai màu xanh và đỏ, tức là số đó chia 24 dư 17 và chia 40 dư 7, khi đó tồn tại hai số nguyên ,n m sao cho 24 n17 40 m 7

Khi đó : 24 5 k 17 40 m 7 40m3k104m3k1 (vô lí vì ,m k là các số

nguyên)

Vậy không có số nào được tô bởi hai màu xanh và đỏ

Ta có: 1 24 n17 2018   0 n 83

 có 84 số tô màu xanh

Ta có 1 40 m 7 2018 0 m50

 có 51 số tô màu đỏ

Vậy số được tô màu vàng là : 201884 51 1883 số

b)Tìm số bộ n m,  thỏa a n b m  2 12n20m 5 1



3

m

Vì 3 1

2

t

t



 ℤ lẻ  có 17 giá trị t hay có 17 bộ n m,  hay có 17 bộ a b n, m

6

m

6

m



Vậy có 17 cặp số a b,  thỏa đề bài