Nhận xét. Phần a) của bài toán là bài bất đẳng thức không đối xứng nên chúng ta nghĩ đến việc quy đồng, sau đó thì thực sụ là quá dễ kể cả đối với những bạn ít học bất đẳng thức. Phần b)[r]
Trang 1LỜI GIẢI ĐỀ CHUYÊN TOÁN LỚP 10/2019
THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
Tập thể lớp chuyên Toán khóa 36
-7th June 2019
Bài 1 (2,0 điểm).
a) Cho số thực x thỏa mãn x + 1
x = 3 Tính giá trị biểu thức
P = x3+ 1
x3
b) Giải phương trình √ 1
x + 1 +
1
√
x − 1 = 1.
Bài 2 (2,0 điểm).
a) Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng
a
b +
b
c ≥ 4a
a + c
b) Có 15 bạn học sinh nam và 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn Chứng minh rằng luôn tồn tại 1 học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều là nữ
Bài 3 (2,0 điểm). Với mỗi số thực x, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x
Ví dụ √
2 = 1;
−3 2
= −2
a) Chứng minh rằng x − 1 < [x] ≤ x < [x] + 1 = [x + 1] với mọi x ∈ R
b) Có bao nhiêu số nguyên dương n ≤ 840 thỏa mãn [√
n] là ước của n?
Bài 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BH (H ∈ AC) Gọi (ω) là đường tròn tâm C bán kính CB Gọi F là một điểm bất kì trên đoạn thẳng BH (F khác B và H) Đường thẳng AF cắt (ω) tại hai điểm D, E (D nằm giữa A và E) Gọi K là trung điểm của DE
a) Chứng minh rằng F KCH là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng AD · AE = AH · AC = AF · AK
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BF K tiếp xúc với (ω) tại B
Bài 5 (1,0 điểm). Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho
n2019
2n < 1
2020.
Trang 22 Lời giải
Bài 1 (2,0 điểm).
a) Cho số thực x thỏa mãn x + 1
x = 3 Tính giá trị biểu thức
P = x3+ 1
x3
b) Giải phương trình √ 1
x + 1 +
1
√
x − 1 = 1.
Lời giải a) Sử dụng hằng đẳng thức A3+ B3 = (A + B)3− 3AB(A + B) ta có
P = x3+ 1
x3 =
x + 1 x
3
− 3
x + 1 x
· x · 1
x = 3
3− 32 = 18
b) Ta biến đổi phương trình thành
1
√
x + 1 +
1
√
x − 1 = 1
⇔
√
x − 1 +√
x + 1 (√
x + 1)(√
x − 1) = 1
⇔ 2
√ x
x − 1 = 1 Suy ra
(√
x − 1)2 = 2 ⇒ x = 3 + 2√
2
Thử lại ta thấy thỏa mãn, kết luận phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3 + 2√
2
Nhận xét Hai phần trên đều là các bài cơ bản, quen thuộc mà ai cũng phải làm được Có thể nói đây là bài cho điểm Ngoài ra nhiều bạn thắc mắc là những bài giải phương trình tại sao không đặt điều kiện Thực ra nó không cần thiết, bởi lẽ từ phương trình ban đầu ta biến đổi
ra kết quả xong có bước thử lại thì nó đã bao gồm điều kiện cần và đủ nên không nhất thiết phải đặt điều kiện ban đầu (ta chỉ sử dụng trong quá trình loại các trường hợp)
Bài 2 (2,0 điểm).
a) Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng
a
b +
b
c ≥ 4a
a + c
b) Có 15 bạn học sinh nam và 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn Chứng minh rằng luôn tồn tại 1 học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều là nữ
Trang 3Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
b) Ta giả sử phản chứng là không tồn tại bạn nào mà ngồi cạnh hai bạn nữ
Ta quy ước một nhóm nam là một dãy các bạn nam ngồi liên tiếp với nhau và hai nhóm nam được cách nhau bởi một nhóm nữ (một bạn nam cũng coi là một nhóm)
Tuy nhiên không có nhóm nam nào có 1 bạn, nếu không bạn học sinh đó sẽ ngồi cạnh hai bạn nữ (trái với điều giả sử)
Vậy số học sinh trong một nhóm nam ít nhất luôn là hai bạn học sinh nên số nhóm nam tối đa là [15 ÷ 2] = 7 (nhóm)
Mặt khác nhóm nam và nhóm nữ xếp xen kẽ nhau và ngồi quanh 1 bàn tròn nên số nhóm nam bằng số nhóm nữ và có tối đa là 7 nhóm
Từ giả thiết có 15 bạn học sinh nữ nên theo nguyên lý Dirichlet thì sẽ tồn tại ít nhất một nhóm nữ có ba bạn trở lên, khi đó bạn ngồi giữa sẽ ngồi với hai bạn nữ (trái với giả thiết phản chứng)
Vậy điều giả sử là sai hay ta có đpcm
Nhận xét Phần a) của bài toán là bài bất đẳng thức không đối xứng nên chúng ta nghĩ đến việc quy đồng, sau đó thì thực sụ là quá dễ kể cả đối với những bạn ít học bất đẳng thức Phần
b) cũng không là bài tổ hợp quá khó nhưng ở bậc THCS tỉnh Phú Thọ chưa chú ý lắm phần này nên số bạn làm được chắc cũng không nhiều và khi các bạn học sinh lên bậc THPT lại xuất hiện rất nhiều trong các kì thi Olympic Toán do đó cầ cần sự chú trọng hơn về phần này trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
Bài 3 (2,0 điểm). Với mỗi số thực x, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x
Ví dụ √
2 = 1;
−3 2
= −2
a) Chứng minh rằng x − 1 < [x] ≤ x < [x] + 1 = [x + 1] với mọi x ∈ R
b) Có bao nhiêu số nguyên dương n ≤ 840 thỏa mãn [√
n] là ước của n?
Lời giải a) Dựa vào định nghĩa kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x nên ta có ngay [x] ≤ x
Giả sử x ≥ [x] + 1 mà [x] + 1 > [x] điều này mâu thuẫn với định nghĩa về [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Do đó x < [x] + 1 hay x − 1 < [x]
Bây giờ ta đặt x = {x} + [x] trong đó {x} được gọi là phần lẻ của x Kết hợp các BĐT vừa chứng minh thì ta có 0 ≤ {x} < 1
Khi đó [x + 1] = [[x] + 1 + {x}] = [x] + 1
Vậy suy ra x − 1 < [x] ≤ x < [x] + 1 = [x + 1] với mọi x ∈ R
b) Với mỗi số nguyên dương 1 ≤ n ≤ 840, ta đặt [√
n] = a (a ∈ N∗) Khi đó ta có
a2 ≤ n < (a + 1)2 hay a2 ≤ n ≤ a(a + 2)
Giả sử [√
n] là ước của n, tức là a là ước của n khi đó n chỉ nhận ba giá trị là a2, a(a + 1) và a(a + 2)
Do ba số thuộc trong nửa khoảng [a2, (a + 1)2) nên ta có với mỗi a nguyên dương ta lại có ba
số n thỏa mãn điều kiện bài toán và phân biệt
Mặt khác 1 ≤ n ≤ 840 nên a2 ≤ 840 hay 1 ≤ a ≤ 28
Từ đó ta có tổng cộng 28 × 3 = 84 số n thỏa mãn điều kiện bài toán
Trang 4Bài 4 (3,0 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BH (H ∈ AC) Gọi (ω) là đường tròn tâm C bán kính CB Gọi F là một điểm bất kì trên đường thẳng BH (F khác B và H) Đường thẳng AF cắt (ω) tại hai điểm D, E (D nằm giữa A và E) Gọi K là trung điểm của DE
a) Chứng minh rằng F KCH là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng AD · AE = AH · AC = AF · AK
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BF K tiếp xúc với (ω) tại B
K D
E
H A
B
C F
Lời giải a) Ta có ∠F HC = ∠F KC = 90◦ nên tứ giác F KCH là tứ giác nội tiếp
b) Do AB là tiếp tuyến của ω kết hợp tứ giác F KCH nội tiếp ta có
AD · AE = AB2 = AH · AC = AF · AK
c) Do AF · AK = AB2 nên ta có 4AF B ∼ 4ABK ⇒∠ABF = ∠AKB
Từ đó, AB là tiếp tuyến của (BKF ) nên suy ra (BF K) và (ω) có AB là tiếp tuyến chung hay hai đường tròn tiếp xúc với nhau tại B
Nhận xét Bài hình trong đề thi này không khó, học sinh phải đi chứng minh những kết quả quen thuộc Nếu bài này không có hai ý đầu và cho luôn ý cuối thì bài này vẫn thuộc loại dễ, không có gì mới lạ
Bài 5 (1,0 điểm). Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho
Trang 5Lời giải Với n = 2k
, k ∈ N∗ ta có
(2k)2019
22 k = 1
22 k −2019k
Ta thấy với k = 15 thì ta có 215− 2019 × 2015 = 2483 > 11
Bằng quy nạp ta dễ có với mọi k ≥ 15 thì ta có 2k− 2019k > 11
Do đó
(2k)2019
22 k = 1
22 k −2019k < 1
211 < 1
2020, ∀k ≥ 15.
Vậy tồn tại vô số n thỏa mãn đề bài
Nhận xét Bài này có nhiều cách để chứng minh theo hướng quy nạp Trên đây là một cách chọn n theo lũy thừa của 2 để triệt tiêu tử số và mẫu số cho dễ làm Đây là một kết quả quen thuộc đối với học sinh cấp 3 Nó được phát biểu như sau:
Cho số thực a thỏa mãn |a| > 1 và số nguyên dương k Với mọi số dương ε > 0 thì tồn tại số
n0 sao cho ∀n > n0 ta có
nk
an < ε
Nói theo cách khác thì ta có limn
k
an = 0
Bình luận chung Đề thi năm nay không nằm ngoài dự đoán của các tác giả Đề thi khá dễ, tuy có vài chỗ khó nhưng không hay, không thể phân loại học sinh Mong năm sau người ra đề
sẽ chú trọng hơn về khâu đề thi Chiều nay còn đề thi chuyên Tin nữa, các tác giả sẽ cố gắng cập nhật sớm nhất có thể Cho dù cuộc thi có thế nào thì các bạn học sinh vẫn còn nhiều con đường phía trước Các tác giả mong các thí sinh vẫn giữ được tinh thần và niềm say mê đối với Toán học Đặc biệt cảm ơn các bạn Nguyễn Chí Long, Vũ Đình Toản, Hoàng Khải, Phạm Quý Long, Đỗ Quang Mạnh, đã rất hăng hái giải bài và đóng góp cho tài liệu Tài liệu này được chia sẻ công khai, nghiêm cấm các hành vi sao chép, buôn bán kinh doanh mà không có
sự đồng ý của các tác giả Chân thành cảm ơn!
Email: 10toancutee@gmail.com
Hỗ trợ soạn thảo LATEX: Nguyễn Đăng Khoa - K36 - THPT Chuyên Hùng Vương
Trang 6LỜI GIẢI ĐỀ CHUYÊN TIN LỚP 10/2019
THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
Tập thể lớp chuyên Toán khóa 36
-7th June 2019
Bài 1 (2,0 điểm).
a) Chứng minh rằng √ 1
2 +p2 +√
3
+√ 1
2 −p2 −√
3
=√ 2
b) Giải phương trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9
Bài 2 (2,0 điểm). Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của n
a) Tính S(20192020)
b) Chứng minh rằng n ≥ S(n) với mọi số nguyên dương n
c) Tìm tất cả các số nguyên dương n ≤ 1000 thỏa mãn n = 14S(n) − 2
Bài 3 (2,0 điểm). Cho số nguyên dương n Tân và Dương cùng chơi một trò chơi như sau: mỗi lượt chơi, một bạn sẽ viết lên bảng một số nguyên dương không vượt quá n Hai bạn luân phiên thực hiện lượt chơi của mình (Tân thực hiện trước) thỏa mãn các điều kiện sau:
i) Không có số nào được viết lên bảng quá một lần;
ii) Không có hai số nguyên dương liên tiếp được viết lên bảng;
iii) Ai đến lượt mình không thể viết thêm số lên bảng là người thua cuộc
a) Với n = 4 hãy chỉ ra chiến thuật để bạn Dương chắc chắn thắng cuộc
b) Với n = 2019, hãy chỉ ra chiến lược để bạn Tân chắc chắn thắng cuộc
Bài 4 (3,0 điểm). Cho nửa đường tròn Γ tâm O đường kính AB Gọi M, N lần lượt là các điểm phân biệt nằm trên Γ sao cho M thuộc cung AN (M khác A, N khác B) Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM , BN ; H là giao điểm của AN và BM
a) Chứng minh rằng C, M , H, N cùng thuộc một đường tròn, kí hiệu là đường tròn (I)
b) Chứng minh rằng OM là tiếp tuyến của (I)
c) Gọi P là giao điểm thứ hai của CO và (I) (P khác C) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn ngoại tiếp các tam giác AP C, BP C
Trang 72 Lời giải
Bài 1 (2,0 điểm).
a) Chứng minh rằng √ 1
2 +p2 +√
3
+ √ 1
2 −p2 +√
3
=√ 2
b) Giải phương trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9
Lời giải a) Ta biến đổi như sau
1
√
2 +p2 +√
3
+√ 1
2 −p2 −√
3
=
√ 2
2 +p4 + 2√
3 +
√ 2
2 −p4 − 2√
3
=
√
2
2 +
q
(1 +√
3)2
+
√ 2
2 −
q (√
3 − 1)2
=√
2 ·
1
3 +√
3 +
1
3 −√ 3
=√ 2
b) Ta có phương trình ban đầu tương đương với
(x2+ 8x + 7)(x2+ 8x + 15) = 9 (1)
Đặt x2+ 8x + 11 = t, khi đó ta có (1) sẽ tương đương với t2− 16 = 9 hay t = ±5
Với mỗi t ta giải phương trình bậc hai tìm được x
Kết luận phương trình có ba nghiệm là −4 +√10; −4 −√
10; −4
Bài 2 (2,0 điểm).
Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của n
a) Tính S(20192020)
b) Chứng minh rằng n ≥ S(n) với mọi số nguyên dương n
c) Tìm tất cả các số nguyên dương n ≤ 1000 thỏa mãn n = 14S(n) − 2
Lời giải a) Ta có S(20192020) = 2 + 0 + 1 + 9 + 2 + 0 + 2 + 0 = 16
b) Ta viết số n dưới dạng n = a1a2 ak trong đó k ∈ N∗
Khi đó ta có n = a1a2 ak = 10k−1· a1+ 10k−2· a2+ + ak≥ a1+ a2+ + ak = S(n) Vậy ta luôn có n ≥ S(n) với mọi số nguyên dương n Đẳng thức xảy ra khi n là số có một chữ
số hay n ∈ {1; 2; 3; ; 9}
c) Trước hết với n = 1000, thay vào ta thấy không thỏa mãn
Ta xét các trường hợp
TH1 n là số có một chữ số Khi đó n = 14n − 2 hay 13n = 2 (vô lý)
Vậy trường hợp này loại
TH2 n là số có hai chữ số Viết n =ab (a ∈ N∗, b ∈ N; a, b ≤ 9)
Ta có
ab = 14(a + b) − 2 ⇔ 4a + 13b = 2
(vô lý do a ≥ 1) Vậy trường hợp này loại
Trang 8TH3 n là số có ba chữ số Viết n = abc.
Ta có
abc = 14(a + b + c) − 2 ⇒ 86a + 2 = 13c + 4b
Nếu a ≥ 2 thì 86a + 2 ≥ 174 > 13 · 9 + 4 · 9 ≥ 13c + 4b (vô lý)
Do đó a = 1, thay vào ta có 13c + 4b = 88 Dễ có c .4 nên c ∈ {0; 4; 8}.
Thử từng trường hợp thì ta thấy thỏa mãn với c = 4 và b = 9
Kết luận có một số n thỏa mãn điều kiện bài toán là 194
Bài 3 (2,0 điểm).Cho số nguyên dương n Tân và Dương cùng chơi một trò chơi như sau: mỗi lượt chơi, một bạn sẽ viết lên bảng một số nguyên dương không vượt quá n Hai bạn luân phiên thực hiện lượt chơi của mình (Tân thực hiện trước) thỏa mãn các điều kiện sau:
i) Không có số nào được viết lên bảng quá một lần;
ii) Không có hai số nguyên dương liên tiếp được viết lên bảng;
iii) Ai đến lượt mình không thể viết thêm số lên bảng là người thua cuộc
a) Với n = 4 hãy chỉ ra chiến thuật để bạn Dương chắc chắn thắng cuộc
b) Với n = 2019, hãy chỉ ra chiến lược để bạn Tân chắc chắn thắng cuộc
Lời giải a) Nếu bạn Tân viết số 1 thì Dương viết số 3, do còn hai số là 2 và 4 nên bạn Tân không thể viết tiếp được theo điều kiện ii) Vậy bạn Dương thắng cuộc
Với chiến thuật tương tự, Tân viết số 2 thì Dương viết số 4; Tân viết số 3 thì Dương viết số 1; Tân viết số 4 thì Dương viết số 2
Vậy ta đã có chiến thuật với n = 4 thì bạn Dương luôn luôn thắng
b) Với n = 2019 Bạn Tân viết số 1010 đầu tiên (ta hiểu nôm na là số ở giữa các số từ 1 đến 2019)
Sau đó mỗi khi bạn Dương viết số nguyên dương a nào đó thì Tân sẽ viết số 2020 − a
Với cách viết này thì ta luôn đảm bảo được rằng a và 2020 − a không là hai số nguyên dương liên tiếp (dễ chứng minh) Do đó chiến thuật này luôn giúp bạn Tân giành chiến thắng
Bài 4 (3,0 điểm). Cho nửa đường tròn Γ tâm O đường kính AB Gọi M, N lần lượt là các điểm phân biệt nằm trên Γ sao cho M thuộc cung AN (M khác A, N khác B) Gọi
C là giao điểm của các đường thẳng AM , BN ; H là giao điểm của AN và BM
a) Chứng minh rằng C, M , H, N cùng thuộc một đường tròn, kí hiệu là đường tròn (I)
b) Chứng minh rằng OM là tiếp tuyến của (I)
Trang 9P
I H C
A
M
N
Lời giải a)Ta có∠HM C = ∠HN C = 90◦ nên bốn điểm C, M , H, N cùng thuộc một đường tròn tâm I là trung điểm CH
b) Ta có OM = OB nên
∠OM B = ∠OBM = ∠ABM = ∠MCH
Suy ra OM là tiếp tuyến của đường tròn (I)
c) Gọi C0 đối xứng với C qua O Khi đó CAC0B là hình bình hành
Mặt khác H là trực tâm tam giác CAB nên ∠HAC0 = ∠HBC0 = 90◦
Do P ∈ (I) nên ta cũng có ∠HP C0 = ∠HP C = 90◦ Vậy ta có năm điểm A, H, P, B, C0 thuộc một đường tròn hay ta có tứ giác AHP B nội tiếp
Suy ra
∠P BO = ∠P HN = ∠P CN = ∠P CB
Do đó AB là tiếp tuyến của (BP C), tương tự ta có AB là tiếp tuyến của (AP C) hay ta có đpcm
Nhận xét Bài hình này hai ý đầu thì căn bản, ý sau cũng là một tính chất quen thuộc của điểm P , tuy nhiên nó có thể xa lạ với một số bạn ít học hình Mong qua lời giải trên các bạn
sẽ học được thêm cách kẻ thêm lấy đối xứng để chỉ ra tứ giác HP BA nội tiếp (ý chính của cả
Trang 10bài toán) Điểm P được gọi là điểm Humpty trong tam giác ABC ứng với đỉnh C Các bạn
có thể tham khảo thêm một số tài liệu rất hay trên Internet về điểm này
Bài 5 (1,0 điểm).Cho các số nguyên a, b Giả sử x0 ∈ Q là một nghiệm của phương trình
x2+ ax + b = 0 Chứng minh rằng x0 ∈ Z
Lời giải Ta giả sử phản chứng x0 ∈ Z Ta đặt x/ 0 = x
y trong đó x ∈ Z, y ∈ N∗ và y > 1; x, y nguyên tố cùng nhau
Gọi x1 là nghiệm thứ hai của phương trình trên (không nhất thiết phải khác x0)
Theo định lý Vi-ét ta có
x1 = −a − x
y =
−ay − x y và
−ay − x
y · x
y = b ∈ Z
Do (x, y) = 1 nên ta có (−ay − x, y) = 1 mà y > 1 nên suy ra (−ay − x) · x
y2 ∈ Z (Mâu thuẫn)./ Vậy điều giả sử là sai hay ta có x0 phải là số nguyên
Bình luận chung Đề thi chuyên Tin nói chung là vừa sức với các em học sinh, thang điểm sẽ hợp lí hơn Mong rằng các thi sinh đã hoàn thành bài thi hết sức mình và vẫn giữ vững được tinh thần, niềm say mê với Toán và sẽ có một mùa hè bổ ích cho dù năm sau có vào trường nào
đi chăng nữa Qua đợt làm đề thi này, tuy có nhiều thiếu sót nhưng các tác giả mong muốn bạn đọc hiểu và thông cảm, đặc biệt mong các bạn đọc sẽ có một tài liệu bổ ích để tham khảo thêm Xin cảm ơn các bạn Hoàng Khải, Nguyễn Chí Long, Phạm Quý Long, Đỗ Quang Mạnh,
Vũ Đình Toản, Nguyễn Đăng Khoa, đã có đóng góp rất nhiều trong nhóm giải đề để cho tài liệu được hoàn thiện hơn Tài liệu này được chia sẻ công khai, nghiêm cấm các hành vi sao chép, buôn bán kinh doanh mà không có sự đồng ý của các tác giả Xin chân thành cảm ơn!
Email: 10toancutee@gmail.com
Hỗ trợ soạn thảo LATEX: Nguyễn Đăng Khoa - K36 - THPT Chuyên Hùng Vương