Tài liệu tham khảo Toán học cấp 2

Khi đó ta vận dụng cách tìm cực trị của các biểu thức đại số bằng cách sử dụng các bất đẳng thức, các phương pháp tìm cực trị ở phần I với những điều kiện cụ thể của các yếu tố hình học [r]

PHẦN I: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ

Chương I Những kiến thức cơ bản.

I- Khái niệm.

Cho một hàm số f(x) xác định trên một miền D

1 M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D nếu 2 điều kiện sauđồng thới được thoả mãn:

2 a, | x |  0 với mọi x

b, | x + y | | x | + | y |, dấu “=” xảy ra khi x, y cùng dấu

c, | x − y | | x | - | y |, dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu

Chứng minh:

a, | x |  0 Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối

b, Ta có | xy |  xy  | x || y |  xy

 2| x || y |  2xy  x2 + 2| x || y |+ y2  x2 + 2xy + y2

c, Ta có: | xy |  xy  -| xy | -xy.

Tương tự phần b ta chứng minh được

| x | - | y | | x − y |

Dấu bằng xảy ra khi x, y cùng dấu, hoặc x hoặc y bằng 0

3 Bất đẳng thức Côsi ( Cauchy) và các dạng của bất đẳng thức Côsi

a, ( a + b )2

 4ab, dấu bằng xảy ra khi a = b

b, a b+b

a ≥ 2 , ( a.b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b

c, a + b  2√ab , ( a  0, b  0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b

Hệ quả:

+ a  0, b  0 và a + b = k ( không đổi )

Thì (a.b) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi a = b

Hai số không âm có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

+ a  0, b  0 và a.b = k ( không đổi )

Thì (a + b) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b

Hai số không âm có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

y

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: f(x) = x2 + x + 1.

Với biểu thức trên miền D là toàn bộ miền xác định của biểu thức, là tập R

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1

x2− 4x+10

Nhận xét: x2 – 4x + 10 = (x-2)2 +6  6, x  D (D=R)

Tử là hằng số dương

Do đó: A lớn nhất khi và chỉ khi mẫu số đạt giá trị nhỏ nhất

Mẫu số có giá trị nhỏ nhất bằng 6 khi x = 2Suy ra A đạt giá trị lớn nhất bằng 16 khi x = 2

Do y > 0 nên max y = 2 khi √x-2

√4-x=1 hay x = 3  DVậy giá trị lớn nhất của y là 2 khi x = 3

2 Phương pháp miền giá trị của hàm số.

Giả sử ta phải tìm cực trị của một hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y0 là mộtgiá trị nào đó của f(x) với x  D Điều này có nghĩa là phương trình f(x) = y0 phải

Trước hết: (1)  (1-y)x2 + 8x + 7 – y = 0 (2)

Nếu 1 – y = 0

y = 1  x = -34Nếu 1 – y  0

y  1  ’ = 16 - ( 7 – y )( 1 – y )

’ = - y2 + 8y + 9 ’ = ( 1 + y )( 9 – y )(x,y) là nghiệm của phương trình (1) cho nên phương trình (2) phải cónghiệm

Do đó ’  0  ( 1 + y )( 9 – y )  0

 - 1  y  9

Suy ra: max y = 9 khi đó ’ = 0, x = 1

Vậy cặp nghiệm thoả mãn bài toán là (1; 9)

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x

4 +1

(x2

+ 1)2

Ta thấy (x2 + 1)2 > 0, x4 + 1 > 0

Nên A đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi A1 đạt giá trị nhỏ nhất và ngược lại

b, Nếu A = B + C + D + … (A, B, C, … là các biểu thức đại số) Để tìm cựctrị của A, ta đi tìm cực trị của B, C, D… nhưng phải chứng minh được với cùngmột giá trị của biến đồng thời các biểu thức B, C, D,… cùng đạt cực trị

c, Khi tìm cực trị của một biểu thức A, có khi ta thay điều kiện để tìm cực trịcủa biểu thức này bằng điều kiện tương đương để tìm cực trị của biểu thức khácnhư: - A; A2; A1; A  m ( m là hằng số )…

Chương II Những dạng toán thường gặp và phương pháp giải

I- Dạng 1: Đa thức bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a, A = |x +1|

b, B = |4 −3x| + 5

c, C = |x −1997| + |2000− x|

Bài giải

a, A = x 1

Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối, ta có:

|x +1|  0, x

 A = x 1 đạt giá trị nhỏ nhất khi x + 1 = 0  x = -1

Vậy MinA = 0  x = -1

b, Ta có 4-3x 0 4 3x 55

Vậy biểu thức B đạt giá trị bằng 5 khi 4 – 3x = 0  x = 43

Do đó MinB = 5  x = 43

c, Áp dụng bất đẳng thức:

|x + y|≤|x| + |y| Dấu bẳng xảy ra khi x, y cùng dấu hoặc x hoặc y bằng 0 Suy ra: C = |x −1997| + |2000− x|≥|x − 1997+2000 − x|

C  3 MinC = 3 khi (x - 1997)(2000 - x)  0

x 1997 2000

x - 1997 - 0 + +

2000 - x + + 0

(x 1997)(2000 x) 0 + 0

-Vậy minC = 3 khi 1997  x  2000

Kết luận: Các bài toán thuộc dạng 1 thường gặp ở lớp 7 Với dạng này cách

giải thường tương đối dơn giản, chỉ cần áp dụng:

+ |A|≥ 0, ∀ A + |A| = |− A| + xy x  y , dấu bằng xảy ra khi xy  0

+ A = m|f (x)|+n, tồn tại maxA hay minA phụ thuộc vào dấu của m

x=2 y=4

x+5=0 3x − 4y=0

¿ {

¿

¿ 

x=−5 y=-15

Chẳng hạn A = m[f(x)]2 + n[g(x)]2 + p

Tồn tại maxA hay minA phụ thuộc vào dấu của m và n

- Dùng phương pháp miền giá trị thường là đưa về điều kiện để phương trìnhbậc 2 có nghiệm

x2 + y2 + 6x – 3y – 2xy + 7 = 0 Sao cho y đạt giá trị lớn nhất

III- Dạng 3: Đa thức bậc cao.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức A = (x2 + x + 1)2

Nhận xét: Theo tính chất của luỹ thừa bậc 2 thì A  0

Nhưng giá trị nhỏ nhất của A không phải bằng 0 vì x2 + x + 1  0

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9

Ta thấy B = x4 – 6x3 + 9x2 + x2 – 6x + 9

B = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2

 B  0, Dấu bằng xảy ra khi

Vậy minB = 0 khi x = 3

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3)

Xét f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3)

= (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = (x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) f(x) = (x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) + 1 – 1

1 1

x

1 x 1

x

1 x x

x

1 1

và (x + 2)2  0Nên minB = -1 khi x + 2 = 0  x = -2

(x ), x  D+ |f (x)|+|g(x)|≥|f (x)+g(x )| Dấu bằng xảy ra khi f(x).g(x)  0

+ |f (x)|−|g(x)|≤|f (x)+g(x )| Dấu bằng sảy ra khi

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = √ x − 2+√4 − x

Trước hết điều kiện xác định của A là 2  x  4

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 5 −3x

√1 − x2Điều kiện xác định của B là: -1 < x < 1

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = |x −2001| + |x −2002|

Cách 1: Ta chia khoảng xác định và dựa vào định nghĩa:

- Nếu x < 2001

Thì H = 2001 – x + 2002 – x

Dấu bằng xảy ra khi f(x).g(x)  0 Khi đó:

H = |x −2001| + |x −2002|

H = |x −2001| + |2 002 − x|≥|x −2001+2 002− x| =1

Dấu bằng xảy ra khi (x – 2001)(2002 – x)  0  2001  x  2002 Vậy minH = 1  2001  x  2002

Ví dụ4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =√a+3 − 4√a −1+√a+15− 8√a −1

Nhận xét: Với điều kiện a  1

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = |2x2+x −1

x2− x +1|,

x  R

Giả sử y0 là giá trị tuỳ ý của hàm số y = 2x2+x −1

x2− x +1

Khi đó ta có phương trình (ẩn x) có nghiệm: y0 = 2x2+x −1

Như vậy phương trình (2) có nghiệm khi - 1 y0  3

Do đó: max y = 3 và min y = -1 với x  R

Ta có f(x)  0,  x  R

Dấu bằng xảy ra khi 2x2

+ x – 1 = 0  ¿¿Vậy maxf(x) = 3  x = 2; Minf(x) = 0  ¿

VI- Dạng 6: Cực trị có điều kiện.

Các bài toán cực trị có điều kiện là các bài toán đi tìm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất của một biểu thức, một hàm số trong sự ràng buộc của điều kiện của biến,của hàm cho trước Để giải quyết đượccác bài toán dạng này, đòi hỏi phải kết hợpthành thạo kỹ năng biến đổi khéo léo và vận dụng triệt để điều kiện cho trước củađầu bài

Vì x + y = 1  y – 1 = - x

x – 1 = - yNên P = (x +1)( y+1)xy

1 Cho biểu thức P = a3 + b3 + c3 + a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a+ b)

Tìm giá trị lớn nhất của P với a + b + c = 1

2 Cho x + y = 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x; y) = x2 + y2

3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = 3xy – x2 – y2 biết rằng x, y là nghiệm của phương trình 5x + 2y = 10

4 Cho a + b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = a3 + b3 + ab

Võ Đại Mau – 250 bài toán học sinh giỏi

VII- Dạng 7: Các bài tập tổng hợp.

Đây là các bài tập mà yêu cầu chính không phải là tìm giá trị lớn nhất haygiá trị nhỏ nhất Nhưng trong quá trình giải thực tế phải áp dụng các kiến thức vềcực trị

Ví dụ 1: Giải phương trình √ x − 2+√4 − x=x2−16x+11

Ta có VP = x2 – 6x + 11 = x2 – 6x + 9 + 2

= (x – 3)2 + 2  2Dấu bằng xảy ra khi x = 3

VT = √x − 2+√4 − x

Điều kiện 2  x  4 Theo bất đẳng thức Bunhia côpxki thì

Do đó x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 2: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Xác định hình dạng của

tam giác đó sao cho M = b+c −a a + b

a+c −b+

c a+b− c đạt giá trị nhỏ nhấtTrước hết đặt: x = b + c – a

z ≥ 2, dấu bằng xảy ra khi z = y

Do đó M  12(2 + 2 + 2) = 3, dấu bằng xảy ra khi x = y = z

Suy ra: 2(a2 + b2 + c2

)  2ab + 2bc + 2ca  a2 + b2 + c2

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(-2, 1), B(2, 3) Tìm trên trục

hoành điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất

1 2 3

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua Ox, A’B  Ox  Mo

Xét M bất kỳ  Ox

Luôn có MA + MB = MA’ + MB  A’B

MoA’ + MoB = MoA + MoB = A’B

Do đó tổng MA + MB nhỏ nhất bằng A’B khi M  Mo

Ta lại có A(-2; 1)  A’(-2; -1) B(2; 3)

Phương trình đường thẳng A’B có dạng y = ax + b(d)

(d) qua A’  b – 2a = -1(d) qua B  2a + b = 3

Ta có hệ

b − 2a=−1 2a +b=3

⇔

¿a=1 b=1

¿ {

¿

¿Phương trình đường thẳng A’B là y = x + 1 (d)

Giao điểm của (d) với Ox là Mo(-1; 0)

Vậy điểm M phải tìm là M(-1; 0)

B = a + b + c – ab – ac – bc

3 Tìm giá trị lớn nhất của P = ab

Biết rằng a, b thoả mãn hệ thức a + 2b = 1

4 Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t là các số nguyên không

âm Tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x, y, z, t Biết

Đề học sinh giỏi toàn quốc - 1985

5 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức N = 2x + 3y – 4z

Biết rằng: x, y, z  0 và thoả mãn hệ phương trình sau

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Chương I Những kiến thức cơ bản.

y1, y2 là các giá trị cố định không đổi của y

- Giải bài toán cực trị hình học là phải chỉ rõ vị trí hình học của y để y đạtgiá trị nhỏ nhất y = y1 hay y = y2

II- Các phương pháp giải bài toán cực trị hình học.

Người ta có thể giải bài toán cực trị hình học bằng một trong các phươngpháp sau đây:

1 Phương pháp 1.

Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điềukiện của đại lượng đó bằng các đại lượng tương đương Người ta thường dùngcách này khi đầu bài toán được cho dưới dạng: “Tìm một hình nào đó thoả mãn cácđiều kiện cực trị của bài toán.”

Ví dụ 1: Trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác nào có

chu vi nhỏ nhất

AA'

Vì diện tích ABC không đổi nên đường cao AH của ABC cũng khôngđổi Do đó các đỉnh của các tam giác thoả mãn điều kiện của đầu bài phải nằm trênđường thẳng xy.

Ta có PABC = AB + AC + BC = AB + AC + a

PABC nhỏ nhất khi AB + AC nhỏ nhấtGọi B’ là điểm đối xứng với B qua xy, B’C cắt xy tại A’ Xét tam giác AB’C

có AB’ + AC = AB + AC  B’C

Ta có:AB’ + AC  A’B’ + A’C

Dấu bằng xảy ra khi A  A’

Khi đó A’B’ = A’B = A’C Nên A’BC cân tại A’

Và PABC  PA’BC hay minPABC = PA’BC

Vậy trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích thì tam giác cân cóchu vi nhỏ nhất

2 Phương pháp 2.

Đưa ra một hình theo yêu cầu của đầu bài, sau đó chứng minh mọi hình khác

có chứa yếu tố mà ta phải tìm cực trị đều lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứngtrong hình đã đưa ra

Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình khi đạtcực trị đã được khẳng định rõ trong đầu bài

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích

thì tam giác cân có chu vi nhỏ nhất

Để giải bài toán này trước hết ta vẽ tam giác cân ABC (cân ở A) Ta phảichứng minh rằng mọi tam giác A’BC nào đó có khoảng cách từ A’ đến BC bằngkhoảng cách từ A đến BC thì chu vi tam giác A’BC lớn hơn chu vi tam giác ABC

Thật vậy:

* Ta sẽ có A’  xy, xy qua A và song song với BC (A’  A)

Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua xy

Chứng minh được B, A, C’ thẳng hàng

Khi đó PABC = BC’ + BC

PA’BC = A’B + A’C + BC

= A’B + A’C’ + BC

cũng có được một tam giác

đối xứng với ABC

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a Xét hình thang có 4 đỉnh ở trên 4

cạnh của hình vuông và hai đáy song song với một đường thẳng chứa đường chéocủa hình vuông Tìm hình thang có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất ấy

x

a-y

y

y a-y

Ta thấy EFGH là hình thang cân

Gọi S là hiệu của diện tích hình vuông ABCD và diện tích hình thangEFGH

y x

C

C'

B

Nên S = SAEH + SEBF + SFCG + SDHG

Chương II Các dạng toán cực trị thường gặp và phương pháp giải I- Dạng 1: Sử dụng bất đẳng thức tam giác.

- Với 3 điểm A, B, C bất kỳ luôn có

AB + AC  BC

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A nằm giữa B, C

- Trong tam giác ABC ta có

|AB − AC| < BC<AB+AC

ABC  ACB  AC  AB

Ví dụ 1: Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt

phẳng có bờ là xy

a, Tìm 1 điểm M  xy sao cho MA + MB là nhỏ nhất

b, Tìm điểm N  xy sao cho |NA − NB| lớn nhất

A'

A

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua xy

Kẻ BA’ cắt xy tại Mo

Ta thấy AMo = A’Mo

Và AMo + BMo = A’B

Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc xy suy ra MA = MA’

Lấy điểm N bất kỳ  xy

Ta luôn có |NA − NB|≤ AB

Dấu bằng xảy ra khi B nằm giữa A, N

* Nếu AB // xy

Do đó không tìm được điểm N thoả mãn đầu bài

* Nếu AB không song song với xy

Gọi No là giao điểm của đường thẳng AB và xy

Ta sẽ có max |NA − NB|=AB ⇔ N ≡ N o

No là điểm cần tìm

Ví dụ 2: Hai xóm A, B cách nhau một con sông Tìm địa điểm để bắc một cây

cầu qua sông sao cho quãng đường từ A đến B là ngắn nhất

Bài toán coi: Hai bờ sông là hai đường thẳng song song, cầu bắc vuông góc với bờsông để tiết kiệm nguyên vật liệu

Biểu thị hai xóm A, B bên bờ sông là hai điểm A, B

Hai bờ sông là hai đường thẳng d1, d2 song song với nhau Ta phải tìm địađiểm cây cầu CD sao cho:

Tổng AC + CD + DB là ngắn nhất

Ta thấy độ dài CD không đổi nên ta cần tìm vị trí điểm C, D sao cho AC +

BD ngắn nhất

Qua A ta dựng một đường thẳng xy vuông góc với d1, d2  xy // CD

Từ D kẻ đường thẳng song song với CA cắt xy tại A’

Như vậy ACDA’ là hình bình hành

d 1

d 2

x

y N

A' A

Do đó AC = A’D

Khi đó DB + AC = DB + A’D  BA’

Dấu bằng xảy ra khi B, D, A’ thẳng hàngTức là D  Do (Do là giao điểm của A’B với d2)

Vậy địa điểm bắc cầu là CoDo

Ví dụ 3: Cho ABC O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Hãy tìm điểm Msao cho tổng MA + MB + MC + MO là nhỏ nhất

Bài giải

Ta xét hai trường hợp:

a, Tam giác ABC là tam giác nhọn

Nên tâm O nằm trong ABC

Xét hình ( I ) Giả sử O là một điểm bất kỳ trong ABC, theo bất đẳng thứctam giác ta chứng minh được: OB + OC < AB + AC

Xét hình ( II ) Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử điểm O  ACM

 MA + MC  OA + OC hay MA + MC  2OA

Dấu bằng xảy ra khi M  O

Xét MBO Có MB + MO  OB = OA

Do đó MA + MB + MC + MO  3.OA = 3R

Do vậy min(MA + MB + MC + MO) = 3R  M  O

b, Nếu tam giác ABC là tam giác tù  O nằm ngoài tam giác ABC

O

P ( I )

( II )

2 Cho góc nhọn xOy và một điểm M nằm trong góc đó sao cho M khôngthuộc Ox và Oy Hãy xác địn điểm B trên Ox, điểm C trên Oy sao cho OB = OC và

MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất

3 Cho góc vuông xOy Điểm A thuộc miền trong của góc Các điểm M và Ntheo thứ tự chuyển động trên các tia Ox, Oy sao cho MAN = 90o Xác định vị trícủa M, N để MN có độ dài nhỏ nhất

4 Cho tam giác ABC O là tâm đường tròn ngoại tiếp Hãy tìm điểm M saocho tổng MA + MB + MC + MO là nhỏ nhất

II- Dạng 2: Dùng tính chất của đường vuông góc và đường xiên.

- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đếnmột điểm nằm trên đường thẳng đó, đoạn vuông góc với đường thẳng đó là đoạnngắn nhất

Suy ra: trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất

- Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đếnđường thẳng đó, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

- Trong các đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đường thẳng song song,đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ nhất