Lưu ý: Chứng minh tương tự như câu a, chúng ta sẽ có bốn điểm A, F, H, E thuộc cùng một đường tròn.. Do đó BC là đường kính của đường tròn (O) nên BC đi qua O.[r]
Trang 1Đề kiểm tra 15 phút lớp 9 môn Toán Bài 1 – Chương 2 Hình Học: Sự xác định đường tròn Tính chất đối xứng của
đường tròn
Đề số 1
Cho đường tròn đường kính BC cố định và BC = 2R Lấy điểm A di động trên đường tròn (A khác B và C)
a Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác vuông
b Chứng minh rằng : 2
.
ABC
S R Giải:
a Ta có: OA = OB = OC (= R)
2
BC OA
Trong ∆ABC, AO là đường trung tuyến và
2
BC
AO nên ∆ABC vuông tại A
b Kẻ đường cao AH của tam giác ABC
Ta có: 1 . 1.2
ABC
S BC AH R AH R AH
Trong tam giác vuông AHO, ta có:
AH ≤ AO (cạnh góc vuông < cạnh huyền)
hay AH ≤ R 2.
.R R
AH
ABC
S R Dấu “=” xảy ra khi A trùng với các đầu mút của đường kính vuông góc với BC Chú ý : Từ kết quả trên bạn có thể xét bài toán : “Tìm vị trí của điểm A để diện tích
∆ABC lớn nhất”
Đề số 2
1 Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BE, CF cắt nhau tại H
Trang 2a Chứng minh bốn điểm B, F, E, C thuộc cùng một đường tròn
b Kẻ đường kính AA’ của đường tròn (O) Chứng minh tứ giác BHCA’ là hình bình hành
2 Cho đường tròn (O), dây AB không qua tâm O Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A Chứng tỏ B, O, C thẳng hàng
Giải:
1 a Gọi I là trung điểm của BC Các tam giác vuông BFC và BEC lần lượt có các trung tuyến là IF và IE nên:
1
2
IF IE BC
hay IB IF IE IC
Chứng tỏ bốn điểm B, F, E, C thuộc cùng một đường tròn tâm I là trung điểm của
BC
b Ta có: ∆ABA’ nội tiếp đường tròn có đường kính AA’ nên ∆ABA’ vuông tại B hay AB ⊥ A’B
Lại có CH ⊥ AB (gt)
Do đó CH // A’B Chứng minh tương tự ta có: AH // A’C
Vậy tứ giác BHCA’ là hình bình hành
Lưu ý: Chứng minh tương tự như câu a, chúng ta sẽ có bốn điểm A, F, H, E thuộc cùng một đường tròn
2 Ta có: AB ⊥ AC (gt) nên ∆ABC là tam giác vuông nội tiếp đường tròn (O) Do
đó BC là đường kính của đường tròn (O) nên BC đi qua O Hay ba điểm B, O, C thẳng hàng
Đề số 3
Cho ∆ABC đều có cạnh bằng a, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H
a Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D, C thuộc cùng một đường tròn Hãy xác định tâm bán kính của đường tròn đó
Trang 3b Chứng minh rằng điểm H nằm trong đường tròn và điểm A nằm ngoài đường tròn đi qua bốn điểm B, E, D, C
Giải:
a Gọi O là trung điểm của BC, các tam giác vuông BDC và BEC có OD, OE là các đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BC nên
1
2
1 2
OD OE BC
hay OD OE OB OC a
Vậy bốn điểm B, E, D, C thuộc cùng một đường tròn, tâm O là trung điểm của BC
và bán kính bằng 1 1
2BC 2a
b ∆ABC đều nên trực tâm H cũng đồng thời là trọng tâm, AO là trung tuyến nên đồng thời là đường cao và A, H, O thẳng hàng
Xét tam giác vuông AOB, ta có:
AO AB OB (định lí Pi-ta-go )
a
Mặt khác, vì H là trọng tâm của ∆ABC nên:
.
a a
OH AO
Nhận thấy: 3 ,
a a do đó điểm H nằm trong đường tròn , ;
2
a O
3
,
a a do đó điểm A nằm ngoài đường tròn ;
2
a O
Đề số 4
Trang 4Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau Gọi M, N,
R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA
a Chứng minh rằng bốn điểm M, N, R, S thuộc cùng một đường tròn
b Cho AC = 24cm, BD = 18cm Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác
MNRS
Giải:
a Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC (gt) nên MN là đường trung bình của ∆ABC
Do đó : MN // AC (1)
Tương tự SR là đường trung bình của ∆ADC nên SR // AC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ MN // RS // AC (3)
Chứng minh tương tự ta có: MS // NR // BD (4)
Từ (3) và (4) ⇒ MNRS là hình bình hành (các cạnh đối song song)
Mặt khác AC ⊥ BD (gt) ⇒ MN ⊥ MS nên hình bình hành MNRS là hình chữ nhật Gọi O là giao điểm của hai đường chéo MR và NS ta có:
OM = ON = OR = OS
Chứng tỏ bốn điểm M, N, R, S thuộc cùng một đường tròn tâm O
b Ta có: MN là đường trung bình của ∆ABC (cmt), ta có:
.24 12
MN AC cm
Tương tự: 1
9 2
MS BD cm
Lại có ∆MNS vuông tại M (cmt) ta có:
2 2
SN MN MS cm
Trang 5Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNRS có tâm O và bán kính là
15
7,5
SN
cm
Đề số 5
Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AD lấy điểm N sao cho AM = AN Từ A kẻ AH vuông góc với DM (H thuộc DM) và AH cắt BC tại P Chứng minh rằng năm điểm C, D, N, H, P thuộc cùng một đường tròn
Giải:
Ta có: AH ⊥ DM (gt)
nên MAH MDA (cùng phụ với AMD )
Xét hai tam giác vuông ABP và DAM có:
AB = AD (gt)
MAH MDA (cmt)
Do đó: ∆ABP = ∆DAM (g.c.g)
⇒ BP = AM, mà AM = AN (gt)
⇒ BP = AN, mà BC = AD (gt)
⇒ PC = ND
Vậy PCDN là hình chữ nhật Gọi O là giao điểm của hai đường chéo PD và CN, ta có: OP = OC = OD = ON, chứng tỏ bốn điểm P, C, D, N thuộc cùng một đường tròn
Mặt khác: ∆PHD vuông tại H có OH là đường trung tuyến nên
1
2
OH PD
Vậy: OH = OP = OD = OC = ON
Năm điểm C, D, N, H, P thuộc cùng một đường tròn