Phương pháp lấy đối xứng để chứng minh vuông góc (THCS)

Phương pháp trên đã tỏ ra rất hữu ích trong việc giải toán hình, chắc chắn các bạn sẽ lại gặp lại phương pháp này ở một số bài toán khác. Chúc các bạn thành công.[r]

PHƯƠNG PHÁP LẤY ĐỐI XỨNG ĐỂ CHỨNG MINH VUÔNG GÓC

Nguyễn Đăng Khoa – THPT chuyên Hùng Vương – Phú Thọ

Giới thiệu.Trong các bài toán hình học thì chứng minh hai đường thẳng hay đoạn thẳng vuông góc luôn là bài toán phổ biến Đặc biệt tác giả gặp một dạng chứng minh vuông góc xuất hiện rất nhiều, nội dung khái quát như sau:

“Cho …, lấy M là trung điểm CD , chứng minh AMB 90.”

Phương pháp chứng minh đơn giản nhất là lấy A' đối xứng với A qua M thì

điều cần chứng minh tương đương với chứng minh tam giác cân

Chúng ta đến với phần bài tập để hiểu rõ hơn về phương pháp này

Bài toán 1 (Hong Kong 2017) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O Lấy hai điểm ,P Q lần lượt là các điểm nằm trên tia AD CD thỏa mãn , AP  BC và



CQ BA Gọi I là trung điểm PQ Chứng minh rằng AIC  90

Lời giải

Lấy A' đối xứng với A qua M

Khi đó ta có QA'AP CB và ta có

CQA' 180   DQA' 180   ADQ  ABC

A'

I P

Q

O

C

A

B

D

Từ đó, ta có CA CA hay  ' AIC 90 (đpcm)

Nhận xét Bài toán vẫn đúng khi ,P Q nằm ngoài đoạn DA và DC Ngoài ra thì

bài toán còn đúng nếu ta lấy ,P Q nằm trên tia đối của các tia AD CD Một bài , toán khác có hình thức khá giống như này đã xuất hiện trong đề thi MYTS và cũng có thể giải được bằng cách lấy đối xứng Bạn đọc tự chứng minh

Bài toán 2 (MYTS 2017) Cho tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn ( )O Lấy hai điểm ,E F lần lượt là các điểm nằm trên cạnh AB AC, thỏa mãn BD BE và 



Bài toán 3 (Thanos Kalogerakis) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên đoạn AM lấy điểm D sao cho AD  MB  MC Gọi , , K L N lần lượt là trung

điểm AB DM, và AC Chứng minh KL LN

Lời giải

Lấy điểm N đối xứng với N qua L Khi đó ta dễ có '



'

MN ND, KM  AN và DNA N MK' nên ta có

KN M'  ADN KN' AD BM KN hay ta có đpcm

Bài toán 4 (Tạp chí Pi) Cho tam giác ABC có M N lần lượt là trung điểm ,

,

ANY Gọi Z là trung điểm XY Chứng minh rằng MZN  90

N'

L

N K

D

M A

Bạn đọc tự chứng minh

Sau khi tiếp tục dựng các tam giác đều tác giả phát hiện bài toán sau

Bài toán 5 (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC có M N lần lượt là trung , điểm AB AC, Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các hình bình hành MBXX '

và NAYY sao cho ' MBX  NAY  60 Gọi Z và Z' lần lượt là trung điểm , ' '

XY X Y Chứng minh rằng MZN  MZ N'  90 và ZZ' BC

Z

Y

X

N M

A

Z'

Y'

X'

Z

Y

X

N M

A

Bài toán 6 Cho điểm A nằm ngoài đường tròn ( )O Từ A kẻ hai tiếp tuyến

,

Lấy điểm ,G F thuộc đoạn BE và BV sao cho GF EV|| Gọi K là trung điểm

GE Chứng minh FKC  90

Lời giải Lấy L đối xứng với F qua K Khi đó EL FG VE|| || V E L, , thẳng hàng

Bằng biến đổi góc ta dễ có CB CE và CV là đường kính của ( )O

Từ đó ta có

,

BF FG EL CB CE và FBC  LEC  CBF  CEL CF CL

Mà K là trung điểm FL nên ta có FKC 90 (đpcm)

Kết luận Trên đây, tác giả đã trình bày một số bài toán chứng minh vuông góc có thể sử dụng phép lấy đối xứng, nếu không giả thiết sẽ rất rời rạc Phương pháp trên đã tỏ ra rất hữu ích trong việc giải toán hình, chắc chắn các bạn sẽ lại gặp lại phương pháp này ở một số bài toán khác Chúc các bạn thành công

~Thân tặng các em dự thi HSG tỉnh lớp 9 huyện Lâm Thao~

L

K

F

E

V

A O

C B

G