Bổ đề 2 là điều cần chứng minh của bài toán gốc sau khi đã biến đổi, lời giải của tác giả hơi nặng về tính toán nhưng nó lại luôn đem đến cho ta một kết quả hữu ích.. Bây giờ ta quay lại[r]
Trang 1Nguyễn Đăng Khoa - Trường THPT chuyên Hùng Vương
Ngày 30/3/2019
Bài toán (VNTST 2019, P5)
Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O) ngoại tiếp đường tròn (I) Giả
sử BI cắt AC ở E và CI cắt AB ở F Đường tròn qua E, tiếp xúc với OB tại B cắt (O) tại M Đường tròn qua F tiếp xúc với OC tại C cắt (O) tại N Các đường thẳng M E, N F cắt lại (O) lần lượt tại P , Q Gọi K là giao điểm của EF và BC Đường thẳng P Q cắt BC, EF lần lượt tại
G, H Chứng minh rằng trung tuyến qua G của tam giác GHK thì vuông góc với đường thẳng OI
Ta xây dựng hai bổ đề sau
Bổ đề 1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H Gọi E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ B, C xuống cạnh đối diện Lấy M , N là trung điểm AB, AC M N cắt EF tại K Khi đó AK ⊥ OH
A
E
F
O H
K
Chứng minh Ta có PK/(AH)= KE · KF = KM · KN = PK/(AO)
Suy ra AK là trục đẳng phương của hai đường tròn (AH) và (AO) Mà đường nối tâm hai đường tròn này là đường trung bình trong tam giác AHO
Trang 2E
F
O H
K
D I
S
J P
R
Q
Chứng minh Ta dễ thấy EF , BC, RS đồng quy tại I
Do M N là đường trung bình của tam giác ABC nên M N đi qua trung điểm AI Do đó ta cần chứng minh EF đi qua trung điểm AJ
Lấy IJ cắt AC tại Q Khi đó ta đi chứng minh tỉ số AE
EQ =
IJ
IQ =
N C
QC ⇐⇒ 2AE
AC =
EQ
QC.
Ta chú ý rằng Q, R, I thẳng hàng nên ta có
EQ
QC =
ER
RB · IB
IC =
SEF D
SBF D
·BD
DC =
EF · ED · sin 2∠ABC
BF · BD · sin ∠ABC ·
BD
DC =
EF · ED · 2 cos ABC
BF · BD ·BD
DC.
Từ đây ta hoàn toàn biến đổi tương đương dựa theo ba điểm D, E, F để ra một đẳng thức đúng
Vậy ta hoàn tất chứng minh
Nhận xét Bổ đề 1 là bổ đề kinh điển về đường tròn Euler, bạn đọc cũng có thể tham khảo thêm cách khác trong tài liệu "Khám phá ứng dụng của cực và đối cực - Hoàng Quốc Khánh" Bổ
đề 2 là điều cần chứng minh của bài toán gốc sau khi đã biến đổi, lời giải của tác giả hơi nặng về tính toán nhưng nó lại luôn đem đến cho ta một kết quả hữu ích
Bây giờ ta quay lại bài toán ban đầu
Trang 3O E
M
P
Ia
Ic
Ib
Q F
G K
I
H
J
Chứng minh Ta có BO là tiếp tuyến của (BM E) nên∠BM E = ∠OBE, từ đó dễ dàng suy ra P
là điểm chính giữa cung lớn AC Tương tự thì Q là điểm chính giữa cung lớn AB
Một các tự nhiên ta lấy Ia, Ib, Ic lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện góc A, B, C của tam giác ABC
Theo bổ đề 2 thì IaG đi qua trung điểm KH là J , mà theo bổ đề 1 thì ta có ngay IaG ⊥ OI hay GJ ⊥ OI
Hoàn tất chứng minh
Bình luận Bài hình ngày 2 được đáng giá là dễ chịu hơn ngày 1 Giả thiết cho điểm M , N khá là phức tạp nhưng ta lại đoán được điểm P , Q là điểm chính giữa cung Từ đó mọi thứ bắt đầu có tính triển khai được và bổ đề 1 rất quen thuộc nên hầu hết các bạn học sinh đi thi chỉ mắc chỗ đi qua trung điểm Ngoài ra đề cho tam giác nhọn nên khi ta vẽ hình bằng tay sẽ rất khó, các bạn phải vẽ tam giác tù để dự đoán P , Q trước xong mới vẽ lại hình Khi vượt qua được các rào cản đó thì các bạn sẽ hướng tới được một lời giải đẹp và hoàn toàn có khoảng một đến hai tiếng nữa để giải các bài khác