Sau khi đọc lại lời giải và từ tư tưởng của bài toán ấy, hai bạn đã nhận ra nó có dẫn tới một bài toán khá nổi tiếng như tiêu đề của bài viết.. Tiếp tục nghiền ngẫm và trao đổi một hồi l[r]
Trang 1Nguyễn Đăng Khoa, Đỗ Quang Mạnh ∗
30/12/2020
Trong một buổi chiều học đội tuyển, hai bạn có bàn luận về một bài toán số học của thầy Nguyễn Song Minh Sau khi đọc lại lời giải và từ tư tưởng của bài toán ấy, hai bạn đã nhận ra nó có dẫn tới một bài toán khá nổi tiếng như tiêu đề của bài viết Tiếp tục nghiền ngẫm và trao đổi một hồi lâu và cuối cùng hai bạn cũng giải được trọn vẹn bài toán tổng quát Bài viết này là tổng hợp lại quá trình tìm tòi lời giải cho bài toán đó
Bài toán Với điều kiện nào của hai số nguyên dương a, b thì tồn tại vô hạn số nguyên dương n thỏa mãn
n2 là ước của an+ bn (1) Lời giải Trước tiên ta phát biểu hai bổ đề sau
Bổ đề 1 (bổ đề nâng bậc) Cho a, b, m là các số nguyên và k là một số nguyên dương Khi đó nếu a ≡ b (mod m) thì ta có
ak ≡ bk+ (a − b)kbk−1 (mod m2)
Bổ đề này được chứng minh đơn giản bằng cách chuyển vế và dùng hằng đẳng thức nên xin dành cho bạn đọc
Bổ đề 2 Cho a, b là các số nguyên, p là một số nguyên tố Khi đó nếu am ≡ bm
(mod p) và an≡ bn (mod p) thì ta có
agcd(m,n) ≡ bgcd(m,n) (mod p)
∗THPT chuyên Hùng Vương - Phú Thọ
Trang 2Cách chứng minh cho bổ đề này tương đối giống cách chứng minh tính chất của cấp Tiếp tục xin để dành cho bạn đọc và ta quay lại bài toán ban đầu
Trường hợp 1 Trong hai số a, b có một số chẵn và một số lẻ
Ta thấy với n = 1 thì hiển nhiên thỏa mãn (1)
Giả sử ta đã có an+ bn chia hết cho n2 thì ta đặt an+ bn= kn2 với k là số nguyên dương lẻ Do n lẻ nên ta có an≡ (−b)n (mod kn)
Áp dụng bổ đề nâng bậc thì ta có
akn ≡ (−b)kn+ (an+ bn)kbn(k−1) mod (kn)2
Do (an+ bn)k chia hết cho (kn)2 nên từ đây ta có akn+ bkn chia hết cho (kn)2 hay kn
là số nguyên dương thỏa mãn (1)
Tiếp tục quá trình như vậy thì ta có vô hạn số nguyên dương thỏa mãn (1)
Trường hợp 2 Cả hai số a, b đều là các số nguyên dương lẻ
Nhận thấy để có n2 | an+ bn thì n phải là số lẻ Ngược lại nếu n chẵn thì an+ bn
chia 4 dư 2 còn n2 chia hết cho 4, điều này là mâu thuẫn
Ta chia ra làm hai trường hợp nhỏ hơn
• Xét a + b không là lũy thừa của 2
Khi ấy ta viết a + b = 2s· t (với t là số nguyên dương lẻ khác 1)
Ta lại thấy n = 1 hiển nhiên thỏa mãn Giả sử ta đã có an+ bn chia hết cho n2
Do n là số lẻ nên ta có v2(an+ bn) = v2(a + b) = s
Và ta dễ dàng chứng minh được tn ≥ 3n > n2, với mọi số nguyên dương n nên suy ra
an+ bn≥ 2 a + b
2
n
= 2 · 2(s−1)n· tn > 2s· n2
Do vậy, a
n+ bn
n2 luôn có một ước nguyên dương lẻ là k > 1 Lập luận tương tự trường hợp 1 thì ta có akn+ bkn chia hết cho (kn)2 Tiếp tục như vậy thì ta có vô
số số nguyên dương n thỏa mãn đề bài
• Xét a + b là lũy thừa của 2
Giả sử tồn tại số nguyên dương n > 1 để n2 | an+ bn Vì a + b là lũy thừa của 2 nên ta dễ dàng có được ba số n, a, b là ba số đôi một nguyên tố cùng nhau
Ta gọi p là ước nguyên tố bé nhất của n Khi đó ta có
an≡ (−b)n mod p
Mặt khác theo định lý FLT thì ap−1≡ (−b)p−1 (mod p), do tính nhỏ nhất của p nên gcd(p − 1, n) = 1 Từ đó theo bổ đề 2, ta suy ra
a ≡ −b mod p,
Trang 3hay ta có a + b chia hết cho p nhưng điều này là mâu thuẫn do a + b là lũy thừa của 2
Vậy n = 1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn (1)
Trường hợp 3 Cả hai số nguyên dương a, b đều là số chẵn Ta viết a = 2a1, b = 2b1, trong đó a1, b1 là các số nguyên dương
Với số n có dạng 2h, với h là số nguyên dương thì n2 = 22h| 22 h
= 2n Do đó
n2 | 2n(an1 + bn1) = an+ bn Vậy có vô số số nguyên dương n thỏa mãn (1)
Vậy ta đi đến kết luận là nếu a, b là các số nguyên dương lẻ và a + b là lũy thừa của
2 thì có n = 1 là số duy nhất thỏa mãn an+ bn chia hết cho n2, với các trường hợp còn lại thì tồn tại vô số số nguyên dương n để an+ bn chia hết cho n2
Bài toán 1 Tìm điều kiện của hai số nguyên a, b sao cho tồn tại vô số số nguyên dương
n thỏa mãn
n2 | an+ bn Bài toán 2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 1 thì
n - 2n+ 1
Bài toán 3 (VNTST 2020) Tìm tất cả số nguyên dương k sao cho tồn tại hữu hạn
số nguyên dương n lẻ thỏa mãn
n | kn+ 1
Bài toán 3 (Chọn ĐT KHTN 2021) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương
n để
n2 | 3n− 1