Hệ thức Vi-ét và ứng dụng.[r]
Trang 1Bài 6 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng.
A/ Hệ thức Vi-ét
Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
1 2
1. 2
b
x x
a c
x x
a
Ngoài ra ta cần phải chú ý thêm hai công thức sau đây:
● x12 x22 x1 x2 2 2 x x1 2
● x13 x23 x1 x23 x x x1 2 1 x2
Ví dụ 1 Cho phương trình 3x2 – x – 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 Không giải phương trình, hãy
tính :
2 2
1 2
A x x ( trích đề thi ts 2018 – 2019)
Giải
Vì a = 3 và c = –1 nên a và c trái dấu do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Theo định lí Vi-ét, ta có
1 2
1 2
1
3
b
a c
x x
a
Ta lại có
2 2
1 2
A x x
1 22 2 1 2
A x x x x
2
2.
A
7 9
A
Ví dụ 2 Cho phương trình x 2 – 2mx + m – 2 =0 (x là ẩn số, m là tham số)
a/ Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt Tính x1 + x2 và x1.x2 theo m
Trang 2c/ Tìm m để 1 x1 2 x2 1 x2 2 x1 x12 x22 2
Giải
a/ Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
● Cách 1 Dùng để chứng minh:
Ta có b2 4 ac
2 m 2 4.1 m 2
2
2
2 m 1 2 7 0
với mọi m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
●Cách 2 Dùng ' để chứng minh:
Ta có
b m
2
2
2
'
4 4
2
m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt Tính x1 + x2 và x1.x2 theo m
Vì x 1 , x 2 là hai nghiệm của pt nên theo định lí Vi-ét
1 2
1 2
2
2 1
2
1
m b
a
a
Trang 3c/ Tìm m để 1 x1 2 x2 1 x2 2 x1 x12 x22 2
Ta có: 1 x1 2 x2 1 x2 2 x1 x12 x22 2
2
2
1 2 1 2
2
2
Giải phương trình ta được 1 2
1 1;
2
m m
B/ Ứng dụng của Vi-ét vào phương pháp nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
Xét phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
● Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x 1 1 và 2
c x
a
Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:
Giải
a/
2
Ta có a b c 5 3 2 0
Nên phương trình có nghiệm x 1 1 và 2
c x
a
Ta có a b c 2 2 1 2 3 0
Nên phương trình có nghiệm x 1 1 và 2
2 3 2
c x
a
Trang 4● Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x 1 1 và 2
c x
a
Ví dụ 4 Giải các phương trình sau:
Giải
a/
2
2004 x 2005 x 1 0( a 2004; b 2005; c 1)
Ta có a b c 2004 20 05 1 0
Nên phương trình có nghiệm x 1 1 và 2
1 2004
c x
a
b/ 2 x2 2 1 x 2 3 0( a 2; b 2 1 ; c 2 3)
Ta có a b c 2 2 1 2 3 0
Nên phương trình có nghiệm x 1 1 và
2
c x
a
Nếu a + b + c ≠ 0 và a – b + c ≠ 0 thì không dùng phương pháp nhẩm nghiệm để giải
phương trình mà phải dùng công thức nghiệm ở bài 4 để giải phương trình.
C/ Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình
x2 – Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0
Ví dụ 5 Tìm hai số u và v biết u + v = 32 và uv = 231
Giải
Vì u + v = 32 và uv = 231 nên u và v là nghiệm của phương trình
Ta có ' b ' 2 ac 16 2 1.231 25 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
Trang 521 1
b
x
a
2
11 1
b
x
a
Vậy u = 21 và v = 11 hoặc u = 11 và v = 21
Bài tập tự luyện
Bài 26 (sgk/53)
Bài 27 (sgk/53)
Bài 31 (sgk/54)
Bài 32 (sgk/54)
Bài tập thêm:
Bài 1 Cho phương trình 3x2 + 5x – 6 = 0 có hai nghiệm x1, x2 Không giải phương trình, hãy
tính : A x1 1 x2 1 x12 x22
Bài 2 Cho phương trình 2x2 – 3x – 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 Không giải phương trình, hãy
tính :
A
Bài 3 Cho phương trình x 2 – mx + m – 2 =0 (x là ẩn số, m là tham số)
a/ Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt Tính x1 + x2 và x1.x2 theo m
c/ Tìm m để
4
Bài 4 Cho pt x 2 – 2mx + m 2 – 2m + 4 =0 (x là ẩn số, m là tham số)
a/ Tìm m để phương trình có nghiệm
b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt Tính x1 + x2 và x1.x2 theo m
c/ Tìm m
2 2
1 2 16
x x