• Áp dụng các kiến thức trên, cùng cách tính toán giải phương trình bậc nhất.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
ĐỀ DỰ BỊ
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 13/03/2018
Câu 1 (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 2 (3,0 điểm) Giải hệ phương trình
1
x xy y
x xy y
Câu 3 (6 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y; thỏa mãn
2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho abc 10d e chia hết cho 101?
Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )O M N; là hai điểm thuộc cung nhỏ AC sao cho MN song song với AC và tia BM nằm giữa hai tia BA BN; BM giao AC tại P Gọi Q là một điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho PQ vuông góc với BC QN giao AC tại R.
1) Chứng minh rằng bốn điểm B P R Q; ; ; cùng thuộc một đường tròn
2) Chứng minh rằng BR vuông góc với AQ.
3) Gọi F là giao của AQ và BN. Chứng minh rằng AFB BPQ ABR.
Câu 5 (2,0 điểm) Giả sử A là một tập con của tập các số tự nhiên Tập A có phần tử nhỏ nhất là 1, phần tử lớn nhất là 100 và có tính chất, mỗi x thuộc A (x 1) luôn tồn tại a b; cũng thuộc A sao cho x a b (a có thể bằng b) Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất
……… Hết ………
Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh……… ; số báo danh.… ….; phòng thi số………
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
ĐỀ DỰ BỊ
(Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 13/03/2018
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1 (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hướng dẫn
Ta có f x y z; ; 2x y 3 2 y z 2 9 9
Vậy fmin 9 khi x y z 1
Câu 2 (3,0 điểm) Giải hệ phương trình
1
x xy y
x xy y
Hướng dẫn
Cộng từng vế hai phương trình ta có 2x2 xy 3x y 1
TH1: x 1 y2 y 0 y 0 hoặc y 1 (thỏa mãn)
TH2: 2x y 1 y 1 2x, suy ra
2 2
Đáp số ; 1; 0 , 1; 1 , 0; 1 , 5; 5
Câu 3 (6 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y; thỏa mãn
Hướng dẫn
Dễ thấy với x 0 hoặc y 0 không thỏa mãn
Xét x y, 1 do vai trò như nhau, giả sử x y
Khi đó ta có x2 xy y2 3x2
Trang 3+ Nếu y 1 x2 x 6 x2 x 6
+ Nếu y 1 x2 x 6 x2 x 6
+ Nếu y 2 x2 2x 4 4x2 5 x loại
+ Nếu y 2 x2 2x 4 4x2 5 x loại
Đáp số: x y; 6; 1 , 6; 1 , 1; 6 , 1; 6
2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số dạng abcde sao cho abc 10d e chia hết cho
101?
Hướng dẫn
Ta có abcde abc00 de abc 100 de
Suy ra abcde chia hết cho 101 abc de abc 10d e chia hết cho 101
Ta có 101 99999 99999 990 9
Suy ra số có 5 chữ số lớn nhất chia hết cho 101 là 990 101
Ta có 101 9999 999 99
101
Suy ra số có 5 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 101 là 100 101
Vậy số các số có 5 chữ số thỏa mãn yêu cầu của bài toán là: 990 100 1 891.
Đáp số: 891 số
Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )O M N; là hai điểm thuộc cung nhỏ AC sao cho MN song song với AC và tia BM nằm giữa hai tia BA BN; BM giao AC tại P Gọi Q là một điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho PQ vuông góc với BC QN giao AC tại R.
1) Chứng minh rằng bốn điểm B P R Q; ; ; cùng thuộc một đường tròn
2) Chứng minh rằng BR vuông góc với AQ.
3) Gọi F là giao của AQ và BN. Chứng minh rằng AFB BPQ ABR.
Trang 4O
D
M
F
E
N
A
B
C O
M
N P
Q
R
E
F
1) Tứ giác BMNQ nội tiếp suy ra BMN BQN 180
Mà BPR BMN (do MN BC)
Từ đó BPR BQN 180 0, suy ra tứ giác BPRQ nội tiếp Tức là B P R Q; ; ; cùng thuộc một đường tròn
2) Gọi PQ giao BC tại D, AQ giao BR tại E ta có các biến đổi góc sau
.
Vậy tứ giác BEDQ nội tiếp, suy ra BEQ BDQ 90 0 BR AQ
3) Ta có BPQ BRQ RBN RNB EBF BAE 900 BFE 900 ABE
0
180 BFE ABE AFB ABR
Do đó AFB BPQ ABR
Trang 5Câu 5 (2,0 điểm) Giả sử A là một tập con của tập các số tự nhiên Tập A có phần tử nhỏ nhất là 1, phần tử lớn nhất là 100 và có tính chất, mỗi x thuộc A (x 1) luôn tồn tại a b; cũng thuộc A sao cho x a b (a có thể bằng b) Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất
Hướng dẫn
• Từ 1 đến 100 có 100 số tự nhiên Tập hợp A là tập hợp con của tập có phần tử nhỏ nhất bằng 1 và lớn nhất bằng 100 nên tập hợp A không vượt quá 100 phần tử
Tổng quát, tập hợp A có 2 n 100 phần tử, sắp xếp các phần tử này theo thứ tự
• Theo đề bài có x a b với x, a, b đều là thuộc tập hợp A nên ta có x a
x b do đó mỗi 1,2,3, , 1
k n ta có x k 1 x i x j x k x k 2x k với 1 i j, k.
• Áp dụng kết quả x k 1 x i x j x k x k 2x k ta được
2 1 1 2
x ; x3 2 2 4; x4 8; x5 16; x6 32; x7 64, suy ra tập A phải có ít nhất 8 phần tử
• Giả sử n 8 theo thứ tự giả sử ta suy ra được x8 100
• Áp dụng các kiến thức trên, cùng cách tính toán giải phương trình bậc nhất
+ Vì x6 x7 32 64 96 x8 2x7 x7 50
+ Vì x5 x6 16 32 48 x7 2x6 x6 25
2
• Vì A là tập hợp có ít nhất 8 phần tử mà xét trường hợp có 8 phần tử cho kết quả mâu thuẫn nên tập hợp A có ít nhất 9 phần tử
Với n 9 theo thứ tự giả sử ta suy ra được x9 100 từ đó ta tìm được một tập hợp 1,2,3,5,10,20,25,50,100 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Đáp số: n 9