• Trong trường hợp “xấu nhất”, nếu có một con kiến đi từ đầu này đến đầu kia của thanh gỗ mà không đụng đầu phải con kiến nào đi ngược chiều thì phải mất 5 phút con kiến này mới rơi xu[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 13/03/2018
Câu 1 (3,0 điểm)
Cho 12 12 12 1 2
A = + + + + So sánh A với 2017
2018
Câu 2 (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2 2
x xy y
Câu 3 (6,0 điểm)
1 Tìm các cặp số nguyên ( )x y; thỏa mãn x4 + 2 x3 + 3 x2 + 2 x − y2 − = y 0.
2 Có bao nhiêu số nguyên dương có 6 chữ số abcdef sao cho
100 a d− +10 b e− + −c f chia hết cho 1001?
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O P di chuyển trên cung BC chứa A của ( )O I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PBC.
1 Biểu diễn số đo góc BIC theo số đo của góc BAC
2 Chứng minh rằng B I Q C; ; ; cùng nằm trên một đường tròn
3 Trên tia BQ CQ; lần lượt lấy các điểm M N; sao cho BM BI; CN CI Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển trên cung BC
chứa A của ( ).O
Câu 5 (2,0 điểm)
Xét một thanh gỗ ngang có hai đầu Một con kiến đi từ đầu này đến đầu kia của thanh
thì mất 5 phút Khi đi đến một trong hai đầu thì kiến sẽ rơi xuống đất Bây giờ giả sử trên thanh
gỗ đó có 5 con kiến và đi cùng với tốc độ như vậy nhưng về các hướng khác nhau Nếu có hai
con kiến nào đi ngược hướng và đụng đầu nhau thì chúng lập tức quay ngược lại và đi tiếp
(Giả sử rằng kích thước cũng như thời gian quay đầu của các con kiến không đáng kể)
1 Hãy lý luận để chứng tỏ rằng tất cả các con kiến thể nào cũng sẽ rơi hết xuống đất
2 Cần tối thiểu bao nhiêu phút để chắc chắn rằng cả 5 con kiến đều rơi xuống đất?
……… Hết ………
Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh……… ; số báo danh.… ….; phòng thi số………
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn này gồm 05 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 13/03/2018
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC MÔN TOÁN
Câu 1 (3,0 điểm)
Cho 12 12 12 1 2
A = + + + + So sánh A với 2017
2018
2 +3 +4 + +2018 1.2+2.3+3.4+ +2017.2018
1,5
1.2+2.3+3.4+ +2017.2018= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2017
1− + − + − + +2 2 3 3 4 2017−2018 = −2018= 2018 Vậy A < 2017
2018
1,5
Câu 2 (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2 2 4 1
x xy y
Nhân hai vế của phương trình hai trong hệ cho 2 rồi cộng vế theo vế với phương trình một trong
hệ ta được phương trình
2 2
Tiếp tục biến đổi ta được
( )2 ( )
1 7
x y
x y
+ =
+ = −
0,5
• Ta xét trường hợp x+ = = −y 1 y 1 x
Khi đó ta có phương trình tìm x sau
( )
2
3 2 0 1
2
x x
=
=
Với x =1 thì y =0; với x =2 thì y = −1
0,75
Trang 3• Ta xét trường hợp x+ = − = − −y 7 y 7 x
Khi đó phương trình xác định x là
2
5 10 0
+ − − − − =
Phương trình xác định x vô nghiệm nên trong trường hợp này hệ vô nghiệm
0,5
Câu 3: (6,0 điểm)
1 (3,0 điểm) Tìm các cặp số nguyên ( )x y; thỏa mãn x4 +2x3 +3x2 +2x−y2 − =y 0
x + x + x + x − y − = y x + x + x + x = y + y 0,5
Nếu y 0 thì y2 y2+ + y 1 ( y + 1)2 suy ra 2
1
y + + y không là số chính phương nên
Nếu y − 1thì ( y + 1)2 y2+ + y 1 y2suy ra 2
1
y + + y không là số chính phương nên
Nếu y = 0 hoặc y = − 1 thì từ (*) suy ra: 2
0
1 1
1
x
x
=
+ + = = −
Vậy các cặp số nguyên ( ) x; y thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ( ) ( 0;0 ; 0; 1 ; 1;0 ; 1; 1 − ) ( − ) ( − − ) 0,5
2 (3,0 điểm) Có bao nhiêu số nguyên dương có 6 chữ số dạng abcdef sao cho
100 a d− +10 b e− + −c f chia hết cho 1001?
Ta có
.1000 1001
abcdef abc def
1,0
Nên, 100(a d− )+10(b e− + −) (c f ) chia hết cho 1001 khi và chỉ khi abcdef chia hết cho 1001
Do đó, số các số cần tìm chính là số các số nguyên dương có 6 chữ số chia hết cho 1001 1,0
Trang 4Số nguyên dương bé nhất có 6 chữ số chia hết cho 1001 là 100100
Số nguyên dương lớn nhất có 6 chữ số chia hết cho 1001 là 999999
Vậy số các số nguyên dương có 6 chữ số chia hết cho 1001 là 999999 100100 1 900
1001
−
+ = Đáp số: có 900 số thỏa yêu cầu bài toán
1,0
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho ABC nội tiếp đường tròn ( )O P di chuyển trên BC chứa A của ( )O I là tâm đường tròn nội tiếp ABC Q là tâm đường tròn nội tiếp PBC
1 Biểu diễn số đo góc BIC theo số đo của góc BAC
180
O
K
N
M Q
A
C B
I P
Trang 52 Chứng minh rằng B I Q C; ; ; cùng nằm trên một đường tròn
Theo câu 1 Ta có 90 0
2
BAC BIC
90
2
BPC
Hơn nữa BAC BPC (hai góc nội tiếp chắn cùng một cung của đường tròn ( ).O )
Suy ra BQC BIC
Vì hai điểm A và P nằm cùng nửa mặt phẳng bờ BC và cùng nhìn đoạn BC dưới hai góc bằng
nhau nên 4 điểm B I Q C; ; ; thuộc một đường tròn
1,0
3 Trên tia BQ CQ; lần lượt lấy các điểm M N; sao cho BM BI; CN CI Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển trên BC chứa A của ( ).O
Vì IB IC BC
IB IC BC
(bất đẳng thức trong tam giác) nên đường tròn B BI; cắt đường tròn
;
C CI tại hai điểm phân biệt
Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đường tròn B BI; và C CI; K cố định
0,5
+ Góc IBM là góc ở tâm chắn cung IM và IKM là góc nội tiếp chắn cung IM của đường
tròn B BI; , suy ra 1
2
IKM IBM (1)
+ Góc ICN là góc ở tâm chắn cung IN và IKN là góc nội tiếp chắn cung IN của đường tròn
;
C CI , suy ra 1
2
IKN ICN (2)
0,5
Theo câu 2) B I Q C; ; ; thuộc một đường tròn, suy ra
QBI QCI (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QI của đường tròn ngoại tiếp tứ giác QICB)
hay IBM ICN (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra IKM IKN
0,5
Ta có IKM IKN và hai tia KM KN; cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ IK nên KM KN
Trang 6Câu 5 (2,0 điểm)
Xét một thanh gỗ ngang có hai đầu Một con kiến đi từ đầu này đến đầu kia của thanh
thì mất 5 phút Khi đi đến một trong hai đầu thì kiến sẽ rơi xuống đất Bây giờ giả sử trên thanh
gỗ đó có 5 con kiến và đi cùng với tốc độ như vậy nhưng về các hướng khác nhau Nếu có hai
con kiến nào đi ngược hướng và đụng đầu nhau thì chúng lập tức quay ngược lại và đi tiếp (Giả
sử rằng kích thước cũng như thời gian quay đầu của các con kiến không đáng kể)
3 Hãy lý luận để chứng tỏ rằng tất cả các con kiến thể nào cũng sẽ rơi hết xuống đất
Xét con kiến ở ngoài cùng bên phải, nếu có nhiều con như vậy thì chọn một con bất kỳ
• Nếu con kiến này đi về phía phải thì nó sẽ không đụng đầu bất cứ con kiến nào, cứ thế nó đi
và sẽ bị rơi xuống đất
0,5
• Xét trường hợp con kiến này đi về phía trái Nếu nó đụng đầu với con kiến đi ngược chiều
thì nó sẽ quay về bên phải để đi tiếp, tất nhiên nó sẽ không đụng đầu với con kiến nào nữa,
cứ thế nó đi và sẽ rơi xuồng đất Trong trường hợp ngược lại, nó cứ đi về bên trái và rơi
xuống đất
• Tiếp tục lý luận như vậy cho các con kiến còn lại trên thanh gỗ, rõ ràng đến một lúc nào đó
thì cả thảy 5 con kiến trên thanh ngang đều rơi xuống đất
0,5
4 Cần ít nhất bao nhiêu thời gian để chắc chắn rằng cả 5 con kiến đều rơi xuống đất?
• Trong trường hợp “xấu nhất”, nếu có một con kiến đi từ đầu này đến đầu kia của thanh gỗ
mà không đụng đầu phải con kiến nào đi ngược chiều thì phải mất 5 phút con kiến này mới
rơi xuống đất Như vậy khoảng thời gian ít nhất để chắc chắn rằng không còn con kiến nào
trên thanh ngang sẽ không nhỏ hơn 5 phút
0,5
• Ta hãy quan sát các con kiến “từ xa”, không phân biệt các con kiến với nhau, thì chúng quay
đầu đi ngược lại cũng không khác gì chúng cứ tiếp tục đi: nếu chẳng hạn con kiến A đụng
đầu con kiến B rồi đi ngược lại, thì cũng giống như chúng cứ tiếp tục đi nhưng ta “đổi tên”
hai con kiến này cho nhau thôi Nếu chỉ nhìn tổng thể chứ không phân biệt các con kiến, thì
việc có quay đầu lại hay không vẫn thế Và tất nhiên nếu không cần quay đầu lại, thì thời
gian tối đa cần thiết để chúng rơi xuống hết là 5 phút
Vậy khoảng thời gian cần tìm là 5 phút
0,5