Dãy số đơn điệu và dãy số có giới hạn - Lê Phúc Lữ

Ý tưởng này có thể vận dụng để giải nhiều bài toán giới hạn dãy số từ dễ đến khó.. Bài tập vận dụng, rèn luyện..[r]

Chủ đề 1

DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU VÀ DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN

A Kiến thức cần nhớ

Xét dãy số thực ( )u n đơn điệu tăng (trường hợp giảm tương tự) Ta biết rằng:

- Nếu dãy bị chặn thì sẽ hội tụ, tức là có giới hạn hữu hạn

- Nếu dãy không bị chặn thì sẽ có lim u   n , tức là vẫn có giới hạn nhưng giới hạn ở vô cực

Điều này cho thấy một khi dãy tăng thì luôn có giới hạn Ý tưởng này có thể vận dụng để giải nhiều bài toán giới hạn dãy số từ dễ đến khó

* Một kết quả quan trọng:

1) Tổng 1 1 1 1

1 2 3

n

s

n

      

s    s s      s tương tự 2 2 1

1 2

s s  

nên khi chỉ số của tổng tăng thêm gấp đôi thì tổng sẽ tăng thêm hơn 1

2 đơn vị; giá trị này không nhiều nhưng cũng đủ làm cho s n có thể tới được vô cực

2) Tổng 12 12 12 12

n

v

n

     bị chặn

1 2 2 3 ( 1)

n

v

3) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

Cấp số nhân có công bội q  ( 1;1) thì lim 1

1

n

u S

q





B Bài tập vận dụng, rèn luyện

Bài 1 Cho dãy số ( )u n thỏa mãn

2016

2018, 2017, n n n

n

Chứng minh rằng u n hội tụ và tính lim u n

Bài 2 Cho dãy số ( )u thỏa mãn

1 1 2 2 2

1

n



   với n 1.

Chứng minh rằng u n hội tụ và tính lim u n

Bài 3 Cho dãy Fibonacci (F n) xác định bởi F1F2 1,F n2F n1F n Xét dãy số sau

n

u     Tính lim u n

Bài 4 Cho dãy số ( )a n thỏa mãn

1

n



   Chứng minh rằng lima   n .

Bài 5 Cho dãy số ( )a n thỏa mãn 1

2 1

3,

4 n 5 n 3 n 4, 1

a

 



Chứng minh rằng lima   n và tính

2

2 1

2 lim

1



 

Bài 6 Cho dãy số ( )a n thỏa mãn

1

1, 2,

, 1

2

n

n









a) Đặt 1

2

n

a

b a   , chứng minh rằng b n bị chặn

b) Chứng minh rằng ( )a n hội tụ

Bài 7 Cho dãy số ( )u n thỏa mãn

2

2018

n

u



    với n 1

a) Thử thay u 1 1 để ra công thức tổng quát của u n, từ đó dự đoán khoảng giá trị của ( )u n

và tính  u2018

 

 

b) Chứng minh rằng

n

n

a

    hội tụ

c) Chứng minh rằng b n 1 2 n

     

Bài 8* Cho dãy số ( )x n thỏa mãn x1 a x, n 1 x n x2n

n



   Chứng minh rằng ( )x n hội tụ

Bài 9* Cho a0a b, 0 với ,b a b 0 Xét các dãy số ( ),( )a n b n thỏa mãn

,

a b

a) Chứng minh rằng tồn tại k để a  k 2018

b) Chứng minh rằng limb   n

c) Chứng minh rằng dãy số ( )a n hội tụ

Bài 10* Với mỗi số nguyên dương ,n xét f n( ) là tích các chữ số của n Xét dãy số

1

u   a  và u n1u n f u( n) Chứng minh rằng tồn tại số hạng của dãy mà trong các chữ số của nó có chữ số 0

Gợi ý Một số có k chữ số nhưng không chứa chữ số 0 thì hai chữ số đầu tiên của nó nhỏ nhất

có thể là mấy?

Gợi ý cho các bài

Bài 1 Dễ thấy u3 nên u1 4 3 2 2016 2 1 2016 3

u  u  u  u  u  , cứ như thế quy nạp u

được dãy giảm Mà dãy bị chặn dưới bởi 0 nên hội tụ, đặt limu n   , thay vào có L 0 L 2





      nên dãy giảm, bị chặn dưới bởi 0 nên hội tụ Đặt limu n   Viết L 0 1 2 2 2 3

2

n n

n n

u u

u

     nên suy

u u u u Đến đây mới được thay L vào để có lim 0

Bài 3 Nhắc lại công thức tổng quát của dãy 1 1 5 1 5

5

n

F

    

      

       

nên dễ thấy u n là

tổng của hai cấp số nhân có công bội 1 1 5, 2 1 5

  đều lùi vô hạn

1

5

n

u

   

Bài 4 Rõ ràng dãy đã cho tăng Nếu nó bị chặn, đặt chặn trên là C thì u nC, n

Ta có a n 1 a n 1

nC

   , suy ra 1 1 1 1 1 1

1 2

n





       

   , mâu thuẫn

Bài 5 Ta có a n1a n nên dãy tăng Nếu dãy bị chặn thì có lima n  , thay vào thấy vô L 0

lý Chú ý rằng 1 4 1

4 n 5 3 1 lim n 2

      , trong biểu thức đã cho, chia tử và mẫu cho 2

n

a là tính được giới hạn

Bài 6 a) Ta có 1



          nên dễ thấy ( )b n bị chặn

b) Ta có dãy a n tăng và 1

2

n n

a

a   C với mọi n , suy ra 1 1

1 2

n





Bài 7 a) Dự đoán 2 2

( 1)

n

n u  n Chứng minh bằng quy nạp

u

n

   

n

u







Dễ dàng có được  u2018  2018

b) Ước lượng với 12 12

1 2  c) Ước lượng với 1 1

1 2

Bài 8 a) Giả sử ngược lại là a k2018, thì k b n1 nên với mọi n thì b n b n b

2017 2018 2017 2018

n

b) Xét vị trí k để a  k 2018, đặt 1

2018

k

a

q   thì b k1qb k và

2 1

2018 2018

b   b  b q b nên tương tự có n

b q b Suy ra limb   n

c) Ta có k 2 k 1 1

k

qb

    nên 1 1 1 12 11 1 1 1

1



        



bị chặn trên nên hội tụ (vì rõ ràng dãy đã tăng)

Bài 9 Chỉ cần chứng minh ( )x n bị chặn trên Ta có

2

n

x





  nên

1 2

n

   , tính tổng này thì thấy 1 1 1 12 12 12 1 1

2 1 2

n

n





       

Bài 10 Rõ ràng nếu u n có chứa chữ số 0 thì ( )f u n  và dãy trở thành hằng Ngược lại nếu 0 không có số hạng nào như thế thì dãy tăng và tiến tới vô cực Chú ý rằng

,

( )

f m m

1 2 k 1 10k

ma a a  a  , còn 1

f m a a a  a  nên

1 ( ) 9

0 10

k

f m m



 



  

Do dãy u   n nên với mỗi k , đều có số hạng có ít nhất k chữ số Gọi n k là chỉ số của số hạng đầu tiên như thế thì 1

k

n

u  có không quá k 1 chữ số nên 1

1 10

k

k n

Hai chữ số bắt đầu của

k

n

u nhỏ nhất là 11 (không thể là 10 ) nên 2

11 10

k

k n

u    suy ra

1 2

1

( ) 1

10

k

k

n k

n

f u

u







Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với nhận xét lim f m( ) 0

m  ở trên