Tác giả bài viết có tham khảo một số lời giải trong các đáp án chính thức của đề thi các nơi. Nói một cách tổng quát, việc trực giao sẽ bảo toàn tỷ số kép; không những thế[r]
Trang 1ĐIỂM QUA MỘT SỐ KỸ THUẬT DÙNG TRONG CÁC BÀI TOÁN THI OLYMPIC 2019 - 2020
(Lê Phúc Lữ tổng hợp và giới thiệu) Bài viết này bao gồm nhiều phần nhỏ, phân tích và xem xét một số kỹ thuật có dùng để giải quyết các bài toán trong đề thi HSG tỉnh hoặc chọn đội tuyển 2019 – 2020 Tác giả bài viết có tham khảo một số lời giải trong các đáp án chính thức của đề thi các nơi
Phần 1 KỸ THUẬT TRỰC GIAO CHÙM ĐIỀU HÒA
Ta biết rằng nếu chùm (Ax Ay Az At , , , ) 1 và có Bx Ax By, Ay Bz, Az Bt, At thì chùm (Bx By Bz Bt, , , ) 1. Nói một cách tổng quát, việc trực giao sẽ bảo toàn tỷ số kép; không những thế, các phép biến hình trong những trường hợp đặc biệt cũng có tính chất này
Bài 1.1 (Chọn đội tuyển Bình Thuận) Cho tam giác ABC nhọn không cân có điểm D nằm
trong tam giác sao cho ADB ADC Gọi M N, lần lượt là điểm đối xứng với D qua các
cạnh AB AC, Gọi AH là đường cao của tam giác và (ADH) cắt lại BC ở T Chứng minh rằng các điểm M N T, , thẳng hàng
Lời giải
Ta có AD AM AN nên các điểm M N D, , cùng thuộc đường tròn tâm A Đặt
,
S ADBC ta có DS là phân giác góc BDC
Mặt khác, ADT AHT 90 nên DT là phân giác ngoài của BDC và (TS BC , ) 1
Suy ra A TS BC ( , ) 1 Trực giao từ đỉnh ,D ta có (Dx DT DM DN , , , ) 1 với Dx AT
S
E
H T
N
M
D
C A
B
Trang 2Cuối cùng, giả sử Dx( )A ED thì tứ giác DMEN điều hòa; trong khi đó, TD là tiếp
tuyến của ( )A nên TE cũng là tiếp tuyến của ( ),A điều này kéo theo MN đi qua T
Nhận xét Nhờ ý tưởng về trực giao, khi mô hình có sẵn các đường vuông góc, ta có thể chủ
động khai thác các chùm điều hòa có sẵn để làm phát sinh các chùm mới Trên thực tế, bài toàn này có thể giải quyết bằng biến đổi góc nhưng rắc rối hơn
Bài 1.2 (Chọn đội tuyển Hà Nam) Cho tam giác ABC nhọn, không cân có trọng tâm , G tâm ngoại tiếp O Gọi , ,D E F lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác GBC GCA GAB, , Chứng minh
rằng O là trọng tâm tam giác DEF
Lời giải
Rõ ràng ta chỉ cần chứng minh DO chia đôi EF là đủ
Kẻ Ox EF , dễ thấy rằng EF là trung trực của AG nên phải có EF AG, suy ra Ox AG Qua ,A kẻ Ay BC thì chùm (Ay AT AB AC , , , ) 1, trong đó T là trung điểm BC Trực giao đỉnh ,O ta có (OD Ox OF OE , , , ) 1 vì OF OE, lần lượt là trung trực của AB AC,
Do Ox EF nên theo tính chất chùm điều hòa, ta có OD chia đôi BC Bài toán được giải quyết nhẹ nhàng
Nhận xét Bài toán này có thể chứng minh nhờ bổ đề: trong tam giác gọi L là điểm Lemoine
thì L cũng là trọng tâm của tam giác Pedal của chính nó trong ABC.
Bài 1.3 (Mock test VMO) Cho tam giác ABC không cân và ( ; )O R là đường tròn ngoại tiếp Gọi AL là phân giác ngoài với L BC và I là tâm nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng qua ,
I vuông góc với IL cắt trung trực BC ở K Chứng minh rằng OK3 R
T
y
x M
O G F
E
D
C B
A
Trang 3Gợi ý Gọi BD CE, là phân giác trong của tam giác ABC và T là tâm bàng tiếp góc A Ta có
bổ đề quen thuộc sau: OT DE
Chứng minh Đổi mô hình bàng tiếp trực tâm rồi dùng phương tích của đường tròn Euler
Trở lại bài toán,
Gọi M là trung điểm cung nhỏ BC thì M là trung điểm IT.Lấy O đối xứng với O qua M
thì tứ giác O TOI là hình bình hành nên O I OT Suy ra O I DE
Vì AL là phân giác ngoài của tam giác ABC nên L AI DB ( , ) 1 Trực giao đỉnh ,I ta thấy
O là trung điểm của MK nên OM MOO K nên OK 3 R
Bài 1.4 (Chọn đội tuyển TPHCM) Cho hai đường tròn ( ),( )O O cố định, cắt nhau ở hai điểm ,
B C sao cho O O, nằm cùng một phía đối với đường thẳng BC (điểm O gần BC hơn) Điểm A thay đổi trên ( )O sao cho tam giác A B C nhọn và giả sử các đoạn thẳng AB AC, cắt
( )O lần lượt tại D E, BE cắt CD ở I và AI cắt BC ở K Gọi M N, lần lượt là giao điểm
của IB với KD , của IC với KE Tia O I cắt đường tròn ( )O ở R
a) Chứng minh rằng AR MN, cắt nhau tại một điểm T nằm trên đường thẳng BC.
b) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên ( )O thì đường phân giác trong và đường cao đỉnh
I của tam giác IMN luôn lần lượt đi qua các điểm cố định
O'
M L
E
D
I
K T
O
C B
A
Trang 4Lời giải
a) Giả sử EF cắt BC ở T thì theo định lý Brocard cho tứ giác toàn phần BCEF AT với đường tròn (O) ngoại tiếp BCEF, ta có O I AT tại điểm Miquel R Mặt khác, R (ABC)
nên R R Do đó AR EF BC, , đồng quy ở T và (T D BC , ) 1. Do AD BE CF, , đồng quy
tại I nên ta có các hàng điểm điều hòa (BI ME, ) (CI NF, ) 1.
Giả sử MNBCT thì theo tính chất của chùm điều hòa, ta có (T D BC , ) 1 nên TT
Từ đây suy ra EF MN BC, , cũng đồng quy tại T Vì thế nên T TT hay giao điểm của ,
AR MN nằm trên đường thẳng BC
b) Để ý rằng BAC,BEC,BFC cùng chắn cung BC của hai đường tròn ( ), (O O) nên số
đo của chúng không đổi Suy ra góc BIC cũng không đổi Do đó, I di chuyển trên đường tròn
tâm J cố định Suy ra phân giác trong góc I của tam giác IMN sẽ đi qua trung điểm cung
BC không chứa I của đường tròn ( ),J là điểm cố định
Tiếp theo, do BCEF nội tiếp nên EF đối song trong tam giác IBC, kéo theo IJ là đường nối tâm trong tam giác này sẽ là đường cao trong tam giác kia, hay IJ EF Giả sử đường thẳng qua I, vuông góc với IT cắt OO ở L và Ix là tia vuông góc với BC
Xét chùm điều hòa (T AI FD, ) với IO TA (theo câu a), IJ TF IL, IT Ix, T nên theo tính chất chùm trực giao thì ta cũng có ( ,Ix IJ IL IO , , ) 1
x
L J
N M
K
F
O'
O R
T
I
E
B
A
Trang 5Mặt khác, Ix OO nên theo tính chất chùm điều hòa thì J là trung điểm O L , hay nói cách
khác L cố định Cuối cùng, giả sử đường cao đỉnh I trong tam giác IMN cắt OO ở K
Từ chùm điều hòa T EM IB ( , ) 1, trực giao qua đỉnh ,I ta có (IJ IK IL Ix , , , ) 1 nên
tương tự trên, ta cũng có L là trung điểm JK, dẫn đến K cố định
Vì thế đường cao đỉnh I trong tam giác IMN luôn đi qua điểm K cố định
Nhận xét Trong bài này, ta còn chứng minh được rằng đường trung tuyến của tam giác IMN
cũng sẽ đi qua điểm cố định thông qua bổ đề sau (chứng minh bằng biểu diễn vector):
Cho tam giác ABC thay đổi có góc BAC cố định và đường thẳng d cố định Gọi
, , ,
H G O I lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Biết rằng
AH d X AO d Y AI là các điểm cố định Chứng minh AG qua điểm cố định d Z
Thật vậy,
Vì AH AO, đẳng giác trong BAC nên phân giác góc ,A cũng chính là phân giác góc XAY
hay AX ZX const
AY ZY Giả sử AG d , ta cần chỉ ra rằng T cố định Đặt T
,
XY XY với x y 1. Ta có AT x AY y AX hay
Mặt khác, G chia HO theo tỷ số 2 :1 nên 2AOAH 3AG và bộ số trên là duy nhất Suy
ra rằng xAY : yAX : AT 2 : 1 : 3
AO AH AG Do đó
2 2
AO AH y AH AY , mà AH 2 cos const
AO nên x const
y
Do đó, ta có T là điểm cố định
T I
Y X
O G H
C B
A
Trang 6Bài 1.5 (Mock test VMO) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp trong đường tròn ( )O
với trực tâm H. Điểm R thay đổi trên cung lớn BC của ( )O sao cho AR không song song với BC Lấy các điểm ,S T trên đường thẳng BC sao cho (ARS), (ART) cùng tiếp xúc với
BC Đường thẳng qua H, vuông góc với AS AT, lần lượt cắt (HBC) ở , X Y
a) Chứng minh rằng đường thẳng XY luôn đi qua điểm cố định
b) Chứng minh rằng tâm của đường tròn (RST) di chuyển trên đường thẳng cố định
Gợi ý a) Đặt K AR BC, thì 2 2
KB KC KA KR KS KT nên (BC RS , ) 1 Vì chùm
A ST BC nên trực giao đỉnh H ta có H MN BC( , ) A ST CB( , ) 1.Suy ra tứ giác
BMCN điều hòa và MN sẽ đi qua giao điểm hai tiếp tuyến của (HBC) ở , B C
b) Ta có SRT SRK TRK ASK ATK 180 SAT nên (RST), (AST) đối xứng nhau qua BC Khi đó, ta đưa về chứng minh cho tâm của (AST)
Gọi D là trung điểm BC và E là giao điểm của AD với (AST) thì theo hệ thức Newton thì
DA DE DT DS DB DC
nên E là điểm cố định Do đó, đường tròn (AST) đi qua điểm cố định ,A E nên tâm của nó
sẽ di chuyển trên trung trực của AE cũng cố định Ta có đpcm
K
E
D
H
M
T S
R
C B
A