Một giao điểm được gọi là "tốt" nếu như về hai phía của mỗi đường thẳng đi qua nó, còn ít nhất một giao điểm khác.. Tìm giá trị nhỏ nhất của số điểm tốt...[r]
Trang 1Bài tập tổng hợp ôn thi TST
Thầy giáo Trọng Tuấn Lời giải được thực hiện bởi INFINITI TEAM
Đề được đăng trên diễn đàn "Hướng tới Olympic toán học" [1]
Bài 1 Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn f (0) = 0 và
f (2x + y + f (x + y)) + f (xy) = yf (x) với mọi x, y ∈ R
Lời giải
Với mỗi cặp số thực (u, v), gọi P (u, v) là phép thế x = u, y = v vào phương trình ban đầu Xét P (−1, 1) ta có được rằng f (−1) = 0 nên khi xét P (1, −1) thì f (1) = 0 Sau đó, lần lượt xét P (1, 2x − 3 + f (x − 1)) thì ta có rằng
f (2x − 1 + f (x − 1) + f (2x − 3 + f (x − 1))) + f (2x − 3 + f (x − 1))
Kết hợp với P (x − 1, 0) và P (x − 2, 1) để có f (2x − 2 + f (x − 1)) = f (2x − 3 + f (x − 1)) = 0 thì 0 = f (2x − 1 + f (x − 1)) = −f (x) − f (−x) hay f (−x) = f (x) hay f là hàm lẻ
Từ đó, xét P (1, x) và P (−1, −x) thì ta đưa về
(x + 1)f (x) = (−x + 1)f (x) nên f (x) = 0 với mọi x 6= 0 và vì f (0) = 0 nên f (x) ≡ 0 là nghiệm hàm duy nhất của bài toán
Bài 2 Với số nguyên dương n, xét đa thức nhị phân P (x) =
n
X
i=0
aixi, trong đó ai ∈ {0, 1}
và ai ≡ Ci
n (mod 2) Hỏi có bao nhiêu số n ≤ 2020 sao cho đa thức P (x) có thể phân tích thành tích của đúng 5 đa thức hệ số nguyên bất khả quy?
Lời giải
Bổ đề (Định lý Lucas [2]) Với các số nguyên không âm m và n và số nguyên tố p, ta có quan hệ đồng dư sau
Cmn ≡
k
Y
i=0
Cni
m i (mod p),
trong đó
m = mkpk+ mk−1pk−1+ + m1p + m0, và
n = nkpk+ nk−1pk−1+ + n1p + n0 lần lượt là khai triển theo cơ số p của m và n Ở đây quy ước Cmn = 0 khi m < n
1
Trang 2Với mỗi số nguyên dương n, xét khai triển trong hệ nhị phân của n là 2s1+ 2s 2+ + 2s k thì gọi Sn = {2s 1, 2s 2, , 2s k} Theo bổ đề trên, ai = 1 khi và chỉ khi S(i) ⊂ S(n) Do đó, ta có rằng
P (x) = X
i|S i ⊂S n
xi = Y
j=1,k
(xj + 1)
Ta thấy rằng xj + 1 là các đa thức hệ số nguyên bất khả quy nên bài toán tương đương với |Sn| = 5 hay trong hệ nhị phân, n có 5 chữ số 1 Mà (2020)10 = (11111100100)2 > (11111000000)2, có 11 chữ số nên ta có số số n ≤ 2020 cần tìm là C5
11 Bài 3
a Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn a!b! | c! Chứng minh rằng
2a+b−c−2 ≤ c2
b Với k là số nguyên dương, gọi x là tổng các ước của số 2k! Chứng minh rằng x có một ước nguyên tố lớn hơn 2k
Lời giải (thầy Lê Phúc Lữ)
a Đánh giá số mũ 2 ở hai vế của điều kiện, ta có v2(a!) + v2(b!) ≤ v2(c!) Theo công thức Legendre thì v2(n!) = n − s2(n), với s2(n) là tổng các chữ số của n trong hệ nhị phân Ngoài ra, ta cũng có số lượng đó sẽ không vượt quá k là chữ số của n viết trong hệ nhị phân, tức là s2(n) ≤ k ≤ log2(n) + 1 Từ đó suy ra
a − s2(a) + b − s2(b) ≤ c − s2(c) hay
a + b − c − 2 ≤ s2(a) + s2(b) − s2(c) − 2 ≤ log2(a) + log2(b) ≤ log2(c2)
Do đó ta có 2a+b−c−2≤ c2
b theo công thức Legendre thì v2 2k! = 2k− s2 2k = 2k− 1
Ta biết rằng nếu pa | n thì p a+1 −1
p−1 | σ(n) Áp dụng với p = 2, a = 2k− 1, n = 2k! ta có
22k − 1 | σ 2k! Suy ra 22k−1 + 1 | x Ta có bổ đề quen thuộc sau trong lý thuyết về cấp:
Số Fermat Fn = 22n + 1 có ước nguyên tố là p thì p ≡ 1 (mod 2n+1).[3]
Áp dụng vào bài, suy ra số 22k−1 có ước nguyên tố p ≡ 1 (mod 2k) nên p > 2k, và đây cũng là ước nguyên tố của x
Bài 4 Trên mặt phẳng, cho n > 3 đường thẳng sao cho không có ba đường thẳng nào đồng quy và không có hai đường nào song song Một giao điểm được gọi là "tốt" nếu như về hai phía của mỗi đường thẳng đi qua nó, còn ít nhất một giao điểm khác Tìm giá trị nhỏ nhất của số điểm tốt
Trang 3Lời giải.
Ta sẽ có các định nghĩa như sau
Một giao điểm được gọi là "xấu" nếu nó không "tốt"
Hai giao điểm được gọi là liền kề trên đường thẳng l nếu giữa chúng không có một giao điểm khác
Một giao điểm được gọi là "mút" của đường thẳng l nếu nó chỉ liền kề với đúng một giao điểm trên l
Xét đồ thị G(V, E) gồm các đỉnh là các giao điểm và được nối với nhau bằng một đoạn thẳng nếu chúng liền kề nhau trên một đường thẳng ban đầu Khi đó, G có |V | = Cn2 và
|E| = n(n − 2) Ta dễ thấy rằng, bậc của mỗi đỉnh chỉ có thể là 2, 3, 4 (đỉnh của giao điểm tốt sẽ có bậc là 4) Gọi si là số đỉnh có bậc i Ta có bổ đề sau
Bổ đề (Bổ đề bắt tay [4]) Cho đồ thị vô hướng G(V, E) thì ta có rằng
X
v∈V
deg v = 2|E|
Từ bổ đề trên, ta có các mối quan hệ sau
s2+ s3+ s4 = Cn2 và
2s2+ 3s3+ 4s4 = 2n(n − 2)
Từ đó, ta dễ có rằng
s4− s2 = n
2− 5n 2 Tiếp đến, ta thấy rằng, tồn tại đồ thị đa giác lồi P có các đỉnh là các giao điểm mút sao cho phủ lấy các giao điểm còn lại Dễ thấy rằng bậc của chúng là 2 nên s2 ≥ 3 Do đó
s4 ≥ n 2 −5n+6
2 Ta sẽ chứng minh rằng đó là giá trị nhỏ nhất của bài toán
Tài liệu
[1] Bài tập tổng hợp ôn thi TST dành cho đội Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh của thầy Trọng Tuấn, 2020
https://www.facebook.com/groups/vmo.tst/?post_id=591766828204118
[2] Định lý Lucas, Fran¸cois Édouard Anatole Lucas, 1878
https://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%27s_theorem
[3] 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Krizek, Florian Luca, Lawrence Somer, 2001
[4] Định lý bắt tay, Leonhard Euler, 1736
https://en.wikipedia.org/wiki/Handshaking_lemma