Trở lại bài toán.[r]
Trang 1HAI BÀI TOÁN TRONG ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI
2020 - 2021
Đỗ Xuân Trọng Năm 2020
1 Đề bài
Bài 1 (Bài 1 - Ngày 1) Cho dãy số (an) xác định bởi
a1= 1, an+1=√ an
an+ 1, ∀n ≥ 1.
Chứng minh rằng lim
n→+∞nan= 0
Bài 2 (Bài 6 - Ngày 2) Cho dãy số (xn) xác định bởi
x0= 1, x1= 3, xn+2= 6xn+1− xn, ∀n ≥ 0
a) Chứng minh rằng với mỗi n nguyên dương thì x2n− 12
+ 1 là hợp số b) Gọi k là số nguyên dương và p là số nguyên tố sao cho p | x2k Nếu p − 1 chia hết cho 4, chứng minh rằng 2k+2| p − 1
2 Lời giải
Bài 1 Dễ thấy an> 0, ∀n ≥ 1 và dãy (an) giảm thực sự Ta chứng minh bằng quy nạp với mọi n ≥ 1 thì
an≤ 1
Dễ thấy điều này đúng với n = 1 Giả sử nó đúng với n, khi đó ta có
an+1=√ an
an+ 1 =
1
1
an +√1
an
n +√
n + 1,
vì n ≥ 1 Vì thế khẳng định (∗) cũng đúng với n + 1, nên nó đúng với mọi n
Trang 2Vậy khi cho n → +∞ thì lim
n→+∞an= 0 Do đó dãy (yn) xác định bởi
yn= 1
an
, ∀n ≥ 1
là dãy tăng thực sự (vì dãy (an) giảm thực sự) và lim
n→+∞yn= +∞
Bây giờ đặt xn = n, ∀n ≥ 1 thì theo định lí Stolz ta có được
lim
n→+∞nan= lim
n→+∞
xn
yn
= lim
n→+∞
xn+1− xn
yn+1− yn
= lim
n→+∞
1
1
a n+1 − 1
a n
= lim
n→+∞
√
an = 0
Bài 2 Dễ chứng minh với mọi n ≥ 0 thì
xn = 1 +
√
22n+ 1 −√
22n 2
và x2n+ x2n+1− 6xnxn+1− 8 = 0
a) Ta có
1 +√
2
2n
−1 −√
2
2n
= 2√ 2bn với bn∈ N∗ nào đó Vậy suy ra
x2n− 1 =
"
1 +√
22n
− 1 −√22n
2
#2
= 2b2n Với n ≥ 1 thì bn ≥ 2, do đó
x2n− 12
+ 1 = 4b4n+ 1 = 2b2n− 2bn+ 1
2b2n+ 2bn+ 1
là hợp số với mọi n ≥ 1
b) Ta có p là số nguyên tố lẻ Nếu p | x2k thì từ đẳng thức nêu ban đầu, ta suy
ra x22k +1≡ 8 (mod p) Do đó 2 là số chính phương mod p nên
p | 2p−12 − 1
Sử dụng tính chất
p − 1 k
≡ (−1)k, ∀k ∈ {0, 1, 2, , p − 1}
với mỗi số nguyên tố p, ta có
1 +√
2p−1− 1 −√2p−1
2√
1
2√ 2
"p−1
X
k=0
p − 1 k
√
2
k
−
p−1
X
k=0
p − 1 k
−√2
k#
Trang 32
X
k=0
p − 1 2k + 1
2k≡ −
2
X
k=0
2k = −2p−12 − 1≡ 0 (mod p) Thế nên tập hợp
S = (
m ∈ N∗ p | 1 +
√
2m
− 1 −√2m
2√ 2
)
khác rỗng Từ đây dễ chứng minh được rằng phần tử nhỏ nhất trong S sẽ là ước của tất cả các phần tử còn lại
Ta có p | x2k tương đương với
p |1 +√
2
2k+1
+1 −√
2
2k+1
,
do đó
p | 1 +
√
22 k+2
− 1 −√22 k+2
2√
Bây giờ gọi h là phần tử nhỏ nhất trong S thì có h | 2k+2
Bổ đề Với mỗi số nguyên dương n, tồn tại duy nhất các số nguyên dương An,
Bn nguyên tố cùng nhau sao cho
1 +√
2
n
= An+ Bn
√ 2,
1 −√
2
n
= An− Bn√2
Chứng minh Hiển nhiên nếu An, Bn tồn tại thì nó là duy nhất Do đó ta chỉ cần chứng minh tính tồn tại là được
Với n = 1 ta được A1= B1= 1 Giả sử nó đúng đến n, ta có
1 +√
2
n+1
=An+ Bn
√
2 1 +√
2= (An+ 2Bn) + (An+ Bn)√
2,
1 −√
2
n+1
=An− Bn
√
2 1 −√
2= (An+ 2Bn) − (An+ Bn)√
2,
và do gcd (An, Bn) = 1 nên dễ thấy gcd (An+ 2Bn, An+ Bn) = 1 Ta có đpcm Trở lại bài toán Nếu p 6= 2k+2 thì sẽ có p | 2k+1, suy ra
p | 1 +
√
22
k+1
− 1 −√22
k+1
2√
Sử dụng bổ đề ta có
p |1 +√
2
2 k+1
+1 −√
2
2 k+1
⇔ p | 2Ak ⇔ p | Ak,
Trang 4p | 1 +
√
22k+2
− 1 −√22k+2
2√
Nhưng điều này vô lí do Ak, Bk nguyên tố cùng nhau
Vậy phải có h = 2k+2, và do p − 1 ∈ S, nên 2k+2| p − 1, điều phải chứng minh
... k+22√
Bây gọi h phần tử nhỏ S có h | 2k+2
Bổ đề Với số nguyên dương n, tồn số nguyên dương An,
Bn nguyên tố cho
...
− −√22
k+1
2√
Sử dụng bổ đề ta có
p |1 +√
2
2 k+1
+1