trọng tâm của tam giác AOD, AG cắt CD tại E. a) Chứng minh tứ giác AOED nội tiếp trong một đường tròn. Tính diện tích tứ giác AFOE. c) Đường tròn tâm J nội tiếp tam giác BCD tiếp xúc với[r]
Trang 1Võ Tiến Trình - 0988270709 1
CÁC ĐỀ THI TOÁN KHÔNG CHUYÊN VÀO PTNK MỘT SỐ NĂM
Đề Toán không chuyên 2009 – 2010
Bài 1 (2 điểm)
a) Giải phương trình bằng cách đặt ẩn số 5
4
x t
x
2 2
35 24
4
x x
x x
b) Cho phương trình mx2 3m1x2m 3 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x12 x22 34
Bài 2 (2,5 điểm)
R
a) Rút gọn R
b) Tìm số thực x để R 2 Tìm số tự nhiên xlà số chính phương sao cho R là số nguyên
Bài 3 (2 điểm)
a) Giải hệ phương trình: 2 2 0
8
x xy y
x y
b) Cho a b c , , là độ dài ba cạnh của tam giác ABC Giả sử phương trình
xaxb xbxc xcxa0 có nghiệm kép Tính số đo các góc của tam giác
Bài 4 (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ABC 60 ,0 ACB450 Dựng AH BC H BC, và dựng HK AB K AB Gọi M là trung điểm của AC
Trang 2Võ Tiến Trình - 0988270709 2
Biết AH 3, tính BC và chứng minh BKMC là tứ giác nội tiếp
Bài 5 (1 điểm)
Trong kỳ kiểm tra môn Toán, một lớp gồm ba tổ A, B và C Điểm trung bình của học sinh ở các tổ được thống kê ở bảng sau :
Biết tổ A gồm 10 học sinh, hãy xác định số học sinh và điểm trung bình của toàn lớp
Bài 6 (1 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O), có đỉnh A cố định vá các đỉnh B,
C, D di chuyển trên (O) sao cho ABD 900 Kẻ tia Ax vuông góc với AD cắt BC tại E,
kẻ tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F Gọi K là điểm đối xứng của A qua EF Chứng minh tứ giác EFCK nội tiếp được và đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định
Đề Toán không chuyên 2010 – 2011
Bài 1 (2,5 điểm)
a) Tìm m để phương trình x2 2x m 3 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa
2
2 2
1 2 2 1 2 7 1 2
x x x x x x
b) Giải phương trình 9 4 x x2 6x9 2x5 9 4 x
Bài 2 (2 điểm)
a) Giải hệ phương trình
1
x y xy xy
xy x y
b) Rút gọn biểu thức 1 : 1 2 1
1
a
Bài 3 (1,5 điểm)
Trang 3Võ Tiến Trình - 0988270709 3
Cho tam giác ABC vuông tại A, có chu vi bằng 30 cm và diện tích bằng 30cm2 Tính độ dài các cạnh của tam giác
Bài 4 (1 điểm)
Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y
(nghĩa là x 0 và n10x y) Gọi M n
x y
a) Tìm n để M 2
b) Tìm n để M nhỏ nhất
Bài 5 (3 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O, cạnh AB3a và ABD 300 Gọi G là trọng tâm của tam giác AOD, AG cắt CD tại E
a) Chứng minh tứ giác AOED nội tiếp trong một đường tròn
b) Cho DG cắt AB tại F Tính diện tích tứ giác AFOE
c) Đường tròn tâm J nội tiếp tam giác BCD tiếp xúc với BD, CD lần lượt tại I, K Gọi
H là giao điểm của IK và AC Tính góc IOJ và độ dài đoạn HE
Đề Toán không chuyên 2011 - 2012
Bài 1 (2,5 điểm) Cho phương trình x2 mx2m2 x 3 0 1
a) Giải phương trình (1) khi m 2
b) Tìm m để phương trình x2 mx2m2 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa
1 2 2 7 2
x x m
c) Chứng minh phương trình (1) luôn có không quá hai nghiệm phân biệt
Bài 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình x 2 5 2 x 1 6 x
Trang 4Võ Tiến Trình - 0988270709 4
b) Giải hệ phương trình
2 2 2 1
1
xy x
Bài 3 (1,5 điểm)
: 1
R
x
với x 0 và
1
x
b) Chứng minh R 1
Bài 4 (1 điểm)
Một tổ mua nguyên vật liệu để tổ chức thuyết trình tại lớp hết 72.000 đồng, chi phí được chia đều cho mỗi thành viên của tổ Nếu tổ giảm bớt 2 người thì mỗi người phải đóng thêm 3.000 đồng Hỏi số người của tổ ?
Bài 5 (3 điểm)
Tam giác ABC có BAC 75 ,0 BCA 45 ,0 AC a 2, AK vuông góc với BC (K thuộc BC)
a) Tính độ dài các đoạn KC và AB theo a
b) Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính OHC c) Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HIO theo a
Đề toán không chuyên 2012- 2013
Bài 1 (2 điểm) Cho phương trình x3 4 x x m 1 0 1
a) Giải phương trình (1) khi m 33
b) Tìm m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa x16 x26 82
Bài 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình 2 x 7 3 x 5 1
Trang 5Võ Tiến Trình - 0988270709 5
b) Giải phương trình
2
2
5
x xy
xy y
Bài 3 (2 điểm)
T
a b , a 1
Tìm giá trị lớn của T khi a là số tự nhiên và a 1
b) Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết tổng 3 tích của từng cặp số khác nhau của chúng là
1727
Bài 4 (1 điểm)
Tổng kết học kỳ 2, trường trung học cơ sở N có 60 học sinh không đạt học sinh giỏi trong
đó có 6 em từng đạt học sinh giỏi học kỳ 1; số học sinh giỏi của học kỳ 2 bằng 40
37 số
học sinh giỏi của học kỳ 1 và có 8% số học sinh của trường không đạt học sinh giỏi học
kỳ 1 nhưng đạt học sinh giỏi học kỳ 2 Tìm số học sinh giỏi học kỳ 2 của trường biết rằng
số học sinh của trương không thay đổi trong suốt năm học
Bài 5 (3 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD) nội tiếp đường tròn (C) tâm O, bán
kính R và có DAB 105 ,0 ACD 300
a) Tính DB
DC và AB theo R
b) Tiếp tuyến của (C) tại B cắt các đường thẳng DO, DA lần lượt tại M, N TínhMN
MD
c) Gọi E là trung điểm của AB, tia DE cắt MN tại F Tính BF
BC
Trang 6Võ Tiến Trình - 0988270709 6
Đề Toán không chuyên 2013 – 2014 Bài 1 (2 điểm)
a) Giải phương trình x 1 x 2
b) Tìm chiều dài của một hình chữ nhật có chu vi là a (mét), diện tích là a (mét
vuông) và đường chéo là 3 5 (mét)
Bài 2 (2 điểm) Cho phương trình x 1 x2 5x m 1 0 1
a) Giải phương trình (1) khi m 1
b) Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x x x1, ,2 3 thỏa
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 31
x x x x x x x x x x x x
Bài 3 (2 điểm)
a) Với 0 b a , hãy rút gọn biểu thức
: 1 1
P
b) Giải hệ phương trình 2 1 1
2
x y
x y
x y xy
Bài 4 (1 điểm) Có hai vòi nước A, B cùng cung cấp cho một hồ cạn nước và vòi C (đặt
sát đáy hồ) lấy nước từ hồ cung cấp cho hệ thống tưới cây Đúng 6 giờ, hai vòi A, B được
mở, đến 7 giờ vòi C được mở; đến 9 giờ thì đóng vòi C và vòi B; đến 10 giờ 45 phút thì
hồ đầy nước Người ta thấy rằng nếu đóng vòi B ngay từ đầu thì phải đúng 13 giờ hồ mới đầy Biết lưu lượng vòi B là trung bình cộng của vòi A và vòi C, hỏi một mình vòi C tháo cạn hồ nước đầy trong bao lâu ?
Bài 5 (3 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, AC = 2a và tam giác ABD đều Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD
a) Tính BC, CN theo a
b) Gọi H là trực tâm tam giác CMN, MH cắt CN tại E, MN cắt AC tại K Chứng minh 5 điểm B, M, K, E, C cùng thuộc một đường tròn (T) Đường tròn (T) cắt
BD tại F (F B), tính DF theo a
Trang 7Võ Tiến Trình - 0988270709 7
c) KF cắt ME tại I Chứng minh KM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MIF Tính góc IND
Đề Toán không chuyên 2014 – 2015
Bài 1 (2 điểm)
a) Giải phương trình 3 x 3 x 9 x2 4 5 3 x
b) Tính x
y biết rằng x1,y0 và
2
6
Bài 2 (2 điểm)
a) Giải hệ phương trình 2 2
2
b) Cho hình thoi ABCD có diện tích là 18 3 (mét vuông), tam giác ABD đều Tính chu vi hình thoi và bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 3 (2 điểm) cho phương trình 2 3 2 1
0 1 3
x
a) Giải phương trình (1) khi m 1
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho
21x 7m 2x x 58
Bài 4 (1 điểm)
a) Gọi ,
2
a b
lần lượt là trung bình cộng và trung bình nhân của
hai số dương a, b Biết rằng trung bình cộng của x y, bằng 100 Tính S a b b) Giả sử hai đại lượng x y, tỉ lệ nghịch (x y, luôn dương) Nếu xtăng a% thì y
giảm m% Tính m theo a
Trang 8Võ Tiến Trình - 0988270709 8
Bài 5 (3 điểm) Hình vuông ABCD có AB2a AC cắt BD tại I Gọi (T) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CID, BE tiếp xúc với (T) tại E (E khác C), DE cắt AB tại F
a) Chứng minh tam giác ABE cân Tính AF theo a
b) BE cắt AD tại P Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP tiếp xúc CD Tính AP
PD c) AE cắt (T) tại M (M khác E) Tính AM theo a
Đề Toán không chuyên 2015- 2016
Bài 1 (2 điểm)
a) Giải phương trình x2 9 2 x x x 2 9
b) Giải hệ phương trình 2 22 2 2
Bài 2 (1,5 điểm) Cho phương trình 2 3
0 1 1
x
a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2
b) Tìm m để x12 x22 5x x1 2 14m2 30m4
Bài 3 (1,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức
9
x
b) Tìm x để Q 0
Bài 4 (2 điểm)
a) Cho tam giác vuông Nếu ta tăng độ dài các cạnh góc vuông thêm 3 cm thì diện tích tăng 33cm2, nếu giảm độ dài một cạnh góc vuông 2 cm và tăng độ dài cạnh góc vuông kia 1 cm thì diện tích giảm 2cm2 Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác vuông
Trang 9Võ Tiến Trình - 0988270709 9
b) Bạn An dự định trong khoảng thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 mỗi ngày sẽ giải 3 bài toán Thực hiện đúng kế hoạch một thời gian, vào khoảng cuối tháng 3(tháng 3 có 31 ngày) thì A bị bệnh, phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp Khi phục hồi, trong tuần đầu An giải 16 bài toán; sau đó An cố gắng giải 4 bài một ngày và đến 30/4 thì An cũng hoàn thành kế hoạch đã định Hỏi bạn An đã nghỉ giải toán ít nhất bao nhiêu ngày ?
Bài 5 (3 điểm) Hình bình hành ABCD có ADC 600 và tam giác ACD nhọn Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ACD cắt cạnh AB tại E (E A), AC cắt DE tại I
a) Chứng minh tam giác BCE đều và OI CD
b) Gọi K là trung điểm BD, KO cắt DC tại M Chứng minh A, D, M, I cùng thuộc một đường tròn
c) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính OJ
DE
Đề Toán KC năm 2016 – 2017
Bài 1 (1 điểm) Biết a và b là các số dương, ab và
Tính S a b
Bài 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình x x 5 2x2 5x
b) Giải hệ phương trình
2
5
Bài 3 (2 điểm) Cho phương trình 1 2 2 14
0 1
x
a) Giải phương trình 1 khi m 8
b) Tìm m để phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho
2
x m x m x
Trang 10Võ Tiến Trình - 0988270709 10
Bài 4 (2 điểm) a) Ông An định cải tạo một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng
2,5 chiều rộng Ông thấy rằng nếu đào một cái hồ có mặt hồ là hình chữ nhật thì sẽ
chiếm mất 3% diện tích mảnh vườn, còn nếu giảm chiều dài 5m và tăng chiều rộng 2 m
thì mặt hồ là hình vuông và diện tích mặt hồ giảm được 20 m2 Hãy tính các cạnh của mảnh vườn
b)Lớp 9A có 27 học sinh nam và 18 học sinh nữ Nhân dịp sinh nhật của bạn X (là một thành viên của lớp), các bạn trong lớp có rất nhiều món quà tặng X Ngoài ra mỗi bạn nam của lớp làm 3 tấp thiệp và mỗi bạn nữ xếp 2 hoặc 5 con hạc để tặng bạn X Biết số tấm thiệp và số con hạc bằng nhau, hỏi bạn X là nam hay nữ ?
Bài 5 (3 điểm) Tam giác đều ABC có tâm O, AB 6a và các điểm M N, lần lượt thuộc các cạnh AB AC, mà AM AN 2a Gọi I J K, , lần lượt là trung điểm của BC AC, và
MN
a) Chứng minh các điểm M N B C, , , cùng thuộc một đường tròn T Tính diện tích tứ giác BMNC theo a
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK Chứng minh đường tròn đường kính NC tiếp xúc với AI
c) AE tiếp xúc với đường tròn T tại E (E và B cùng phía đối với đường thẳng AI
) Gọi F là trung điểm OE , tính số đo của góc AFJ