Trong bài viết này tác giả muốn giới thiệu tới bạn đọc một bài hình mà trong quá trình học đội tuyển tác giả đã phát hiện ra.. Nội dung bài toán như sau:.[r]
Trang 1Từ tính chất của đường tròn Mixtilinear
đến một bài hình thú vị
Nguyễn Đăng Khoa - THPT chuyên Hùng Vương
1 Giới thiệu
Trong bài viết này tác giả muốn giới thiệu tới bạn đọc một bài hình mà trong quá trình học đội tuyển tác giả đã phát hiện ra Nội dung bài toán như sau:
Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường tròn nội tiếp là (I) Đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại D Tia AD cắt (O) tại E Giả sử DI = DE, chứng minh rằng đường tròn đường kính AE tiếp xúc với đường tròn A-mixtilinear của tam giác ABC
E D
I
O
C A
B
2 Lời giải
Trước khi đến với lời giải bài toán này thì ta nhắc lại tính chất của đường tròn Mixtilinear như sau:
Tính chất Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có tâm đường tròn nội tiếp là I Đường tròn A-mixtillinear tiếp xúc trong với (O) và tiếp xúc với hai cạnh AC, AB tại E và F Khi đó I
là trung điểm EF
Do tính duy nhất của đường tròn A-mixtillinear (trong) nên ta có hệ quả sau
Hệ quả Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và có tâm đường tròn nội tiếp là I Giả
sử (J ) là đường tròn tiếp xúc với AC, AB tại E và F Khi đó nếu E, F , I thẳng hàng thì ta có (J ) tiếp xúc trong với đường tròn (O)
Trang 2J
E I
C
A
B
Bây giờ ta đi chứng minh nhận xét sau:
Nhận xét Nếu gọi M là trung điểm của AE thì IM k BC
M
X E D
I
C
A
B
Chứng minh Ta gọi X là giao điểm của AI với BC Lần lượt đặt độ dài ba cạnh tam giác BC,
CA, AB là a, b, c và bán kính ID = r
Để có IM k BC ta cần chứng minh AD
AM =
AX
AI .
Ta có AX
AI =
IX
AI + 1 =
BC
AB + AC + 1 =
a + b + c
b + c .
và AD · DE = DB · DC ⇒ AD = a + c − b
2 · a + b − c
2 · 1
r (1) Khi đó tỉ số AD
AM =
2AD
AE =
2AD
AD + r. Chú ý rằng r(a + b + c) = 2SABC = 1
2p(a + b + c)(b + c − a)(c + a − b)(c + b − a)
Suy ra r2 = (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c)
4(a + b + c) (2)
Từ (1) và (2) thay vào biến đổi thì ta sẽ có điều phải chứng minh
Bây giờ ta quay lại bài toán ban đầu
Trang 3U V
R D'
Z
Y
M
P
D
I
O
C
A
B
Chứng minh Ta gọi P , Q là hình chiếu của E lên AC và AB Theo tính chất và hệ quả của đường tròn Mixtilinear thì ta cần chứng minh (I) là đường tròn nội tiếp tam giác AP Q hay P Q tiếp xúc với (I)
Lấy Y , Z lần lượt là hình chiếu của A lên IE và E lên AI DI cắt Y Z tại D0
Theo nhận xét trên thì ta có IM k BC nên IM ⊥ DD0 từ đó áp dụng định lý con bướm thì
ta có ID = ID0 hay DD0 là đường kính của (I)
Ta gọi T là giao điểm thứ hai của Y Z với (I), ta đi chứng minh P Q tiếp xúc với (I) tại T
Ta dựng hình bình hành IDES, do ID = DE nên tứ giác IDES đồng thời là hình thoi Lấy
ES cắt BC, Y Z tại R, U và cắt lại (I) tại V
Trước hết ta có ba điểm P , Q, R thẳng hàng theo đường thẳng Simson (3)
Ta có
∠EIZ = ∠IEA + ∠IAE = ∠DIE + ∠IY D0 = ∠D0IY + ∠IY D0 = ∠DD0T = ∠EUZ Từ đó
ta có tứ giác IU ZE nội tiếp nên ∠IUE = 90◦ suy ra U là trung điểm SV
Ta có D0(T D, SV ) = D0(U D, SV ) = −1 nên tứ giác DST V là tứ giác điều hòa suy ra RT là tiếp tuyến của (I) (4)
Ta kẻ đường cao AH của tam giác AP Q khi đó AH, AD đối xứng nhau qua AI
Để ý ∠EIZ = ∠DD0T = 1
2∠DIT mà IS, ID đối xứng nhau qua IE nên IS và IT đối xứng nhau qua IZ
Do IS k AD nên IT k AH hay IT ⊥ P Q (5)
Từ (3), (4) và (5) ta có P Q tiếp xúc với (I) tại T (đpcm)
Lời kết Đây là bài toán phát biểu gọn và đẹp nhưng lại rất khó Tác giả cũng đã mất nhiều thời gian và phải sử dụng phần mềm vẽ hình để dự đoán tính chất để có lời giải như trên Câu hỏi đặt ra là làm sao để dựng một thế hình thỏa mãn giả thiết DI = DE ? Mong bạn đọc tiếp tục nghĩ và trao đổi thêm với tác giả
Email khoanguyen17112003@gmail.com