Trong qua trình học, tác giả có bắt gặp một số bài toán liên quan đến hình vuông ABCD và cho một điểm nằm trên cung nhỏ CD,.. Bài viết ngắn này sẽ trình bày một số bài toán liên quan đến[r]
Trang 1Một lớp bài toán liên quan đến cấu
hình hình vuông
Nguyễn Đăng Khoa Ngày 29 tháng 2 năm 2020
Giới thiệu. Trong qua trình học, tác giả có bắt gặp một số bài toán liên quan đến hình vuông ABCD và cho một điểm nằm trên cung nhỏ CD, Bài viết ngắn này sẽ trình bày một số bài toán liên quan đến cấu hình như vậy
Bài toán 1 Cho hình vuông ABCD nội tiếp (O) Lấy điểm P bất kì trên cung nhỏ CD
P B cắt AC tại E, P A cắt BD tại F Đường thẳng EF lần lượt cắt BC, AD tại K và L a) Chứng minh rằng P K ⊥ AC, P L ⊥ BD
b) Chứng minh ba đường tròn (P EF ), (P KL) và (O) đồng trục
G
S
Q
X K
L
E F
D
B A
O
C P
Chứng minh a) Ta thấy F , E, K thẳng hàng nên theo định lý Pascal đảo thì ta có DE và
P K cắt nhau tại X trên (O)
Mà B, D đối xứng với nhau qua AC nên từ đó P , X đối xứng với nhau qua AC Suy ra
P X ⊥ AC hay P K ⊥ AC
Hoàn toàn tương tự thì P L ⊥ BD
Trang 2b) Kẻ dây cung P S của đường tròn (O) sao cho P S k CD.
Lấy G là giao điểm thứ hai của (P EF ) với AC
Ta có ∠EGF = ∠EP F = ∠BP A = 45◦ = ∠OCD nên F G k CD
Từ đó dễ thấy F GSP là hình thang cân nên (P EF ) đi qua S
Ta lại lấy Q là giao điểm thứ hai của (P KL) với BC
Theo phần a) thì ta rút ra được ∠KP L = 90◦ Từ đó ta có ∠KQL = ∠KP L = 90◦ nên
LQ k CD
Từ đây suy ra (P LK) cũng đi qua S Vậy ta có đpcm
Nhận xét Tính chất chúng ta đi chứng minh ở phần a) rất quan trọng và đẹp, có ích trong một số bài toán khác
Bài toán 2 (Trần Quang Hùng) Cho hình vuông ABCD nội tiếp (O) Lấy điểm P bất
kì trên cung nhỏ CD P B cắt AC tại E, P A cắt BD tại F Đường thẳng EF lần lượt cắt
BC, AD tại K và L P A, P B lần lượt cắt CD tại hai điểm H và G Lấy I là giao điểm của
LG và HK Chứng minh P I vuông góc với CD
M N
I
K
L
E F
D
B A
O
C
P
Chứng minh Qua P ta kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt BC, AD tại M và N
Ta đi chứng minh K, H, N thẳng hàng, L, G, M thẳng hàng
Thật vậy, chú ý rằng P K ⊥ AC, P L ⊥ BD nên
HC
HD =
P C
P D·AC
AD =
P C ·√
2
P D =
P C sin ∠P KC · P D =
KC sin ∠KP C · P D =
KC sin ∠DP N · DP =
KC
DN.
Trang 3Suy ra N, H, K thẳng hàng Tương tự thì ta có L, G, M thẳng hàng.
Ta có tam giác LP N và tam giác KM P vuông cân tại N và M nên rút ra IMLI = KMLN = P MP N nên P I k LN hay ta có đpcm
Bài toán 3 (Tạp chí Pi, P205) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) Lấy P trên cung nhỏ CD P A cắt BD tại M , P B cắt AC tại N và P A, P B lần lượt cắt CD tại
S, T Đường tròn ngoại tiếp tam giác DM S cắt lại (O) tại điểm thứ hai là Q khác D, đường tròn ngoại tiếp tam giác CN T cắt lại (O) tại điểm thứ hai là R khác C DQ cắt CR tại J
và P O cắt CD tại I Chứng minh rằng IJ ⊥ CD
F E
I
J
R Q
O2
O1 S
T
N M
D
B A
O
C
P
Gọi (O1), (O2) lần lượt là tâm (M DS) và (N T C)
(O1) cắt AD tại điểm thứ hai là E (O2) cắt BC tại điểm thứ hai là F
Ta có ∠IP T = ∠OBP = ∠ICP nên 4IT P ∼ 4IP C(g.g) suy ra IP2 = IT · IC
Tương tự ta có IS · ID = IP2 nên I thuộc trục đẳng phương của (O1) và (O2)
Mặt khác ta dễ có: J Q · J D = J R · J C nên J cũng thuộc trục đẳng phương của (O1) và (O2)
Từ đó ta có IJ ⊥ O1O2 nên ta cần chứng minh O1O2 k DC
Hay ta cần chứng minh
ED = F C ⇔ AD.AE = BF.BC ⇔ AM.AS = BN.BT ⇔ AM
BN =
BT AS
Ta có AM
BN =
AM
AB · AB
BN =
M S
DS · T C
T N =
sin 45◦ sin ∠DM S ·
sin ∠T NC sin 45◦ = sin ∠T NC
sin ∠DM S.
Trang 4Để ý ta có ∠AP B = ∠MDT = ∠NCS = 45◦ suy ra tứ giác M T P D và N SP C nội tiếp Suy ra ∠DM S = ∠ST P ; ∠T NC = ∠T SP , từ đó ta có
sin ∠T NC sin ∠DM S =
sin ∠T SP sin ∠ST P =
P T
P S =
P B
P A =
BT AS Vậy suy ra IJ ⊥ CD (đpcm)
Bài toán 4 (Nguyễn Đăng Khoa) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) Lấy P trên cung nhỏ CD P A cắt BD tại M , P B cắt AC tại N Đường thẳng M N lần lượt cắt BC, AD tại K, L
a) Chứng minh rằng P O là trục đẳng phương của hai đường tròn (P M L) và (P N K) b) Chứng minh trục đẳng phương của (P LN ) và (P M K) luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển trên cung nhỏ CD
S H Q
L
K N
M D
B A
O
C P
Chứng minh a) Gọi S là giao điểm khác O của P O với đường tròn (M ON )
Ta có ∠OSM = ∠ON M = ∠P LM nên tứ giác P LMS nội tiếp hay (P LM ) đi qua S Tương tự thì đường tròn (P N K) cũng đi qua S nên P O là trục đẳng phương của đường tròn (P LM ) và (P N K)
b) Trước hết ta phát biểu và chứng minh một bổ đề
Bổ đề Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có ∠BAC = 45◦ BO cắt AC tại
D, CO cắt AB tại E Lấy H là hình chiếu của O lên đường đối trung của đỉnh A trong tam giác ABC Khi đó D, E, O, H đồng viên
Trang 5Chứng minh Theo tích chất quen thuộc thì ta có ∠BHC = 2∠BAC = 90◦ = ∠BOC nên
tứ giác BHOC nội tiếp, suy ra ∠HBD = ∠HCE
H
P
D E
B
O
C A
Mặt khác ta có BHHC = ABAC22 = BDCE nên suy ra 4HDB ∼ 4HEC và từ đó rút ra được tứ giác EHOD nội tiếp
Ngoài ra với cấu hình này ta có tính chất quen thuộc là ∠HAB = ∠HCA; ∠HAC =
∠HBA
Ta quay lại bài toán ban đầu
Dựng hình vuông AOBQ và lấy H là hình chiếu của O lên P Q
Theo bổ đề thì ta có H nằm trên đường tròn (M ON )
Ta có∠HM N = ∠HOA = ∠HAL nên tứ giác HALM nội tiếp, suy ra ∠HLM = ∠HAM =
∠HP N
Từ đó ta có đường tròn (P LN ) đi qua H, tương tự thì đường tròn (P M K) đi qua H nên ta
có trục đẳng phương của hai đường tròn này đi qua điểm Q cố định (đpcm)
Bài toán 5 (Nguyễn Đăng Khoa) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) Lấy P trên cung nhỏ CD P A cắt BD tại M , P B cắt AC tại N Đường thẳng M N lần lượt cắt BC, AD tại K, L Tiếp tuyến tại P của (O) lần lượt cắt BC, AD tại R, Q P L, P K lần lượt cắt CD tại E, F
a) Chứng minh rằng N, Q, E thẳng hàng; M, F, R thẳng hàng
b) Gọi I là giao điểm của M F và N E Chứng minh IE = IF
Chứng minh a) Giả sử P L vuông góc với BD tại H và lấy X là giao điểm của P C và BD
Ta áp dụng định lý Pascal cho bộ điểm P C D
A B P
thì ta có X, Q, N thẳng hàng
Trang 6Ta lại có HE
HP =
HL
HP =
ON
OA =
ON
OC, kết hợp OC k P H thì suy ra X, E, N thẳng hàng. Vậy ta có Q, E, N thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có M, R, F thẳng hàng
Y
I H
X
R Q
L
K N
M
D
B A
O
C P
b) Tiếp tục áp dụng định lý Pascal cho bộ P B C
D A P
thì ta có QR, KL, CD đồng quy tại
Y
Từ đây ta có DQDE = DQDL = CKCR = CRCF nên 4DEQ ∼ 4CF R, suy ra ∠IEF = ∠DEQ =
∠CF R = ∠IF E hay IE = IF
Vậy ta kết thúc phép chứng minh
Bài toán 6 (Trần Quang Hùng, Sharygin 2017) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng P A, P B lần lượt cắt BD, AC tại K, L Lấy M, N lần lượt là hình chiếu của K, L lên CD Q là giao điểm của KN và M L Chứng minh rằng P Q chia đôi đoạn AB
Chứng minh Lấy E, F lần lượt là giao điểm của P A, P B với CD
Ta có ∠KP F = ∠KDF = 45◦ nên tứ giác DKF P nội tiếp nhận M làm tâm
Tương tự N là tâm của tứ giác nội tiếp P ELC
Đến đây chúng ta có hai hướng xử lý
Cách 1 (Nguyễn Đăng Khoa) Chúng ta sẽ chứng minh A, Q, F và B, Q, E thẳng hàng để kết hợp EF k AB thì ta có đpcm
Ta xét tam giác KEN thì để A, Q, N thẳng hàng thì ta cần có AKAE · F E
F N · QNQK = 1
Trang 7E F
T
Q
N M
L
K
D
B A
O
C
P
Thật vậy ta có
AK
AE · F E
F N · QN
QK =
BK
BD · EF
F N · LN
KM =
BK
BD · EF
F N · LC
KD =
LC
BD · KB
KD · EF
F N
= LC
BD · AB
DE · EF
F N
= EF
DE · N L
F N.
Ta có KD = KF nên DEEF = P DP F = F NLN
Vậy suy ra ba điểm A, Q, F thẳng hàng hay ta có đpcm
Cách 2 (Trần Quang Hùng)
Z
Y
N
L
M K
P
Trang 8Qua Q kẻ đường thẳng song song với M N cắt P K, P L tại X, Y Gọi Z là hình chiếu của Q lên EF
Ta có QXN E = KNKQ = M QM L = QZLN, mà N E = N L nên QX = QZ
Tương tự ta có QY = QZ nên suy ra QX = QY và từ đó ta có P Q chia đôi đoạn AB Nhận xét Cách kẻ thêm của thầy Hùng hơi mất tự nhiên ở điểm Z tuy nhiên cách này rất đẹp mà lại gọn gàng, cho ta thêm một tính chất đẹp
Bài toán 7 (Tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Sư Phạm) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) Điểm M thuộc cung nhỏ CD, khác C, D M A cắt DB, DC lần lượt tại X, Z M B cắt AC, CD lần lượt tại Y, T CX cắt DY tại K
a) Chứng minh rằng ∠MXT = ∠T XC, ∠MY Z = ∠ZY D và ∠CKD = 135◦
b) Chứng minh rằng M XKX +M YKY +CDZT = 1
c) Gọi I là giao điểm của M K với CD Chứng minh rằng XT, Y Z và OI cùng đi qua tâm ngoại tiếp tam giác KZT
H I
K
Y X
D
B A
O
C M
Chứng minh a) Bạn đọc tự chứng minh
b) Ta có biến đổi
XK
XM = XZXC = XZXA = DZBA = DZDC; tương tự thì Y MY K = CDCT
Nên từ đó suy ra M XKX + M YKY + CDZT = 1
c) Ta gọi H là giao điểm XT và Y Z
Ta đã có hai tam giác XT D vuông cân tại X và Y ZC vông cân tại Y nên suy ra tam giác HZT vuông cân tại H
Ta thấy ∠XCD = ∠XAD = ∠MCD, ∠Y DC = ∠MDC nên K đối xứng với M qua CD Suy ra ∠ZKT = ∠ZMT = 45◦, từ đó ta có H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT
Trang 9Ta đi chứng minh OI đi qua H.
Do tam giác OCD cân tại O nên
sin ∠DOI
sin ∠COI =
DI
IC =
DM
M C · sin ∠IMD sin ∠IMC =
sin ∠DBM sin ∠MAC ·
cos ∠IDM cos ∠ICM =
tan ∠DBM tan ∠MAC =
OY
OX. Kết hợp với tứ giác OXHY là hình chữ nhật nên suy ra OI đi qua H (đpcm)
Bài toán 8 (Nguyễn Đăng Khoa) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) Điểm P thuộc cung nhỏ CD, khác C, D P A cắt DB, DC lần lượt tại X, Z P B cắt AC, CD lần lượt tại Y, T Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của X, Y lên CD
a) Gọi Q là giao điểm của KM, N L Chứng minh P Q k CD
b) Gọi I là giao điểm của KN và M L Chứng minh P I ⊥ CD
S R
Q H
I
L
K
Y X
D
B A
O
C
P
Chứng minh a) Ta định nghĩa lại điểm Q là hình chiếu của P lên trung trực CD Ta đi chứng minh KM, N L cùng đi qua Q
Gọi R là giao điểm của OQ với XY , S là giao điểm của P L với CD Lấy H là hình chiếu của P lên CD
Trang 10Ta có hai tam giác CP H và BOY đồng dạng nên OYOB = P HHC hay OYY C = HSSC từ đó ta có OR
LC = P HLC nên P H = OR
Gọi Q0 là hình chiếu của Q lên CD thì rõ ràng QQ0 = P H = OR, suy ra QQKD0 = KDOR = DXXO = DM
M Q 0, từ đây suy ra K, M, Q thẳng hàng
Hoàn toàn tương tự thì Q, N, L thẳng hàng
b) Chú ý rằng ∠KP L = 90◦ nên để P I ⊥ CD thì tương đương với P I là phân giác của
∠KP L Từ đây ta có ý tưởng dùng định lý Ceva sin trong tam giác P KL
Ta đi chứng minh sin ∠N KPsin ∠N KL · sin ∠M LP
sin ∠M LK = 1
Ta thấy N P = N Y nên sin ∠N KL
sin ∠N KP = sin ∠KY N
sin ∠KP N, M X = M P nên sin ∠M LP
sin ∠M LK = sin ∠M P L
sin ∠M XY
Ta có ∠MXY + ∠NY X = 180◦ và ∠MP L + ∠KP N = ∠KP L + ∠MP N = 180◦
Từ đó dễ dàng suy ra ngay sin ∠N KL
sin ∠N KP · sin ∠M LP
sin ∠M LK = 1
Vậy ta hoàn tất phép chứng minh
Bài toán 9 (Trần Quang Hùng)Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) Điểm
P thuộc cung nhỏ CD, khác C, D P A cắt DB, DC lần lượt tại X, Z P B cắt AC, CD lần lượt tại Y, T Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của X, Y lên CD M Y cắt XP tại E, XN cắt
P Y tại F Giả sử EF cắt XY tại Q Chứng minh P Q k CD
T
I
Q
L K
Y X
D
B A
O
C
P
Chứng minh Ta lấy I là giao điểm của XF và EY Theo tính chất quen thuộc thì ta có
P (QI, XY ) = −1
Kết hợp theo bài toán số 6 thì P I chia đôi AB, từ đó suy ra P Q k AB hay ta có đpcm
Trang 11Một số bài toán khác
Bài 1 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) Điểm P thuộc cung nhỏ CD, khác
C, D P A cắt DB, DC lần lượt tại X, Z P B cắt AC, CD lần lượt tại Y, T Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của X, Y lên CD M Y cắt XP tại E, XN cắt P Y tại F XY lần lượt cắt
AD, BC tại K, L Chứng minh rằng KE, F L và P O đồng quy trên CD
Bài 2 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) Điểm P thuộc cung nhỏ CD, khác
C, D P A cắt DB lần lượt tại X, P B cắt AC lần lượt tại Y Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của X, Y lên CD M Y cắt BC tại R, N X cắt AD tại S Chứng minh O, R, S thẳng hàng
và RS k XY
Bài 3 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) Điểm P thuộc cung nhỏ CD, khác
C, D P A cắt DB lần lượt tại X, P B cắt AC lần lượt tại Y XY lần lượt cắt AD, BC tại
K, L P K, P L lần lượt cắt CD tại E, F
a) Chứng minh rằng P O là trục đẳng phương của (P DE) và (P F C)
b) Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DP F và CP E Chứng minh
O1 nằm trên P A, O2 nằm trên P B và P O chia đôi đoạn O1O2
c) Hai đường tròn (O1), (O2) cắt nhau tại Q khác P Chứng minh rằng ∠OQP = 90◦ Bài 4 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) Điểm P thuộc cung nhỏ CD, khác
C, D P A cắt DB lần lượt tại X, P B cắt AC lần lượt tại Y XY lần lượt cắt AD, BC tại
K, L P K, P L lần lượt cắt CD tại E, F Chứng minh rằng (P EX), (P F Y ) và đường tròn (OXY ) có một điểm chung
Bài 5 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) Điểm P thuộc cung nhỏ CD, khác
C, D P A cắt DB lần lượt tại X, P B cắt AC lần lượt tại Y XY lần lượt cắt AD, BC tại
K, L P K, P L lần lượt cắt CD tại E, F XF cắt Y E tại Q Chứng minh rằng XE k Y F và
P Q ⊥ CD
Lời kết. Qua bài viết này, tác giả đã giới thiệu một số bài toán hay tính chất xoay quanh mô hình hình vuông Còn rất nhiều tính chất, kết quả khác mà còn chưa được khai thác Chúc bạn đọc sẽ tìm tòi thêm và phát triển được nhiều tính chất hơn nữa
Email khoanguyen17112003@gmail.com
Blog http://khoanguyenmathematics.blogspot.com/