Đề Toán Chuyên Tuyển Sinh Trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2014-2015

a) Tìm msao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Chưng minh rằng khi đó tổng của hai nghiệm không thể là số nguyên. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB; I và J lần lượt [r]

Đề Toán chuyên tuyển sinh trường Phổ Thông Năng khiếu – Đại Học

Quốc Gia TP.HCM Năm 2014 – 2015

Bài 1 Cho phương trình  2  2  

m  x  mx  m  với m là tham số

a) Tìm msao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Chưng minh rằng khi đó tổng của hai nghiệm không thể là số nguyên

b) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn điều kiện

 x x1 2  x1 x24  16

Bài 2

1) Giải hệ phương trình  

2

2







2) Cho tam giác ABC vuông tại A với các đường phân giác trong BM và CN Chứng

.

MA NA

 

Bài 3 Cho các số nguyên dương a b c , , thỏa 1 1 1

a) Chứng minh rằng a  b không thể là số nguyên tố

b) Chứng minh rằng nếu c  1 thì ac và b  c không thể đồng thời là số nguyên

tố

Bài 4 Cho điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đường kính AB  2 R C   A C ,  B  Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB; I và J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ACH và BCH Các đường thẳng CI, CJ cắt AB tại M, N

a) Chứng minh AN  AC BM ,  BC

b) Chứng minh 4 điểm M, N, I, J cùng nằm trên một đường tròn và các đường thẳng

MJ, NI và CH đồng quy

c) Tìm giá trị lớn nhất của MN và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác CMN theo

R

Bài 5 Cho 5 số tự nhiên phân biệt sao cho tổng của bất kì ba số trong chúng lớn hơn tổng

của hai số còn lại

a) Chứng minh rằng tất cả 5 số đã cho đều không nhỏ hơn 5

b) Tìm tất cả các bộ gồm 5 số thỏa mãn đề bài mà tổng của chúng nhỏ hơn 40

Hướng dẫn giải

Bài 1

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

2

2

m





2

Khi đó ta có: 1 2 22

5

m

m



2

2

5

m

m



Nên tổng hai nghiệm không thể là một số nguyên

b) Phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 m0, khi đó 1 2 22

0 5

m

m

và 1 2

2

6

5

m

x x

m





1 2 1 2

1 2 1 2

2 16

2





Trường hợp 1: x x1 2 x1 x2  2

Trường hợp 2: 1 2 1 2 26 22



0

2

1

3

t

t

 





 



2

2

m m











(thỏa điều kiện)

Vậy giá trị m cần tìm là 5

2;

2

Bài 2

a) Giải hệ phương trình

2

2







Điều kiện: x0,y0

Đặt a  x y b ,  y x a   0, b  0 

Ta có hệ phương trình :

 

2

2



  0

0

x

y







 



Với x  0 thay vào phương trình ta có : 2 1 0  2 0 (vô lí nên loại)

Với y 0 thay vào phương trình ta có: 2 1 0  2 0(vô lí nên loại)

Với x  y, đặt t  x x ta có phương trình:  2 2

2

2

t

t







 



+t  2 x y  3 4

t   x  y 

Vậy phương trình có hai nghiệm  x y ;  là 3 3  3 1 3 1

b)

 

.





Bài 3

a) 1 1 1

Giả sử a  b là số nguyên tố   a a ,  b    a b ,   1

Ta có:  a  b c   ab   a  b  | ab  a  b b | (vô lí vì 0 b   a  b)

b) Giả sử a  c và b  c đồng thời là số nguyên tố

Ta có:  a  b c   ab  ac  ab  2 ab bc   a b   c   b  2 a  c 

 a  b c   ab  bc  ba  2 ab  ac  b a   c   a  2 b  c 

Ta có: 0    b b c mà b  c là số nguyên tố   b b ,  c    1 b a |

0  a  a  c mà a  c là số nguyên tố   a a ,  c    1 a b |

Do đó a   b 2 c  a     c b c 3 c không là số nguyên tố (vì c  1) (mâu thuẫn)

Bài 4

a) Ta có:   ANC  CHN  900 và   ACN  NCB  900

Mà CHN    NCB (phân giác) nên  ANC   ACN   ANC cân tại A  AC  AN

Tương tự ta cũng chứng minh được BM = BC

b) Vì tam giác CAN cân tại A nên đường phân giác AI cung là đường trung trực Gọi

K là giao điểm của AI với CN, khi đó K là trung điểm của CN

Tương tự gọi L là giao điểm của BJ và CM thì L là trung điểm của CM

Do đó ta có KL là đường trung ình của tam giác CMN  CKL   CNM 

Tứ giác KLIJ nội tiếp đương tròn đương kính IJ  CKL   CIJ 

45 2

45 2

Tương tự ta cũng có MJ là đường cao tam giác CMN

Vậy CH, MJ, NI là ba đường cao trong tam giác CMN nên đồng qui

c) MN  AN  BM  AB  AC  BC  AB

Mà AC2 BC2  AB2 4R2

Dấu “=” xảy ra  H  O  C là điểm chính giữa cung AB

1

CMN



Dấu “=” xảy ra  H  O  C là điểm chính giữa cung AB

Vậy giá trị lớn nhất của MN là 2 21 R khi C là điểm chính giữa cung AB

Giá trị lớn nhất của S CMN là   2

2 1 R khi C là điểm chính giữa cung AB

Bài 5 Gọi 5 số đã cho là a b c d e , , , , và giả sử a    b c d  e

Ta có: a    b c d   e a    b c d    e 1 a  d     e 1 b c

Do tính chất của số tự nhiên

Ta có d    c b d    b 2 d   b 2

Ta có e  d        c e c 2 e c 2

Do đó a   d  b    e  c    1 5

Do đó e  d    c b a  5

b)Nếu a    6 b 7, c  8, d  9, e  10     a b c d  40 (mẫu thuẫn)

Do đó a  5, ta có b    c 5 d      e 1 b c d   e 4

Mặc khác ta cũng có : e c 2,d    b 2 e d     c b 4 e d   4 b c

Do đó b  c e d    4 e c 2,d  b 2

2

a    b c d          e b c b c    b c

6

7

b

b







Nếu b   6 d      8 c 7 e 9 Ta có bộ  5;6;7;8;9 

Nếu b   7 d      9 c 8 e 11 Ta có bộ  5;7;8;9;11 