Mấu chốt trong các bài toán kiểu này là ta cần dựng một tam giác vuông mà hệ thức về đường cao của nó tương ứng với đề bài.... Tính các tỉ số lượng giác của góc 15..[r]
Trang 1HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG VÀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC
GÓC NHỌN (Nâng cao cho lớp 9)
A Các bai toán ví dụ.
Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Tính BC, CA, AH biết
15 , 16
AB cm HC cm
Giải.
Ta có : AB2 BH BC BH HC BH 152 BH16BH
Vậy ta có : BC BH CH 9 16 25
CA CH BC
AH BH CH
Bài 2 Cho hình thoi ABCD với góc A 1200 Tia Ax tạo với AB một góc 15 và cắt0
cạnh BC tại điểm M, cắt đường thẳng CD tại điểm N
Chứng minh
3
AM AN AB
Giải
Mấu chốt trong các bài toán kiểu này là ta cần dựng một tam giác vuông mà hệ thức về đường cao của nó tương ứng với đề bài
Trang 2Từ yêu cầu chứng minh
3
AM AN AB
3 2
là một hệ thức liên quan tới đường cao trong tam giác vuông
Trong bài này ta cần dựng một hình vuông có hai cạnh góc vuông có độ dài là AM,
AN và có độ dài đường cao là
3 2
AB
Ta dựng tia Ay vuông góc với Ax, tia Ay cắt cạnh CD tại E.
Khi đó ta có DAE 1200 150900 150
BAM DAE g c g AM AE
VẬy ta có tam giác EAN vuông tại A, hai cạnh góc vuông AN, AE và đường cao
3
2
AB
AH
(vì AH là đường cao tam giác đều ACD độ dài cạnh là AB)
Trang 3Xét tam giác vuông EAN ta có:
3 3
2
AN AE AB AN AM AB
Bài 3 Tính các tỉ số lượng giác của góc 15 0
Giải Xét tam giác ABC vuông tại A với ABC 150 Gọi d là đường trung trực của
BC, d cắt AB tại D.
Vì d là trung trực của BC nên ta có DC = DB BDC cân tại D
Đặt
2
a
AC a DC a AD a
(do tam giác ADC là tam giác nửa đều)
Ta có: AB AD DB AD DC a 3 2 a a 3 2
BC AB AC a a a a
Từ đó ta tính được các tỉ số lượng giác của góc BAC 150
Trang 4sin15 sin
4
BAC
BC a
cos15 cos
4
6 2
a AB BAC
BC a
0
3 2
BAC
AB a
Bài 4 Cho tam giác ABC cân tại A có BAC 360 Trên tia đối của tia CB lấy điểm
D sao cho CD = AC Kẻ AH vuông góc BC tại H Đặt AB x BC , 2y
c) Tính các tỉ số lượng giác của góc 180 và 360
Giải.
Tam giác ABC cân tại A có BAC 360 ABC ACB 720
Ta có
2
Trang 5Do đó BAD 720, ta suy tam giác ABC đồng dạng tam giác DAB.
Khi đó :
AB DB
AB BC DB
BC AB hay x2 2y x 2y
b) theo câu a) x2 2y x 2y x2 2xy y 2 5y2
(vì trong tam giác ABC thì x2y)
Ta có: AH2 AB2 BH2 x2 y2 1 52 1 y2 5 2 5 y2
5 2 5
c)Các tỉ số lượng giác của góc 18 0
Xét tam giác vuông ABH ta có:
sin18 sin
4
BH y BAH
AB x
cos18 cos
4
AH BAH
AB
t an18 tan
5 2 5
BH BAH
AH
0
cot18 5 2 5
Các tỉ số lượng giác của góc 36 tính tương tự đối với góc 0 ADH trong tam giác
vuông ADH
B Bài tập
Bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông
Trang 6Bài 1 Cho tam giác nhọn ABC, BD và CE là hai đường cao Các điểm M, N trên
các đường thẳng CE, BD sao cho AMB ANC 900 Chứng minh tam giác AMN
cân
Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Lấy điểm D trên cạnh AC và
điểm E trên tia đối của tia HA sao cho
1 3
AD HE
AC HA Từ D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AH tại F Chứng minh
Bài 3 Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK Chứng minh
4
BK BC AH
Bài 4 Cho hình vuông ABCD, một điểm E bất kỳ trên cạnh AB Gọi F là giao điểm
AD DE DF
Bài 5 Vẽ đoạn thẳng AB4cm Tại C là điểm di động sao cho BC 3cm Vẽ
tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao Xác định vị trí điểm C để
AM AN đạt giá trị lớn nhất.
Bài 6
Cho hình thoi ABCD với góc A 1200 Tia Ax tạo với AB một góc 15 và cắt0
cạnh BC tại điểm M, cắt cạnh CD tại điểm N Chứng minh 2 2 2
3
AM AN AB
Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao Đặt BH x HC, y
x y
xy
Bài 8 Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với a 0 và một điểm A di động sao cho
90 0
của tam giác ABH và tam giác ACH
Trang 7a) Chứng minh BC2 3AH2BE2CF2
d) Chứng minh AH3 BC BE CF. . BC HE HF. .
e) Tìm vị trí A để diện tích tam giác AEF đạt giá trị lớn nhất.
Bài 9 Cho tam giác ABC có trực tâm H.
b) Gọi S là diện tích tam giác ABC Chứng minh
Bài 10 Cho tam giác ABC vuông tại A có các đường trung tuyến AM và CN
vuông góc với nhau Biết AB x x 0 Tính AC và BC theo x.
Bài 11 Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a a 0 và một điểm A thay đổi sao cho
BAC Gọi BM, CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Bài tập tỉ số lượng giác góc nhọn
Bài 12 Tính các tổng sau (không dùng máy tính)
a) sin 102 0 sin 202 0 sin 70 2 0 sin 802 0
b) cos 122 0 cos 782 0 cos 1 2 0 cos 892 0
Bài 13 Hãy đơn giản các biểu thức sau với 00 900
a) sin6 cos6 3sin2.cos2
b) sin4 cos4 sin cos sin cos
c) cos2 tan2.cos2
Bài 14 Chứng minh rằng các hệ thức sau không phụ thuộc và góc nhọn
a) Asin cos2 sin cos2
b) B2 sin 6 cos6 3 cos 4 sin4
Trang 8
Bài 15 Cho tam giác DEF có DE9cm DF, 15cm EF, 12cm Tính sin EDF ,
tan EDF
Bài 16 Cho tam giác ABC vuông tại A, BC a , đường cao AH Chứng minh
rằng AH a.sin cosB B, BH a cos2B, CH a sin2B
Bài 17 Cho tam giác ABC vuông tại A,
3
21 ,cos
5
AC cm C
b) Gọi M là trung điểm BC Kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại M, cắt AB, CA lần lượt tại E, F Tính CF, MF.
c) Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D Tính BD và DC.
Bài 18 Cho tam giác ABC vuông tại A Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF vuông
với BC
b) Biết
3
20 ,sin
5
BC cm C
Tính diện tích tứ giác ABFE.
Bài 19 Cho hình bình hành ABCD có AC là đường chéo lớn Kẻ CH vuông góc
với AD tại H và CK vuông góc với AB tại K
a) CHứng minh tam giác CKH và BCA đồng dạng
c) Tính S AKCH biết ABC120 ,0 AB8cm AD, 10cm
Bài 20 Cho tam giác ABC nhọn, kẻ ba đường cao AD, BE, CF Chứng minh
a) Hai tam giác AEF và ABC đồng dạng.
b) AF BD CE AB BC CA cos cos cosA B C
c) Giả sử A60 ,0 S ABC 144cm2 Tính S AEF
Bài 21 Cho tam giác ABC Chứng minh
a) Khi BAC 600 thì BC2 AB2AC2 AB AC.
Trang 9b) Khi BAC 1200 thì BC2 AB2AC2AB AC.
Bài 22 Cho tam giác đều ABC cạnh a Trên cạnh BC lấy một điểm D sao cho BD
= 2CD Đường trung trực của đoạn AD cắt AB, AC lần lượt tại E, F Tính các cạnh của tam giác AEF.
Bài 23 Cho tam giác ABC cân tại A có BAC 1080 Kẻ đường cao AH, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho ACD 720 Đặt AB = AC = x, BC = 2y.
a) Chứng minh AD = CD = 2y.
b) Chứng minh 4y2 x x 2y , tính x và AH theo y.
c) Tính các tỉ số lượng giác của các góc 36 ,540 0