Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2019-2020!

Qua thực tiễn, nhiều học sinh lớp 11 Trường THPT còn lúng túng khi giải bài toán Phương trình lượng giác chứa tham số. Nhiều em giải bài toán nào thì biết bài toán đó, chưa có kĩ năng [r]

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 11-THPT

THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CHỨA THAM SỐ”

- -

Lĩnh vực / Môn: Chuyên môn Toán Cấp học: THPT

Tên tác giả: Nguyễn Bình Long Đơn vị công tác: Trường THPT Lưu Hoàng Chức vụ: Phó hiệu trưởng

NĂM HỌC 2019 – 2020

MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

PHẦN II: NỘI DUNG

CHƯƠNG I TÓM TẮT CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ BÀI

TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ

CHƯƠNG III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang 1

Trang 2

Trang 2

Trang 3 Trang 12

Trang 13

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài

Qua thực tiễn, nhiều học sinh lớp 11 Trường THPT còn lúng túng khi giải

bài toán Phương trình lượng giác chứa tham số Nhiều em giải bài toán nào thì

biết bài toán đó, chưa có kĩ năng vận dụng, chưa định hướng được phương pháp

chung… Vì vậy khi làm bài tập trắc nghiệm khách quan mất nhiều thời gian do

đó kết quả kiểm tra và thi không cao

Để giúp học sinh lớp 11 khắc sâu các kiến thức về Phương trình lượng

giác nói chung và có kỹ năng giải Phương trình lượng giác chứa tham số Tôi

viết sáng kiến kinh nghiệm “Rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11-THPT thông

qua các bài toán Phương trình lượng giác chứa tham số”

II Mục đích; đối tượng; phạm vi nhiên cứu và thời gian thực hiện đề tài

1) Mục đích nghiên cứu:

Rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 THPT thông qua các bài toán

Phương trình lượng giác chứa tham số bằng câu hỏi trắc nghiệm

2) Đối tượng nghiên cứu:

Trên cơ sở lí luận của năng lực giải toán, áp dụng vào dạy học giải các bài

toán Phương trình lượng giác chứa tham số cho học sinh lớp 11 THPT Từ đó

phân loại và phát triển hệ thống bài tập về Phương trình lượng giác chứa tham số

cho học sinh lớp 11, đặc biệt là học sinh khá, giỏi

3) Phạm vi nghiên cứu:

Quá trình tổ chức dạy học Rèn luyện kỹ năng giải Phương trình lượng

giác chứa tham số cho học sinh lớp 11 THPT bằng bài tập mẫu sau đó là bài tập

tự luyện dạng câu hỏi trắc nghiệm

4) Thời gian thực hiện:

Sáng kiến kinh nghiệm được thực hiện trong năm học 2019 – 2020 Đề tài

đã được đăng kí với tổ và đã được tổ duyệt, thông qua kế hoạch thực hiện đề tài

Trong quá trình thực hiện đề tài đã được tổ dự giờ và khẳng định đề tài có chất

lượng, đã được đồng nghiệp áp dụng trong giảng dạy

III Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nhiệm vụ nghiên cứu của SKKN bao gồm:

+ Đưa ra các dạng toán và phương pháp giải Phương trình lượng giác chứa tham

số bằng sơ đồ tư duy

+ Đưa ra một số dạng toán có định hướng về cơ sở lý thuyết và bài toán mẫu về

Phương trình lượng giác chứa tham số

+ Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua các bài tập tự luyện

IV Dự kiến cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm:

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, SKKN gồm

3 chương

Chương I Tóm tắt các dạng toán về phương trình lượng giác chứa tham số

Chương II Một số các dạng toán về phương trình lượng giác chứa tham số

Chương III Kết luận và khuyến nghị

======================

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: TÓM TẮT CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN

VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CHỨA THAM SỐ DẠNG I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CHỨA THAM SỐ

*Cơ sở lý thuyết:

1) Phương trình sinf(x) = g(m) có nghiệm x  R  -1  g(m)  1

2) Phương trình cosf(x) = g(m) có nghiệm x  R  -1  g(m)  1

3) Phương trình sin2f(x) = g(m) có nghiệm x  R  0  g(m)  1

4) Phương trình cos2f(x) = g(m) có nghiệm x  R  0  g(m)  1

5) Phương trình tanf(x) = g(m) có nghiệm x  R  g(m)  R

6) Phương trình cotf(x) = g(m) có nghiệm x  R  g(m)  R

Ghi chú:

- Nếu yêu cầu của các phương trình có nghiệm x  D  R thì ta phải tìm

miền giá trị Y của các hàm số vế trái của phương trình trên tập D Khi đó

phương trình có nghiệm trên D  g(m)  Y

- Nếu yêu cầu của các phương trình có n nghiệm x  D thì ta phải biểu

diễn f(x) trên đường tròn lượng giác, sau đó dựa vào vị trí tương đối của đồ thị

VT và đường thẳng y = g(m)

Câu 1: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình sin 2 5

3

nghiệm?

A 1 B 3 C 2 D 4

Bài giải:

Phương trình có nghiệm         1 m 5 1 4 m 6 mZ m  {4; 5; 6}

Chọn B

Câu 2: Cho phương trình 4 sin cos 2 3 sin 2 cos 2

   

       

   

là tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm Tính ab.

A a  b 2. B 1.

2

a  b C a b 0. D a b 4.

Bài giải:

Ta có sin cos 1 sin 2 sin

     

          

1 sin 2 cos sin cos 2 1 1 3sin 2 1cos 2 1

Phương trình tương đương với: 3 sin 2x cos 2x  2 m2  3 sin 2x cos 2x

cos 2

2

m

2

m



          

2

a

b

  



            Chọn C

Câu 3: Gọi S là tập hợp gồm tất cả các số nguyên m để phương trình

sin 2 5

3

  có nghiệm thuộc khoảng ;3

6 4

 

  Tính tổng các phần tử của S?

Bài giải:

Ta có x  ;3

6 4

 

   2

3

x 

  0;7

6



   sin 2 1;1

x 

Phương trình có nghiệm 1 5 1 11 4

         mZ m  {-5; -4}

Chọn D

Bài tập tự luyện Câu 4: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2

(m 1) cosx 2m  2m 0 có nghiệm?

A 1 B 3. C 2 D 0

Câu 5: Phương trình mtanx  3  0 có nghiệm khi:

A m  . B 1 3 1.

m

   C m 0. D 1 3 1.

m

  

Câu 6: Với tất cả giá trị nào của m  [a; b]  {c} để phương trình sinx – m = 0

có đúng một nghiệm thuộc [0; 3/2] Khi đó a + b + c bằng:

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2

3cos x 2m 7  0 có nghiệm?

A 2. B 4. C 3. D 5.

Câu 8: Phương trình tanx cotxm có nghiệm khi và chỉ khi?

A m   2; 2  B m     ; 1 1; .

C m    ; 2  2; . D m   1;1 

DẠNG II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS CHỨA

THAM SỐ

*Cơ sở lý thuyết:

Phương trình asinf(x) + bcosf(x) = c có nghiệm  a2 + b2  c2

Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình

 

sin 2x m 7 cos 2xm 1 có nghiệm?

A 4 B Vô số C 3. D 2

Bài giải:

Để phương trình sin 2xm 7 cos 2 xm 1 có nghiệm  a2 + b2  c2  1

+ (m – 7)2  (m + 1)2  m  49/16 mN* m  {1; 2; 3}

Chọn C

Câu 2: Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình

2 sin cos 1

sin 2 cos 3

a



A 3. B 5. C 2. D 6.

Bài giải:

Ta có: sinx 2 cosx  3 0 với mọi x

Phương trình 2 sin cos 1 ( 2) sin (2 1) cos 1 3

sin 2 cos 3

Phương trình đã cho có nghiệm  (*) có nghiệm  a2 + b2  c2  (a –

2)2 + (2a + 1)2  (1 – 3a)2  -1/2  m  2 mZ m  {0; 1; 2} Chọn A

Câu 3: Cho phương trình msin 2x 2 sin cosx x 3 cosm 2x 1. Tìm tất cả các giá trị

của tham số thực m để phương trình có nghiệm

A 0;4 .

3

m  

  

 

  B \ 0;4 .

3

m  

  

 

 

 

 C 0;4 .

3

m  

 



 

  D 0;4 .

3

m  



 

Bài giải:

Phương trình .1 cos 2 sin 2 3 1 cos 2 1 sin 2 cos 2 1 2

3

           Chọn C

Bài tập tự luyện Câu 4: Cho phương trình sin  1 cos

cos

m

x

   Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 10 để phương trình có nghiệm là:

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc tập E     3; 2; 1;0;1;2  để

2msin cosx x 4 cos xm 5 có nghiệm?

A 2. B 3. C 4. D 5.

Câu 6: Gọi a, b là giá trị nguyên lớn nhất và nhỏ nhất của m để:

2 cos x 5sin cosx x 6 sin xm  1 0 có nghiệm Tính giá trị của T  a b.

A  3. B 6. C 9. D  5.

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tanxmcotx 8

có nghiệm

A m 16. B m 16. C m 16. D m 16.

DẠNG III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ GIẢI

BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

*Cơ sở lý thuyết:

Từ phương trình lượng giác đã cho đưa về phương trình tích, sau đó

chuyển tiếp về phương trình dạng 1 hoặc dạng 2 ở trên Phương pháp này

thường làm đối với bài toán PTLG chứa tham số có số n nghiệm trên tập D

(Dạng V)

Câu 1: Cho phương trình cos 2x  2m 1 cos  x  m 1 0. Tìm tất cả các giá trị thực

của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ;3

2 2

 

 

 

 

 

A    1 m 1 B   1 m 0 C   1 m 0 D   1 m 0

Bài giải: Phương trình 2  

1 cos

2 cos 2 1 cos 0 2

cos

x

x m



 









Nhận thấy phương trình cos 1

2

x  không có nghiệm trên khoảng ;3

2 2

 

 

 

 

  (Hình vẽ)

Do đó yêu cầu bài toán cos xm có nghiệm thuộc khoảng ;3 1 0

 

 

    

 

Chọn C

Bài tập tự luyện Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2sinx 1 sin x m  0 có

nghiệm trên khi:

A m  . B m 0;1  C m . D m 0;1 

Câu 3: Biết tập tất cả các giá trị của m để phương trình

 

cos 2x 2m 1 cosx m   1 0 có nghiệm trên khoảng ;3

2 2

 

  là tập Sa b;  Tính tổng T a b

A T  1. B T 0. C T 1. D T 2.

Câu 4: Gọi Sa b;  là tập các giá trị của m để phương trình

   

sin 2  x  sin 3x msinx có nghiệm xk với k   Tính giá trị của

.

T ab

A 5.

4

T   B T 5. C 1.

4

T   D 25.

4

T  

DẠNG IV PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ GIẢI

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

*Cơ sở lý thuyết:

1) Các bài toán cơ bản (Lớp 10 đã dạy khi áp dụng hàm số bậc 2):

Bài toán 1 Phương trình m = f(x) có nghiệm x  D  m thuộc miền giá trị của

f(x) trên D

Bài toán 2 Phương trình m = f(x) có n nghiệm x  D  Đường thẳng y = m cắt

ĐTHS y = f(x) trên D tại n điểm Khi đó ta cần khảo sát hàm số y = f(x) trên D

2) Đối với dạng toán này thường làm bằng phương pháp đổi biến theo các

bước như sau:

+) Đưa phương trình đã cho về 1 hàm số lượng giác u(x)

+) Đặt t = u(x), với x  D tìm điều kiện của t  K

+) Đưa phương trình đã cho về dạng: g(m) = f(t), t  K (*)

+) Khảo sát hàm số f(t), t  K

+) Để phương trình đã cho có nghiệm x  D  (*) có nghiệm t  K Từ BBT

suy ra m Kết luận

Câu 1: Cho phương trình sin 6 cos 6 3 sin cos 2 0.

4

m

x x x x   Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm?

A 7. B 9. C 13. D 15.

Bài giải: Ta có 6 6  2 2 3 2 2  2 2 

sin x cos x sin x cos x  3 sin xcos x sin x cos x

2 2 3 2

1 3 sin cos 1 sin 2

4

1 sin 2 3sin cos 2 0 3 sin 2 6 sin 2 12

m

Đặt t = sin2x, x  R  t  [-1; 1] Khi đó (1)  3t2    6t 3 15 m (2), t  [-1; 1]

Xét hàm số: f(t) = 3t2 – 6t + 3, t  [-1; 1]

Do đó để phương trình (1) có nghiệm x  R  (2) có nghiệm t  [-1; 1]

0 15 m 12

      3 m 15 m  m  3;4;5; ;15  Chọn C

Câu 2: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: cos2x –

2cosx + m = 0 có nghiệm trên [0; /2]

Bài giải: Đặt t = cosx, x  [0; /2]  t  [0; 1] Khi đó phương trình đã cho 

m = -t2 + 2t, t  [0; 1] (*) Xét hàm số: f(t) = -t2 + 2t, t  [0; 1]

Do đó để phương trình có nghiệm    0 m 1 m  m   0;1 Chọn A

Câu 3: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [-5; 5] để phương

2 sin x sin cosx xmcos x 1 có nghiệm trên đoạn ;

4 4

 



 :

A 3 B 8 C 5. D 4

Bài giải:

* Chỉ ra sai lầm!

Phương trình 2.1 cos 2 sin 2 1 cos 2 1 2 sin 2 ( 2) cos 2

Phương trình có nghiệm 2 2

4 (m 2) m m 2.

      Chọn B

Hã chỉ ra sai lầm của lời giải trên!

* Lời giải đúng:

Do x  ;

4 4

 



   cosx  0 nên ta chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta

được: m = tan2x – tanx – 1, x  ;

4 4

 



  (1)

Đặt t = tanx, x  ;

4 4

 



   t  [-1; 1] Khi đó phương trình đã cho  m = t2 –

t – 1, t  [0; 1] (2) Xét hàm số: f(t) = t2 – t – 1, t  [-1; 1]

Do đó để phương trình (1) có nghiệm x  ;

4 4

 



   (2) có nghiệm t  [-1; 1]

0 15 m 12

      5 / 4  m 1 m [ 5;5]   m  1;0;1  Chọn A

Bài tập tự luyện Câu 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: cos2x - 4cosx

+ m = 0 có nghiệm

Câu 5: Biết Sa b;  là tập tất cả các giá trị của m để phương trình

2

cos 2x sin x 3cosxm 5 có nghiệm Khi đó, mệnh đề nào sau đây đúng?

A a b   2. B a b   7. C a b   12. D a b  7.

Câu 6: Biết a b;  là tập các giá trị của m để phương trình

sin x cos x 3sin cosx xm 2  0 có nghiệm Tính giá trị của ab

A 15.

16 B 15.

4 D 45.

16

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: 2(sin4x + cos4x) +

cos4x + 2sin2x – m = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [0, /2]

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

m x x

x x

xsin 4sin cos sin 4 

cos

có nghiệm?

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

sin cosx x sinx cosx m 0 có nghiệm?

A 1. B 2. C 3. D 4.

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để:

2

4 sin 3 sin 4 cos 3 cos cos 2 0

          

Câu 11: Cho phương trình 2

2

3

3 tan tan cot

sin

x

    Có bao nhiêu giá trị nguyên m nhỏ hơn 2020 để phương trình có nghiệm?

A 2006. B 2020. C 2013. D 2014.

Câu 12: Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin 4xm.tanx có

nghiệm x  k là nửa khoảng [a ; b) Tính 4a + b:

Câu 13: Cho phương trình cos 2x 2 1  m cosx 2m  1 0. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10  để phương trình có nghiệm?

A 8. B 9. C 10. D 11.

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

cos 4x cos 3xmsin x có nghiệm thuộc khoảng 0;

12



 

 

 

 

A 0;1 .

2

m  



  B 1;2

2

m  



  C m   0;1 D 1;1 .

4

m   



 

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 sinxmcosx  1 m

có nghiệm x thuộc đoạn ;

2 2

 

 

  

 

 

A 3.

2

m   B 3.

2

m   C    1 m 3. D    1 m 3.

Câu 16: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 3 cos  1  1

2

m

f  x    có nghiệm?

A 2. B 3. C 9. D 13.

Câu 17: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình f 2 sinx  1  f m  có nghiệm?

A 2. B 3. C 4. D 5.

Câu 18: Cho hàm số f x  liên tục trên R, thỏa f(x) > 2

với mọi x > 5 và f(x) < -3 với mọi x < -2, có đồ thị như

hình bên Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

phương trình f 3 sinx 2   f m  có nghiệm?

A 6. B 7. C 8. D 9.

DẠNG V TÌM m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐÚNG n

NGHIỆM THUỘC KHOẢNG (; )

*Cơ sở lý thuyết:

Phương pháp chủ yếu là đưa về tích sau đó đưa về các phương trình cơ

bản