Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau.. 0,25[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2013
Môn thi : TOÁN (ĐỀ 30)
Câu 1 (2,5 điểm)
1 Cho hàm số (C) :
2 2 5 1
y
x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm M Î (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất
2 Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến
đồ thị (C’) : y=x3−6 x2
+9 x −1
Câu 2 (1,5 điểm)
1 Giải phương trình: 3 25x −2
+(3 x − 10)5 x −2=x −3
2 Giải hệ phương trình:
sin x +sin y=√2
cos x +cos y =√2
¿{
¿
¿
Câu 3 (1,5 điểm)
1 Giải phương trình: logx (cos x −sin x )+log1
x (cos x +cos 2 x )=0.
2 Giải bất phương trình: (x3+1)+(x2+1)+3 x√x+1> 0
3 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó.
Câu 4 (2 điểm)
1 Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) và mp(P):3x – 8y + 7z – 1 = 0
Tìm toạ độ điểm C Î (P) sao cho ABC là tam giác đều.
2 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Hãy xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó.
Câu 5 (2,5 điểm).
1 Tính :
2 3
sin
cos
x x
x
2 Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng:
2
a b c
3 Cho z =
i
2 2
, Hãy tính :
;z; z ;(z) ;1 z z
(Hết)
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI: (đề số 30)
b Tìm M Î (C) để tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất 0,75
1
X =− x +1
Y = y
¿{
¿
¿
0.25
TCĐ d: X = 0, TCX d’: X - Y = 0 ⇒ T = d(M, d) + d(M, d’) =
4 7
X Y
X
Dấu "=" xảy ra ⇔
4
X
X
2
0.5
Gọi M(2; m) Î d 1 : x = 2 Khi đó đt d M
d: y = k(x -2) + m Để đt d tiếp xúc với
(C’) hệ:
x3− 6 x2+9 x −1=k (x −2)+m
3 x2−12 x +9=k
¿{
¿
¿
có nghiệm
0,25
2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m = 0 (1) có nghiệm.
Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) là số nghiệm của Pt (1)
Xét hàm số y = 2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m
y’ = 6(x-2) 2 0 x Hàm luôn đồng biến Pt (1) luôn có nghiệm
duy nhất từ một điểm trên đt x = 2 luôn kẻ được một tiếp tuyến đến
đồ thị (C’).
0,5
x− 2
+ (3 x −10) 5 x− 2=x − 3
⇔5 x −2
(3 5x −2 − 1)+x(3 5x− 2 −1)− 3(3 5x− 2 − 1)=0 0.25
¿⇔(3 5x− 2 − 1)(5x −2+x − 3)=0
⇔
¿
¿
¿
(1)⇔5 x− 2
=1
3⇔ x=2+log51
3=2 − log53
0.25
Trang 3(2)⇔5 x− 2
=− x +3
Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm
x = 2 nên là nghiệm duy nhất.
Vậy Pt có nghiệm là: x = 2 −log53 và x = 2 0.25
sin x +sin y=√2
cos x +cos y =√2
⇒(sin x+cos x)+(sin y +cos y)=2√2⇔
¿{
¿
¿
0.25
cos(x − π
4)+cos(y − π
4)=2⇔
cos(x − π
4)=1 cos(y − π
4)=1
⇔
¿x = π
4+k 2 π
4+l2 π
¿{
0.25
Thử lại thấy đúng nên:
x= π
4+k 2 π
y = π
4+l2 π
¿{
¿
¿
là nghiệm của hệ phương trình 0.25
Trang 4logx (cos x −sin x )+log1
x (cos x +cos 2 x )=0
Điều kiện:
0<x ≠1 cos x −sin x >0 cos x +cos2 x >0
¿{ {
¿
¿
Khi đó Pt ⇔ cos2 x=− sin x ⇔ cos2 x =cos(x + π
2)
0.25
⇔
2 x=x + π
2+k 2 π
2 x=− x − π
2+k 2 π
⇔
¿x= π
2+k 2 π
6+
k 2 π
3
¿{
Kết hợp với điều kiện ta được: x=− π
6+
k 2 π
3 (Với k ∊ N*).
0.25
(x3+1)+(x2
+1)+3 x√x+1> 0 ⇔(x3
+x2)+3√x3
+x2+2>0
⇔t2+3 t+2>0 Đặt t=x√x +1≥ −2
2
2
t
t t
0.25
Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả C105 tập con gồm 5 chữ
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau Vậy có tất
1 Xác định tọa độ điểm C Î (P) sao cho ABC đều 1.0
Trang 5Để ABC là tam giác đều đường cao MC = AB√3/2=√6
Gọi M là trung điểm của AB M(1; 0; - 2).
Gọi (Q) là mf đi qua M và vuông góc với AB
(Q): x + z + 1 = 0
0,25
Gọi d = (P) n (Q)
d :
3 x − 8 y+7 z −1=0
x +z +1=0
⇔
y=t
z=1+2 t
¿{
C Î d C(-2 - 2t; t; 1 + 2t)
0,25
0,25
0.25
2 Xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện 1.0 Lấy E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC ta có:
GE = GF = c/2 ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) ⇒ FA = FB
⇒ FA2
=FB2=2 AC2+2 AD2− CD2
2b2+2c2−a2
4
0.25
P
Q
A
B M
C1
C2
Trang 6FE là trung tuyến của ∆FAB nên:
4
2
+c2− a2
2
0.25
Gọi là góc tạo bởi AD và BC ta có : là góc tạo bởi AD và BC ta có :
cos α=¿cos(GE, GF)∨¿ ¿GE2+GF2− FE2
2 GE GF=¿
c2
2 −
b2
+c2−a2
¿
c2
2
¿ ¿
¿ ¿a2−b2∨¿
c2¿ Vậy cos α=¿a2− b2∨c¿2¿ 0.25
Tương tự nếu gọi lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và
DB, AC ta có: cos β=¿b2− c2
∨ ¿
a2¿, cos γ=¿c2− a2
Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả C95 tập con gồm 5 chữ số
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau Vậy có tất
F
E
G
A
C
Trang 7Đặt: 3 2
0,25
/ 4
/ 4 4
0
1
2 0
J x x x dx
Đặt: x - 1 = tgt
2 2
1
dt
0,25
0
3 4
2
sin
1 2 2
1 4
t u
t
du
0,25
1
2
0,25
Trang 8a2+bc+
1
b2+ac+
1
c2+ab≤
a+ b+c
2abc .
Ta có:
a2+bc ≥ 2 a√bc⇒ 1
a2+bc≤
1
2 a√bc
b2+ca ≥ 2 b√ca⇒ 1
b2+ca≤
1
2b√ca
c2+ab ≥ 2 c√ab⇒ 1
c2+ab≤
1
2c√ab
0.5
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
0.5