Tuyển tập đề thi HKII môn Toán 11 – Tự luận

Tính chiều cao hình chóp.[r]

ĐỀ ÔN TẬP SỐ 01 - HỌC KÌ 2 Môn TOÁN - Lớp 11

I Phần chung

Bài 1:

1) Tìm các giới hạn sau:

a)

x

3 lim

4

 

b) x

x x

5

1 2 lim

5



 

 c) x

x

2 2 2

4 lim





 

2) Cho hàm số :

x

f x( ) 4 5x3 2x 1

Tính f (1)

Bài 2:

1) Cho hàm số

x x khi x

f x

ax khi x

( )



 Hãy tìm a để f x ( ) liên tục tại x = 1

2) Cho hàm số

x

( )

1



 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x( ) tại điểm

có hoành độ bằng 1

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và

khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH 1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.

2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC)

3) Tính khoảng cách giữa AD và BC

II Phần tự chọn

A Theo chương trình chuẩn

Bài 4a: Tính các giới hạn sau:

1) x

x

2

lim

3 2

  

 

x

x2 x

2

lim



Bài 5a:

1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x6 3 3x2 6x  2 0

2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a Tính chiều cao hình chóp.

B Theo chương trình nâng cao

Bài 4b: Tính giới hạn:  

xlim x 1 x

 

 

Bài 5b:

1) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm:

(m2 2m2)x33x 3 0

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA =

a 3 Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD) Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là

hình gì? Tính diện tích thiết diện đó

-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:

1) a)

x x

5

4 3

3



2 2

2)

x

x

4

Bài 2:

1)

x x khi x

f x

ax khi x

( )





 f(1) a 1  x f x x x2 x x f x a f

lim ( ) lim ( ) 2, lim ( ) 1 (1)

 f x( ) liên tục tại x = 1  x f x x f x f a a

2)

f x

x

( )

1



f x

x

2 2

( )

( 1)



Vớix0 1 y0 , 1 f

1 (1) 2

 

 PTTT: y 1x 3

Bài 3:

1) CMR: BC  (ADH) và DH = a.

ABC đều, H là trung điểm BC nên AH  BC, AD  BC

 BC  (ADH)  BC  DH  DH = d(D, BC) = a 2) CMR: DI  (ABC)

 AD = a, DH = a  DAH cân tại D, mặt khác I là trung điểm

AH nên DI  AH

 BC  (ADH)  BC  DI

 DI  (ABC) 3) Tính khoảng cách giữa AD và BC

 Trong ADH vẽ đường cao HK tức là HK  AD (1) Mặt khác BC  (ADH) nên BC  HK (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra d AD BC( , ) HK

 Xét DIA vuông tại I ta có:

 Xét DAH ta có: S = 1AH DI

3

4

Bài 4a:

I

H

C D

K

1)

x

3

 



2) x

x

x2 x

2

lim



x

x

x

2 2

2

2



 











Bài 5a:

1) Xét hàm số f x( ) 6 x3 3x2 6x   f x2 ( ) liên tục trên R

 f( 1) 1, (0) 2f   f( 1) (0) 0 f   PT f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm c1 ( 1;0)

 f(0) 2, (1) f  1 f(0) (1) 0f   PT f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm c2(0;1)

 f(1)1, (2) 26f   f(1) (2) 0f   PT f x( ) 0 có một nghiệm c3(1;2)

 Vì c1c2 c3

và PT f x( ) 0 là phương trình bậc ba nên phương trình có đúng ba nghiệm thực 2)

Bài 4b:

1

1

 

Bài 5b:

1) Xét hàm số f(x) = f x( ) ( m2 2m2)x33x 3  f x( ) liên tục trên R

 Có g(m) = m2 2m 2 m12 1 0, m R

f(0)3, (1)f m2 2m  2 0 f(0) (1) 0f   PT f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm c (0;1) 2)

 Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH  AH  SD (1)

 SA  (ABCD)  CD  SA CD AD  CD  (SAD)  CD  AH (2)

 Từ (1) và (2)  AH  (SCD)

 (ABH)  (SCD)  (P)  (ABH)

 Vì AB//CD  AB // (SCD), (P)  AB nên (P)  (SCD) = HI

 HI // CD  thiết diện là hình thang AHIB

Hơn nữa AB  (SAD)  AB HA Vậy thiết diện là hình thang vuông AHIB

 SD SA2AD2  3a2a2 2a

 SAD có

a

3

2

(3)

a AH

AH2 SA2 AD2 a2 a2 a2

2

(4)

 Từ (3) và (4) ta có: AHIB



I

O A

B

S

H

=========================