[r]
Trang 1Chuyên : DÃY S - C P S C NG – C P S NHÂN
-
I- LÝ THUY T:
ch ng minh m t m nh úng v i m i n ∈ *b ng ph ng pháp quy n p toán h c,
ta th c hi n các b c sau:
B c 1: Ki m tra m nh úng v i n =1
B c 2: Gi s m nh úng v i n=k≥ (gi thi t quy n p) 1
B c 3: C n ch ng minh m nh úng v i n=k+ 1 Chú ý: Trong TH ph i ch ng minh m t m nh úng v i m i s t nhiên n p≥ ( p là s t nhiên) thì thu t toán là:
B c 1: Ki m tra m nh úng v i n= p
B c 2: Gi s m nh úng v i n= p≥ (gi thi t quy n p) 1
B c 3: C n ch ng minh m nh úng v i n=k+ 1 II- BÀI T P MINH H A:
D ng toán 1: CH NG MINH NG TH C- B T NG TH C
Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i *
1 3 5 + + + + 2n−1 =n (1) Bài gi i:
Ki m tra khi n =1: m nh (1) tr thành: 1 1= 2 = ( úng) 1
Gi s m nh (1) dúng khi n=k≥ , t c là: 1
1 3 5 2 1
k
S = + + + + k− =k (gi thi t quy n p)
C n ch ng minh m nh (1) úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1
k
S + =S + k+ − =k + k+ = k+
V y m nh (1) úng v i m i n ∈ *
Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i *
n ∈ thì 2 5 8 (3 1) (3 1)
2
n n
Bài gi i:
Ki m tra khi n =1: m nh (2) tr thành 2=2 ( úng)
Gi s m nh (2) dúng khi n=k≥ , t c là: 1
2 5 8 3 1
2 k
k k
S = + + + + k− = + (gi thi t quy n p)
C n ch ng minh m nh (2) úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1
1
2 k
2 1
Trang 2Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11
3
V y m nh (1) úng v i m i n ∈ *
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ≥2thì: 3n >3n+ 1
Bài gi i:
Ki m tra v i n =2 : 9>7 ( úng)
Gi s b t ng th c úng v i n=k (k ≥2), t c là: 3k >3k+ 1
Ch ng minh b t ng th c úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh b t 1 ng th c:
1
3k+ >3 k+1 + 1
Th t v y: 3k >3k+ ⇔1 3k+1>9k+3⇔3k+1>3k+ +3 6k+ − 1 1
3k+ 3 k 1 1 6k 1
V i k ≥2, khi ó 6k − >1 0 nên: 1 ( )
3k+ >3 k+1 + 1
V y 3n >3n+ v i m i 1 n≥2,n∈N*
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ≥3ta có: 3n >n2+4n+ 5
Bài gi i:
Ki m tra v i n =3 : 27>26 ( úng)
Gi s b t ng th c úng v i n=k≥ , ngh a là: 3 3k >k2+4k+ (gi thi t quy n p) 5
C n ch ng minh b t ng th c úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1
1
3k+ > k+1 +4 k+1 + 5
Th t v y:
2
k
+
V i k ≥3, khi ó 2k2+6k+ nên: 5 1 ( )2 ( )
3k+ > k+1 +4 k+1 +5
V y: 3n >n2+4n+ v i 5 n ≥3
Bài t p 5: V i giá tr nào c a s nguyên d ng n ta có: n n
n
> + Bài gi i:
d) n > n+ n
Ta th v i n =1: 3>2 7+ (Sai), n =2 : 9>4 14+ (Sai), n =3 : 27> +8 21 (Sai)
4 : 81 16 28
n = > + ( úng), n =5 : 243>32 35+ ( úng)
D oán: n > n+ n ∀ ≥n Ch ng minh b ng qui n p toán h c
Ki m tra v i n =4 : 81 16> +28 ( úng)
Gi s b t ng th c úng v i n=k≥4, ngh a là: k > k + k (gi thi t quy n p)
C n ch ng minh b t ng th c úng v in=k+ , t c là c n ch ng minh: 1
k
> + +
3k >2k +7k ⇔3k+ >3 2k +7k =3.2k +21k
3.2k +21k>2k+ +7 k+1 ⇔ 2k +14k−7>0∀ ≥k 4 (2)
Trang 3T (1) và (2) suy ra: k k ( )
k
> + +
V y: n > n+ n ∀ ≥n
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n >1, ta có: 1 1 1 13
n+ +n+ + + n > (1) Bài gi i:
Ki m tra (1) v i n =2: 1 1 7 13
3+4 =12 > 24 ( úng)
Gi s (1) úng v i n=k > , t c là: 1 1 1 1 13
k S
C n c/m (1) úng v i n=k+ , t c là c n c/m: 1
1
k
S
Th t v y:
1
k
S
k+ +k+ + k+ + + k + k+ + k+ −k+
2k+1+2k+2−k+1> 13
24+
2k+1+2k+2−k+1
13
> +
24 2 k 1 2k 1
> +
+ + > 13
24 (k >1)
n+ +n+ + + n > úng v i m i n >1
D ng toán 2: BÀI TOÁN CHIA H T
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i *
n ∈ thì n3−n chia h t cho 3
Bài gi i:
t An =n3− n
Ki m tra v i n =1, A =1 0 3 ( úng)
Gi s m nh An úng khi n=k ≥ , t c là: 1 Ak =k3−k 3 (gi thi t quy n p)
C n ch ng minh m nh An úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh m nh :
( )3 ( )
k
A+ = k+ − k+
k
A+ = k+ − k+ =k + k + k+ −k−
V y n3−n 3 v i m i n ∈ *
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i *
n ∈ thì n7− chia h t cho 7 n
Trang 4Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 Bài gi i:
t An =n7−n
B1: Ki m tra v i n=1:A1=0 7 ( úng)
B2: Gi s m nh Ak úng khi n=k≥ , t c là: 1 Ak =k7−k 7 (gi thi t quy n p)
B3: C n ch ng minh m nh An úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh m nh 1 :
( )7 ( )
k
A+ = k+ − k+
Th t v y:
1
k
V y n7−n 7 v i m i n ∈ *
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i *
n ∈ thì 7n− chia h t cho 6 1 Bài gi i:
t A =n 7n−1
Ki m tra v i n=1:A1 =6 6 ( úng)
Gi s m nh Ak úng khi n=k ≥ , t c là: 1 A =k 7k −1 6 (gi thi t quy n p)
C n ch ng minh m nh An úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1 Ak+1 =7k+1−1 6
1 7k 1 7 7k 1 6 6 k
V y 7n−1 6 v i m i n ∈ *
M T S BÀI TOÁN
Bài t p 5: Cho t ng
n S
a) Tính S1, S2, S3, S4
b) Hãy d oán công th c tính Sn và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p
Bài gi i:
b) T k t qu câu a) ta d oán:
n
n S
n
= + (1) Ta ch ng minh công th c (1) b ng ph ng pháp quy n p
Ki m tra v i n =1: 1 1
3
S = ( úng)
Gi s bi u th c (1) úng v i n=k≥ , t c là: 1
k
k S
k
= +
C n ch ng minh bi u th c (1) úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1
1
1
k
k S
k +
+
=
Trang 5Th t v y:
1
2
1
k k
+
=
V y
n
n
S
n
=
n
Bài t p 5: Gi s x x1, 2, xn∈R+ và x x1 2 x =n 1 Ch ng minh x1+x2+ +xn ≥n
Bài gi i:
V i n=1:x1 = M nh 1 úng
Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1)
( )
1 2 3 k 1 2 3 k 1 *
N u v i m i x =k 1 thì hi n nhiên : x1+x2+ + xk +xk+1≥k+ 1
N u trong k +1 s có ít nh t m t s l n h n 1, thì t ph i có s nh h n 1
Không gi m tính t ng quát , gi s x >k 1và xk+1< , khi ó ta có: 1
(1−xk+1)(xk −1)>0⇔ xk +xk+1 > +1 x xk k+1 ( )1
Do ó: x1+x2+ +xk +xk+1>x1+x2+ +xk−1+x xk k+1+1 ( )2
Theo gi thi t quy n p , ta suy ra t k s v ph i:
1 2 k 1 k k 1 3
x +x + +x − + x x + ≥k
T (2) và (3) suy ra : x1+x2+ +xk +xk+1 >k+ 1
Bài t p 5: Ch ng minh :
n
n n
a +b a+b
≥ v i : a≥0, b≥0, n∈ * Bài gi i:
V i n =1 M nh úng
Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1): ( )1
k
k k
a +b a+b
Ta ph i ch ng minh :
1
k
a + +b + a+b +
≥
Th t v y, ta nhân hai v c a (1) v i
2
a+b , ta có :
1
k k
a +b a+b a+b a+b a+b +
( )
1
2
k
a + +a b+ab +b + a+b +
Nh ng v i a>0, b> thì : 0 ( ) ( ) 1 1
0
a −b a−b ≥ ⇔a + +b + ≥a b+ab
Trang 6Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11
3
a + +a b+ab +b + a + +b +
≤
So sánh (2) và (3) ta c i u ph i ch ng minh
Bài t p 1: Cho s th c a > −1 Ch ng minh r ng: ( ) ( *)
1+a n ≥ +1 na ∀ ∈n Bài gi i:
V i n=1: 1( +a)1≥ +1 a ( úng)
Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1): ⇔(1+a)k ≥ +1 ka ( )1
Ta c n ch ng minh B T úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1 (1+a)k+1≥ +1 (k+1)a
1+a k ≥ +1 ka ⇔ 1+a k+ ≥ 1+a 1+ka = +1 k+1 a+ka ≥ +1 k+1 a
1+a n ≥ +1 na ∀ ∈n ( p.c.m)
Bài t p 1: Cho n s th c x x1, 2, x3, , x ∈n (0;1) Ch ng minh r ng (∀ ≥n 2):
(1−x1)(1−x2) 1( −xn)> −1 x1−x2− −xn Bài gi i:
V i n=2 : 1( −x1)(1−x2)= −1 x1−x2+x x1 2 > −1 x1−x2 ( úng)
Gi s m nh úng v i n=k (k ≥2): ⇔(1−x1)(1−x2) 1( −xk)> −1 x1−x2− −xk ( )1
Ta c n ch ng minh B T úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1
(1 x1)(1 x2) 1( xk)(1 xk+1) 1 x1 x2 xk xk+1
Th t v y, ta có: (1−x1)(1−x2) 1( −xk)> −1 x1−x2− −xk
1 2
x x
+
k
+
> − − − −
V y (1−x1)(1−x2) 1( −xn)> −1 x1−x2− −xn (∀ ≥n 2) ( p.c.m)
Bài t p 1: Xác nh công th c t ng quát un c a các dãy ( )un sau:
( )
1 1
1
1
5
1 2
n
u u
+
+
=
= −
Bài gi i:
a) ( )
1
1
1 :
n
u
u
= −
= + ≥ Ta có: u2 = −1, u3 = −1, u4 = − D oán: 1 un = −1 (∀ ≥n 1)
Ch ng minh b ng qui n p toán h c
V i n=1:u1 = − ( úng) 1
Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1): u = −k 1
Trang 7Ta c n ch ng minh B T úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1 uk+1 = − 1
Th t v y, ta có: uk+1=2uk + =1 2.( )−1 + = − 1 1
V y un = −1 (∀ ≥n 1) (y.c.b.t)
b) ( )
1
1
5 4 :
1
1 2
n
n n
u
u
u
=
+
Ta có:
1 1
1 2
n
+ +
+
Ch ng minh b ng qui n p toán h c
V i 1: 1 5
4
n= u = ( úng)
Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1):
1 1
2
k
u
+ +
+
=
Ta c n ch ng minh B T úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1
2
2
k
u
+
+
=
Th t v y, ta có:
1
k
u u
1 1
1 2
n
+
+
+
= ∀ ≥ (y.c.b.t)
Bài t p 1: Xác nh công th c t ng quát un c a các dãy ( )un sau:
n
n
Bài gi i:
Ta có:
2
D oán: 2 cos 1 ( 1)
2
Ch ng minh b ng qui n p toán h c
V i 1: 1 2 cos 2
4
Gi s m nh úng v i n=k (k ≥1): 2 cos 1
2
Ta c n ch ng minh B T úng v i n=k+ , t c là c n ch ng minh: 1 1 2 cos 2
2
Th t v y, ta có: 1
1
k
u +
+
Trang 8Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11
2
V y 2 cos 1 ( 1)
2
u = + ∀ ≥n (y.c.b.t)
III- BÀI T P T LUY N:
Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i *
n ∈ , ta có các ng th c:
1) 1 1 1 1 2 1
n
−
2
3
n n
1.2+2.5 + +n 3n−1 =n n+1 4) 1 4 7 (3 2) (3 1)
2
n n
5) 1.4+2.7+3.10 +n(3n+1)=n n( +1)2 6) ( ) 2
1 3 5 + + + + 2n−1 =n
7)
n n n
+
+
2
n
9)
n
10) 1.2 2.3 3.4 ( 1) ( 1)( 2)
3
Bài t p 2: Ch ng minh r ng: V i m i n ∈ N*:
1) 1 2 3 ( 1)
2
n n
4
n n
1 3 5 + + + + 2n−1 =n
5)
n
−
n
n n +
−
9) 1 4 7 (3 2) (3 1)
2
n n
2
n n
6
3
Bài t p 3: Ch ng minh r ng: V i m i n∈N*:
!
n
−
−
Bài t p 4: Ch ng minh r ng n u ∆ABC vuông t i A, có s o các c nh là , ,a b c thì v i
m i s t nhiên n ≥ , ta có b t ng th c : bn+cn ≤an
Bài t p 5: V i giá tr nào c a s nguyên d ng n , ta có:
Trang 9
+
Bài t p 6: Ch ng minh r ng s !ng chéo c a m t a giác l"i n c nh là ( 3)
2
n n −
Bài t p 7: Cho t ng
n S
n n
+ , v i n∈N* a) Tính S1, S2, S3, S4
b) Hãy d oán công th c tính Sn và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p
Bài t p 8: Cho t ng
n S
− + , v i n ∈ * a) Tính S1, S2, S3, S4
b) Hãy d oán công th c tính Sn và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p
Bài t p 9: Cho n s th c ,a a , a , , an th a − <ai ≤ (i = ,n)
Ch ng minh r ng: ∀ ∈n * ta có:
( +a )( +a ) ( +an)≥ +a +a + +an
Bi t p 10: Ch ng minh r ng v i các s th c ,a a , a , , an (∀ ∈n *), ta có:
a +a + +a ≤ a + a + + a Bài t p 11: Ch ng minh r ng ∀ ∈n N*:
Bài t p 12: V i giá tr nào c a s nguyên d ng n ta có:
+
Bài t p 13: Cmr s !ng chéo c a m t a giác l"i n c nh (n ≥4) là ( 3)
2
n n −
Bài t p 14: Xác nh công th c t ng quát un c a các dãy ( )un sau:
( )
( )
1
1
1
1
1
n
n
u
u
+
=
+
áp s :
Trang 10Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11
1
n