Một số bài tập về lý thuyết xác suất và thống kê của đại học bao gồm đầy đủ các dạng cơ bản của phép đếm, quy tắc cộng, quy tắc nhân, không gian xác suất, xác suất có điều kiện (định lý Bayes), biến ngẫu nhiên liên tục và rời rạc, các loại phân phối như phân phối Ber, phân phối nhị thức, phân phối chuẩn, các dạng bài toán về ước lượng, kiểm định giả thiết thống kê...
Trang 1Bài tập Xác suất Thống kê
Bài 1
Chọn ngẫu nhiên một vé số có năm chữ số
(a) Tính xác suất để chọn được vé không có chữ số 1 hoặc không có chữ
số 5
(b) Tính xác suất để chọn được vé có chữ số 5 và có chữ số chẵn
ĐS: (a) 2 · (0.9)5− (0.8)5 (b) 1 + (0.4)5− (0.9)5 − (0.5)5
Bài 2
Một công ty cần tuyển 2 nhân viên Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4
nữ và 2 nam Biết rằng khả năng được tuyển của mỗi người là như nhau (a) Tính xác suất để cả hai nữ đều được chọn, biết rằng ít nhất một nữ đã được chọn
(b) Giả sử Lan là một trong 4 người nữ nộp đơn Tính xác suất để Lan được chọn nếu biết rằng ít nhất một nữ đã được chọn
ĐS: (a) 3/7 (b) 5/14
Bài 3
Chuồng gà thứ nhất có 9 con mái và 1 con trống Chuồng gà thứ hai có
1 con mái và 5 con trống Từ mỗi chuồng gà bắt ra ngẫu nhiên một con Các con gà còn lại được dồn vào chuồng thứ ba Bắt ngẫu nhiên một con gà trong chuồng thứ ba Tính xác suất để bắt được gà trống
HD: Sử dụng công thức xác suất toàn phần với phân hoạch B1, B2, B3 lần lượt là "2 con gà được bắt đều là trống", "2 con gà được bắt đều là mái",
"2 con gà được bắt gồm 1 trống và 1 mái" ĐS: 89/140
Bài 4
Trang 2Một cặp sinh đôi có thể do cùng một trứng sinh ra (sinh đôi thật), hoặc
do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả) Các cặp sinh đôi thật luôn có cùng giới tính Đối với cặp sinh đôi giả thì khả năng cùng giới tính và khác giới tính là như nhau Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi đều là trai, 30% cặp sinh đôi đều là gái, và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau
(a) Tìm xác suất sinh đôi thật
(b) Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi thì được một cặp có cùng giới tính Tính xác suất để cặp đó là sinh đôi thật
HD: Đặt B1, B2, A lần lượt là "cặp sinh đôi là thật", "cặp sinh đôi là giả", "cặp sinh đôi cùng giới" Sử dụng công thức xác suất toàn phần
P (A) = P (B1)P (A|B1) + P (B2)P (A|B2)
ĐS: (a) 0.28 (b) 0.4375
Bài 5
Biết rằng người có nhóm máu AB có thể nhận máu của bất kỳ nhóm máu nào Nếu một người có nhóm máu A, hoặc B, hoặc O thì chỉ có thể nhận máu của người cùng nhóm máu hoặc người có nhóm máu O Biết rằng tỷ lệ người có nhóm máu O, A, B, và AB trong dân số lần lượt là 33.7%, 37.5%, 20.9%, và 7.9%
(a) Chọn ngẫu nhiên một người cần tiếp máu và một người cho máu Tính xác suất để sự truyền máu thực hiện được
(b) Chọn ngẫu nhiên một người cần tiếp máu và hai người cho máu Tính xác suất để sự truyền máu thực hiện được
HD: Sử dụng công thức xác suất toàn phần với phân hoạch {O, A, B, AB} ĐS: (a) 0.5737 (b) 0.7777
Bài 6
Trong số bệnh nhân ở một bệnh viện có 50% điều trị bệnh A, 30% điều trị bệnh B, và 20% điều trị bệnh C Xác suất để chữa khỏi các bệnh A, B,
và C trong bệnh viện này tương ứng là 0.7, 0.8, và 0.9 Hãy tính tỷ lệ bệnh nhân được chữa khỏi bệnh A trong tổng số bệnh nhân được chữa khỏi bệnh HD: Sử dụng công thức Bayes ĐS: 5/11
Bài 7
Trang 3Gieo đồng thời ba con súc sắc Trong mỗi lần gieo, nếu có ít nhất hai con súc sắc ra mặt sáu chấm thì được xem là "thành công" Một người gieo 5 lần Tính xác suất để có ít nhất 3 lần thành công
HD Phân phối nhị thức
Bài 8
Một người say rượu bước 8 bước Mỗi bước, anh ta chỉ có thể tiến lên phía trước 1 mét hoặc lùi lại phía sau 1 mét với xác suất như nhau
(a) Tính xác suất để sau 8 bước anh ta trở lại điểm xuất phát
(b) Tính xác suất để sau 8 bước anh ta cách điểm xuất phát hơn 4 mét
HD Phân phối nhị thức
Bài 9
Một nhóm có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ Chọn ngẫu nhiên 3 người Gọi X là số nữ trong 3 người được chọn Lập bảng mật độ xác suất của X
và tính trung bình, độ lệch chuẩn của X
ĐS: µX = 1.2, σX = 0.56
Bài 10
Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng mật độ xác suất đồng thời như sau:
X Y −1 1
−1 1/6 1/4
0 1/6 1/8
1 1/6 1/8 Hãy tính E[X], E[Y ], E[XY ], Cov(X, Y ), ρ(X, Y )
Bài 11
Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng mật độ xác suất đồng thời như sau:
X Y 1 2 3
1 0.12 0.15 0.03
2 0.28 0.35 0.07 (a) Chứng minh rằng X và Y độc lập
Trang 4(b) Xét biến ngẫu nhiên Z = X · Y Hãy tính E[Z] bằng hai cách.
Bài 12
Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, trong đó
X ∼ BIN (2, 0.4), Y ∼ BIN (2, 0.7)
Xét biến ngẫu nhiên Z = X + Y
(a) Lập bảng mật độ xác suất của Z
(b) Chứng minh rằng Z không phải là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức
Bài 13
Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất là
f (x) =
(
C · x2(1 − x), nếu x ∈ [0, 1],
0, nếu x /∈ [0, 1]
(a) Tìm hằng số C
(b) Tính P (0.4 < X < 0.6)
(c) Tìm hàm phân phối của X
(d) Tính trung bình, độ lệch chuẩn, trung vị và mode của X [Mode của biến ngẫu nhiên liên tục X là điểm mà tại đó hàm mật độ xác suất
f (x) đạt cực đại Trung vị của biến ngẫu nhiên liên tục X là điểm mà tại đó giá trị của hàm phân phối xác suất F (x) bằng 0.5.]
ĐS: (a) 12 (b) 0.296
Bài 14
Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối là
F (x) =
(
1 − e−x2/2, nếu x > 0,
0, nếu x ≤ 0
(a) Tìm hàm mật độ xác suất của X
(b) Tính E[X] và trung vị của X
Trang 5ĐS: E[X] =pπ/2, trung vị là √2 ln 2.
Bài 15
Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ đồng thời là
f (x; y) =
(
C · x, nếu 0 < y < x < 1,
0, trong các trường hợp còn lại
(a) Tìm hằng số C
(b) Tìm các hàm mật độ biên của X và Y
(c) Tính Cov(X, Y )
(d) X và Y có độc lập không? Giải thích câu trả lời
ĐS: C = 3
Bài 16
Một trường đại học có chỉ tiêu tuyển sinh là 300 sinh viên
(a) Giả sử có 325 người dự thi và xác suất thi đậu của mỗi người là 0.9 Tính xác suất để số người trúng tuyển không vượt quá chỉ tiêu (b) Cần cho phép tối đa bao nhiêu người dự thi (xác suất thi đậu của mỗi người vẫn là 0.9) sao cho sự kiện "số người trúng tuyển không vượt quá chỉ tiêu" có xác suất không nhỏ hơn 99%
ĐS: (a) 0.9177 (b) 319
Bài 17
Tỉnh A báo cáo rằng tỷ lệ đậu tốt nghiệp THPT của tỉnh đó là 80% Một
vị thanh tra của Bộ vốn tin rằng tỷ lệ này phải nhỏ hơn 80% nên đã làm một cuộc điều tra Ông ta chọn ngẫu nhiên 72 học sinh trong tỉnh A thì thấy có
50 học sinh đậu tốt nghiệp
(a) Nếu tỷ lệ 80% là đúng, thì trong mẫu kích thước 72 học sinh, xác suất
để số học sinh đậu tốt nghiệp không vượt quá 50 là bao nhiêu?
(b) Ông thanh tra có cơ sở để bác bỏ tỷ lệ 80% mà tỉnh này báo cáo không? ĐS: (a) 0.022
Trang 6Bài 18.
Quan sát ngẫu nhiên 250 chiếc xe máy, người ta thấy có 185 chiếc hiệu Honda
(a) Hãy ước lượng tỷ lệ p xe hiệu Honda trong tổng số xe máy với độ tin cậy 95%
(b) Hãy xác định hằng số C sao cho ta có thể khẳng định p > C với xác suất 99%
ĐS: (a) 0.6856 < p < 0.7944 (b) C ≈ 0.6754
Bài 19
Tiến hành khảo sát số gạo bán ra hằng ngày ở một cửa hàng, người ta
có kết quả như sau:
Số kg gạo bán ra 130 150 160 180 190 210 220
Số ngày 9 12 25 30 20 13 4
Ông chủ cửa hàng này cho rằng nếu trung bình một ngày bán ra không quá
170 kg thì tốt hơn là nghỉ bán Từ số liệu trên, với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết ông chủ cửa hàng có nên tiếp tục bán hay không?