Chứng minh rằng tồn tại một hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ mà tất cả các đỉnh của nó thuộc M và được tô cùng màu.. ĐỀ CHÍNH THỨC..[r]
Trang 1HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DH & ĐB BẮC BỘ
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC MỞ RỘNG
NĂM HỌC 2011- 2012
MÔN THI: TOÁN LỚP 10 Ngày thi: 21 tháng 4 năm 2012
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 1 trang
Câu 1 ( 4 điểm): Giải hệ phương trình sau:
4
, ,
x y z xy yz zx 3Câu 2 (4 điểm): Cho là các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh bất đẳng thức:
Câu 3 (4 điểm): Trên các cạnh BC, CA, AB và về phía ngoài tam giác ABC ta
dựng các hình vuông BCMN, ACPQ, ABEF Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Kí hiệu A1 là giao điểm của AG và FQ; B1 là giao điểm của BG và NE; C1 là giao
điểm của CG và MP Ta xác định các điểm A2, B2, C2 sao cho AGC2F, BGA2N,
CGB2P là các hình bình hành Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A2, B2, C2
tương ứng vuông góc với B1C1, C1A1, A1B1 đồng quy
m, n 4m3 m 12n 3 n m n Câu 4 (4 điểm): Giả sử là các số tự nhiên thỏa
mãn: Chứng minh rằng là lập phương của một số nguyên
Câu 5 (4 điểm): Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, xét tập hợp M các điểm có toạ độ
(x; y) với x, y R* và x 12; y 12 Mỗi điểm trong M được tô bởi một trong
ba màu: màu đỏ, màu trắng hoặc màu xanh Chứng minh rằng tồn tại một hình chữ
nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ mà tất cả các đỉnh của nó thuộc M và
được tô cùng màu
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán 10
4 điểm
Hệ phương trình tương đương:
x3 y3 3y2 3(x2 y2) 9 3( x 4 )y
1,0
(x 1) (y 2) x 1 y 2 x y 3
2
2y 9y 6 0Thế vào phương trình (2) ta thu được: 0,5
9 33 4
9 33 4
y y
0,5
3
Với
0,5
3
Với Vậy phương trình có hai nghiệm:
0,5
x y z Chứng minh bất đẳng thức:
4 điểm
Theo bất đẳng thức Cauchy cho các số thực dương ta có:
2 3
8 ( 2)( 2 4)
2 6 8
x
1,0
0,5
Trang 32 2 2 2
;
Tương tự, ta cũng có
Từ đó suy ra:
(1)
0,5
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz :
1,0
Ta chứng minh:
2
1 3
x y z
Thật vậy:
Ta có:
2
2
12 0
0,5
3 2(x y z )2 x2 y2 z2 (x y z ) 18 Nên
Mặt khác, do x, y, z là các số dương nên ta có:
3
xy yz zx Mà nên bất đẳng thức (3) đúng
Từ (1), (2) và (3), ta có đpcm
1
x y z Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0,5
3 Trên các cạnh BC, CA, AB và về phía ngoài tam giác ABC ta dựng các
hình vuông BCMN, ACPQ, ABEF Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Kí hiệu A 1 là giao điểm của AG và FQ; B 1 là giao điểm của BG và NE;
C 1 là giao điểm của CG và MP Ta xác định các điểm A 2 , B 2 , C 2 sao cho
AGC 2 F, BGA 2 N, CGB 2 P là các hình bình hành Chứng minh rằng các
đường thẳng đi qua A , B , C tương ứng vuông góc với B C , C A , A B
4 điểm
Trang 4Gọi I là trung điểm của BC Ta có:
Do AF = AC, AQ = AB, FAC=QAB=90 +A
1
1,0
Ta có CGB2P là hình bình hành nên GB2 song song và bằng CP nên GB2 song song và bằng AQ, suy ra AQB2G là hình bình hành, vậy có QB2 song song và bằng AG Suy ra QB2 song song và bằng FC2, nên FQB2C2
là hình bình hành, hay FQ song song với B2C2 (2)
A G B C Từ (1) và (2) suy ra
1,0
Trang 5Vậy các đường thẳng đi qua A1, B1, C1 tương ứng vuông góc với
B C ,C A ,A B B C ,C A ,A B1 1 1 1 1 1 đồng quy tại G nên theo hệ quả của định
lí Cácnô ta có các đường thẳng đi qua A2, B2, C2 tương ứng vuông góc
với cũng đồng quy
1,0
4 m, n 4m3 m 12n 3 nGiả sử là các số tự nhiên thỏa mãn:
m n Chứng minh rằng là lập phương của một số nguyên.
4 điểm
4m m 12n n 4 m n m n 8n Ta có:
m n 4m 2 4mn 4n2 1 8n 13
1,0
m n 4m2 4mn 4n 2 1Giả sử p là một ước nguyên tố chung của và
4m 4mn 4n 1Do là số lẻ nên p là số lẻ.
0,5
3
4m 4mn 4n 1 p 1 Mặt khác p là ước của (vô lí) 0,5
m n 4m2 4mn 4n 2 1m n,4m 2 4mn 4n 2 11do đó và
3
3
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, xét tập hợp M các điểm có toạ độ (x; y) với
x, y và x 12; y 12 Mỗi điểm trong M được tô bởi một trong ba màu:
màu đỏ, màu trắng hoặc màu xanh Chứng minh rằng tồn tại một hình chữ
nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ mà tất cả các đỉnh của nó thuộc
M và được tô cùng màu.
4 điểm
144
48
tô ở không ít hơn điểm.
0,5
12
i
i 1
a 48
Ta chọn trong các điểm của M đúng 48 điểm được tô cùng một màu Chia các điểm của M thành 12 hàng (các điểm có cùng tung độ) và 12
điểm được chọn có trong một cột thứ i suy ra:
0,5
i i
a (a 1)
2
Khi đó, số cặp điểm được chọn trong cột thứ i là:
12 a a 1
0,5
Trang 6
2 12 i
i i
a
Ta có:
1,0
Vì mỗi cặp được chọn trong cùng một cột tương ứng với một cặp hàng trong
đó các điểm trong một hàng có cùng tung độ.
2 12
1,0
Vì 72 > 66 nên luôn tìm được hai cặp điểm nằm trên 1 cặp hàng.
Vậy luôn tồn tại một hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ
và có 4 đỉnh tô cùng một màu.
0,5
Mọi cách giải khác nếu đúng kết quả và lập luận chặt chẽ đều cho điểm tương đương.