[r]
Trang 1KỲ THI CH N H C SINH GI I Ọ Ọ Ỏ KHU V C DUYÊN H I VÀ Đ NG B NG B C B Ự Ả Ồ Ằ Ắ Ộ
NĂM H C 2013 - 2014 Ọ
Đ THI MÔN: TOÁN H C L P 11 Ề Ọ Ớ
Th i gian 180 phút (không k th i gian giao đ ) ờ ể ờ ề
Ngày thi: 19/04/2014
Câu 1(4 đi m ể ):
3 3
x 0
Gi i h ph ả ệ ươ ng trình:
1
( ) an n
2
5
n
n
a
Câu 2 (4 đi m ể ): Cho dãy :
( ) a limn ana) Ch ng minh dãy h i t và tính ứ ộ ụ
1 2
n
n n
b) Ch ng minh ứ
, ,
AD BE CF ABC A AD EF K K BC AB AC, M N, Câu 3 (4 đi m ể ): G i là ba đọ ường phân giác trong c a tam giác vuông Đo n th ng c t t i Đủ ở ạ ẳ ắ ạ ường th ng qua song song v i c tẳ ớ ắ
l n lầ ượ ởt Ch ng minh r ng:ứ ằ
2
:
f Câu 4(4 đi m) ể : Tìm t t c các hàm s tho mãnấ ả ố ả
2 2 , , (1)
f x y xf x yf y x y
Câu 5 (4 đi m) ể : Cho 100 s t nhiên không l n h n 100 có t ng b ng 200 Ch ng minh r ngố ự ớ ơ ổ ằ ứ ằ
t các s đó có th ch n đừ ố ể ọ ược ít nh t m t b các s có t ng b ng 100.ấ ộ ộ ố ổ ằ
H T Ế
Đ CHÍNH TH C Ề Ứ
Trang 2KỲ THI CH N H C SINH GI I Ọ Ọ Ỏ KHU V C DUYÊN H I VÀ Đ NG B NG B C B Ự Ả Ồ Ằ Ắ Ộ
NĂM H C 2013 - 2014 Ọ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN H C L P 11 Ọ Ớ
Câu 1(4 đi m ể ):
3 3
x 0
Gi i h ph ả ệ ươ ng trình:
(Qu ng Tr ) ả ị
3 3
3 1 8 2 1 (2)
2 x 1 2 y 1 2 x 1 y 1 0
(1)
1 0
x
y
ĐK: (2x + 1)(y + 1) 0 Mà x > 0
2
y x
(1)
3
3 6 x 1 8 x 4 x 1 6 x 1 3 6 x 1 2 x 3 2 xThay vào (2): (3)
Hàm s f(t) = tố 3 + t đ ng bi n trên Rồ ế
3 6 x 1 2 x
2
(3) NX: x >1 không là nghi m c a phệ ủ ương trình
x
0
2
cos3
2
2
2
k k
2
9
Xét 01: Đ t x = cos v i Ta có: (k) Do ặ ớ
cos ;2cos
V y h có nghi m ậ ệ ệ
1đ
1đ
1đ
1đ
Đ S 1 Ề Ố
Trang 3( ) an n
2
5
n
n
a
Câu 2 (4 đi m ể ): Cho dãy :
( ) a limn ana) Ch ng minh dãy h i t và tính ứ ộ ụ
1 2
n
n n
b) Ch ng minh ứ
(H i Phòng) ả
3
1 an 2 n
a) B ng ph ằ ươ ng pháp ch ng minh qui n p ta có: ứ ạ
2
Đ t A= và xét hàm ặ
( )
5
x
1
[ 2 ;1].
đo n ạ
1,0
k k
2 1 2
lim lim
k k
K t h p công th c xác đ nh dãy ta đ ế ợ ứ ị ượ c
2
2
5
2
5
b
c
b
lim an
2
V y = ậ
1,0
2
t f t ( ) 5 5 b) Nh n xét: ậ thì
2k 1 2k 5 5
2
(1)
2
n kNh v y b t đ ng th c đúng v i ư ậ ấ ẳ ứ ớ
n k 2 1
2
k
a
Tr ườ ng h p , chú ý , k t h p v i (1) thu đ ợ ế ợ ớ ượ c:
1,0
Trang 41 2 2 1 2 2 1
2
a a a a a k
V y b t đ ng th c đ ậ ấ ẳ ứ ượ c ch ng minh ứ
, ,
AD BE CF ABC A AD EF K K BC AB AC, M N, Câu 3 (4 đi m ể ): G i là ba đọ ường phân giác trong c a tam giác vuông Đo n th ng c t t i Đủ ở ạ ẳ ắ ạ ường th ng qua song song v i c tẳ ớ ắ
l n lầ ượ ởt Ch ng minh r ng:ứ ằ
2
(Chu Văn An-Hà N i) ộ
BC a CA b AB c
2
2 2 2
2
b c
a
Đ t ta có suy ra ặ
1,0
,
Dùng tính ch t đấ ường phân giác tính được
0,5
Dùng phương pháp di n tích, ho c công th c đệ ặ ứ ường phân giác trong tính được
,
2
1,0
1,0
2
2
b c a
Suy ra:
0,5
:
f Câu 4(4 đi m) ể : Tìm t t c các hàm s tho mãnấ ả ố ả
2 2 , , (1)
f x y xf x yf y x y
(Thái Bình)
Đáp án:
0
x 1 f y 2 yf y , y
Cho , t suy ra ừ 0
y 1 f x 2 xf x , x
Cho , t suy ra ừ
Trang 5Do đó (1) tr thành:ở
2 2 2 2 , , , , 0 *
f x y f x f y x y f x y f x f y x y
y y 1 thay b i t ta đở ừ ược :
2 2
yf y yf y y f x f x x
f x0,y0, ch ng t là hàm s l ứ ỏ ố ẻ Do
đó v i m i ta cóớ ọ
, 0, 0 **
0, 0
x y V i m i ta cóớ ọ
***
f x y f x y f x f y f x f y f x f y
* , ** , (***) f x y f x f y ,x y, K t h p và ta đế ợ ược
2
1
f x
2
1 ,
Câu 5 (4 đi m) ể : Cho 100 s t nhiên không l n h n 100 có t ng b ng 200 Ch ng minh r ngố ự ớ ơ ổ ằ ứ ằ
t các s đó có th ch n đừ ố ể ọ ược m t s s có t ng b ng 100.ộ ố ố ổ ằ
(Yên Bái)
Đáp án:
N u t t c các s b ng nhau thì t t c các s là 2 Khi đó ta l y 50 s 2 sẽ cóế ấ ả ố ằ ấ ả ố ấ ố
1 2
a a Gi s ta xét 100 s có d ngả ử ố ạ
0 a ,a ,a a ,a a a , ,a a a 200 1,0
N u có m t s chia h t cho 100 thì s đó b ng 100 vì s đó bé h n 200.ế ộ ố ế ố ằ ố ơ 1,0
N u không có s nào chia h t cho 100 thì trong 100 s ph i có hai s đ ng dế ố ế ố ả ố ồ ư
trong phép chia cho 100 (vì các s d nh n giá tr t 1 đ n 99) suy ra hi u c aố ư ậ ị ừ ế ệ ủ
chúng chia h t cho 100 và hi u hai s đó chính là t ng c n tìmế ệ ố ổ ầ
1,0
H T Ế