( )
≤
( )
≥
a 1>
0< <a 1
≤
( )
≤
( )
¬ a 1>
≥
( )
≥
( )
a 1
¬ <
¬ a 1>
a 1
¬ <
1 THPT Lưu Tấn Phát
Tiểu đề
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
ĐỊNH LÝ
a f(x) < a g(x) ⇔ f(x) < g(x)
a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) > g(x)
a f(x) < a g(x) ⇔ f(x) > g(x)
a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) < g(x)
Đặc biệt 1
af(x) < b ⇔ f(x) < logab
af(x) > b ⇔ f(x) > logab
af(x) < b ⇔ f(x) > logab
af(x) > b ⇔ f(x) < logab
Đặc biệt 2
af(x) < 1 ⇔ f(x) < 0
af(x) > 1 ⇔ f(x) > 0
af(x) < 1 ⇔ f(x) > 0
af(x) > 1 ⇔ f(x) < 0
Lưu ý
a x > 0, ∀x ∈ IR
PHƯƠNG PHÁP
Logarít hĩa hoặc tính đơn điệu (rất ít gặp !)
Lưu ý
Luơn để ý cơ số a > 1 hay a < 1
Để giải BPT bậc hai ax2 + bx + c <> 0 hoặc
phụ lục)
VÍ DỤ MINH HỌA
(Cĩ nhiều cách trình bày lời giải)
DẠNG 1a : CƠ BẢN + đặc biệt
M1 Giải (gọn) bất phương trình cơ bản sau :
a) 2x < – 2 b) 10x> 0 c) 5x > 2 d) 10x < 3 e) 7x + 2≥ 5 f) 2x 2≤ 3
a
a) 2 x < – 2 (VN)
b) 10 x > 0⇔ x ∈ IR b’)10 ≥ 0 x ⇔ x ≥ 0
c) 5 x > 2 ⇔ x > log52
d) 10 x < 3 ⇔ x < log3
e) 7 x + 2 ≥ 5 ⇔ x + 2 ≥ log75⇔ x ≥ log75– 2 f) 2 x 2≤ 3 ⇔ x2≤ log23 ⇔ x2 – log23 ≤ 0
⇔ − log 32 ≤ x ≤ log 32
M2 Giải (gọn) bất phương trình cơ bản sau :
a) ( )1 x 5
2 > b) ( 2 1− )x
≤ 3
a) ( ) 1 x 5
2 > ⇔ x < 12
log 5
b) ( 2 1− ) x≤ 3 ⇔ x ≥ log 2 1−3
M3 Giải bất phương trình cơ bản đặc biệt sau :
a) 3x < 1 b) 10x + 5 ≥ 1 c) ex 2 + x> 1 d) ( 2 1)− 1x ≤ 2 1−
3
2x 1 log
x 2
+
−
>
a) 3 x < 1 ⇔ x < 0
b) 10 x + 5 ≥ 1 ⇔ x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ – 5 Tập nghiệm : S = [– 5 ; +∞ )
c) e x 2+x > 1 ⇔ x2 + x > 0 ⇔ < −xx 01
>
Tập nghiệm : S = (– ∞ ; – 1) ∪ (0 ; +∞ )
x− ≥
giữ chiều
đổi chiều
Trang 22 THPT Lưu Tấn Phát
x
− ≥ ⇔ 0 < x ≤ 1
Tập nghiệm : S = (0 ; 1]
3
2x 1
+
−
> ⇔ 13
2x 1 log
x 2
+
− > 0
⇔
2x 1 0
x 2
2x 1 1
x 2
+ >
−
+
<
−
⇔
2x 1 0
x 2
x 3 0
x 2
+ >
−
+
<
−
⇔
1
2
3 x 2
< − >
− < <
⇔ – 3 < x < 1
2
−
Tập nghiệm : S = (– 3 ; 1
2
− )
DẠNG 1b : CƠ BẢN + cùng cơ số
M4 Giải bất phương trình sau :
a) 2x < 8 b) 10– x + 4 ≤ 1001
c) 2− + x 3x 2 > 4 d)
2 2x 3x
−
÷
a) 2 x < 8 ⇔ 2x < 23⇔ x < 3
Có thể giải : 2 x < 8 ⇔ x < log28 ⇔ x < 3
Hoặc dừng lại ở x < log28
b) 10 – x + 4 ≤ 100 1 ⇔ 10– x + 4 ≤10− 2
⇔ – x + 4 ≤ – 2 ⇔ x ≥ 6
Tập nghiệm : S = [6 ; +∞)
c) 2− +x 3x 2 > 4 ⇔ 2− + x 3x 2 > 22
– x2 + 3x > 2 ⇔ x2 – 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2
Tập nghiệm : S = (1 ; 2)
d)
2
2x 3x
−
÷
2
≤
⇔ 2x2 – 3x ≥ – 1 ⇔ 2x2 – 3x + 1 ≥ 0
⇔
1 x
2
x 1
≤
≥
S = (– ∞ ; 1
2] ∪ [1 ; +∞)
DẠNG 1c : BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG CƠ BẢN
M5 Giải bất phương trình sau :
a) 3x > 2x b) 5x < 7x + 1
c) 2x + 2x + 1
≤ 12 d) 3x + 2.3x + 2≥ 5x
e) 62x + 3 < 2x + 7 33x – 1
a) 3 x > 2 x ⇔
x
3 2
÷
> 1 ⇔ x > 0 Tập nghiệm : S = (0 ; +∞)
b) 5 x < 7 x + 1⇔ 5x < 7.7x⇔
x
5 7
÷
< 7 ⇔ x > 5
7
log 7
Tập nghiệm : S = ( 5
7
log 7 ; +∞)
c) 2 x + 2 x + 1
≤ 12 ⇔ 2x + 2.2x
≤ 12
⇔ 3.2x≤ 12 ⇔ 2x≤ 4 ⇔ x ≤ 2 Tập nghiệm : S = (– ∞ ; 2]
d) 3 x + 2.3 x + 2
≥ 5 x⇔ 3x + 18.3x
≥ 5x
⇔ 21.3x≥ 5x⇔
x
5 3
÷
≤ 21 ⇔ x ≤
5 3
log 21
Tập nghiệm : S = (– ∞ ; 5
3
log 21]
e) 6 2x + 3 < 2 x + 7 3 3x – 1
⇔ 32x + 3 22x + 3 < 2x + 7 33x – 1
⇔ 22x 3x 7 2
+ + < 32x 33x 1−+
x – 4 < 3x – 4
⇔
x 4
2 3
−
÷
< 1 ⇔ x – 4 > 0 ⇔ x > 4 Tập nghiệm : S = (4 ; +∞)
DẠNG 2 : BIẾN ĐỔI VỀ CÙNG CƠ SỐ M6 Giải bất phương trình sau :
a) 2x + 1 < 4x – 1 b)
+
≥
c) ( 2 1)+ x 1 − ≥( 2 1)− x 1x 1−+
a) 2 x + 1 < 4 x – 1⇔ 2x + 1 < 22x – 2
⇔ x + 1 < 2x – 2 ⇔ x > 3 Tập nghiệm : S = (3 ; +∞)
b)
+
≥
≥
÷ ÷
⇔ x + 1 ≤ – 2x ⇔ 3x + 1 < 0 ⇔ x < – 1
3
Giải tích 12
Trang 33 THPT Lưu Tấn Phát
Tập nghiệm : S = (– ∞ ; – 1
3) c) ( 2 1)+ x 1− ≥( 2 1)− x 1 x 1−+
⇔ + − ≥ + − −+
x 1
⇔ x – 1 ≥ – x 1
x 1
− + ⇔ x – 1 +
x 1
x 1
− + ≥ 0
x 1+ − ≥
x 1
− ≤ < −
≥
Tập nghiệm : S = [– 2 ; – 1) ∪ [1 ; +∞)
DẠNG 3 : ĐẶT ẨN PHỤ
M7 Giải bất phương trình sau :
a) 4x – 3.2x + 1 + 8 ≥ 0 b) 25x + 5x < 30
c) 100x – 10x – 1 – 99 > 0
d) 9x – 5.3x + 6 ≤ 0
a) 4 x – 3.2 x + 1 + 8 ≥ 0 ⇔ (2x)2 – 6.2x + 8 ≥ 0
Đặt : t = 2x, t > 0 ¬ không đặt đk cũng được !
Bất phương trình trở thành :
t2 – 6t + 8 ≥ 0 ⇔ ≤t 2t 4
≥
Giao điều kiện nhận :
0 t 2
t 4
< ≤
≥
x x
< ≤
≥
x 1
x 2
≤
≥
Tập nghiệm : S = (– ∞ ; 1] ∪ [2 ; +∞)
b) 25 x + 5 x < 30 ⇔ (5x)2 + 5x – 30 < 0
Đặt : t = 5x, t > 0
Bất phương trình trở thành :
t2 + t – 30 < 0 ⇔ – 6 < t < 5
Giao điều kiện nhận :
0 < t < 5 ⇔ 0 < 5x < 5 ⇔ x < 1
Tập nghiệm : S = (– ∞ ; 1)
c) 100 x – 10 x – 1 – 99 > 0
⇔ (10x)2 – 10x
10 – 99 > 0
⇔ 10 (10x)2 – (10)x – 990 > 0
Đặt : t = 10x, t > 0
Bất phương trình trở thành :
10t2 – t – 990 >0 ⇔
99 t 10
t 10
< −
>
Giao điều kiện nhận :
t > 10 ⇔ 10x > 10 ⇔ x > 1 Tập nghiệm : S = (1 ; +∞)
d) 9 x – 5.3 x + 6 ≤ 0 ⇔ 9x – 5.3x + 6 ≤ 0
Đặt : t = 3x, t > 0 Bất phương trình trở thành :
t2 – 5t + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ t ≤ 3 Giao điều kiện nhận :
2 ≤ t ≤ 3 ⇔ 2 ≤ 3x
≤ 3 ⇔ log32≤ x ≤ 1 Tập nghiệm : S = [log32 ; 1]
M8 Giải bất phương trình sau :
a) 2x + 2– x – 3 < 0 b) 7x – 71 – x≥ 6 c) 31+ x + 31 – x
≤ 10 d) 5x x 2 − +5x x 1 − + 2 > 6
a) 2 x + 2 – x – 3 < 0 ⇔ 2x + 1x
2 – 3 < 0 Đặt : t = 2x, t > 0
Bất phương trình trở thành :
t + 1
t – 3 < 0 ⇔ t2 – 3t + 1 < 0
⇔ 3 5 2
− < t < 3 5
2 + (nhận)
⇔ 3 5 2
− < 2x < 3 5
2 +
⇔ log23 5 x log23 5
− < < + Tập nghiệm : S = (…)
b) 7 x – 7 1 – x ≥ 6 ⇔ 7x – 7x
7 – 6 ≥ 0 Đặt : t = 7x, t > 0 Ta được :
t – 7
t – 6 ≥ 0 ⇔ t2 – 6t – 7 ≥ 0 ⇔
t 7
≤ −
≥
Giao điều kiện nhận :
t ≥ 7 ⇔ 7x≥ 7 ⇔ x ≥ 1 Tập nghiệm : S = [1 ; +∞)
c) 3 1+ x + 3 1 – x
≤ 10 ⇔ 3.3x + 33x ≤ 10
Trang 44 THPT Lưu Tấn Phát
Đặt : t = 3x, t > 0
Bất phương trình trở thành :
3t + 3
t – 10 ≤0 ⇔ 3t2 – 10t + 3 ≤0
3≤ ≤ Giao điều kiện nhận :
1 t 3
x
1 3 3
3≤ ≤ ⇔ – 1 ≤ x ≤ 1 Tập nghiệm : S = [–1 ; 1]
x x
5 5
5
−
−
Đặt : t = 5x x 2− ¬ không đặt đk t > 0 cũng được
Bất phương trình trở thành :
t + 5
t – 6 > 0 ⇔ t2 – 6t + 5 ≥ 0 ⇔
t 1
t 5
≤
≥
t ≤ 1 ⇔ 5x x2− ≤ 1 ⇔ x2 – x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1
t ≥ 5 ⇔ 5x x 2 − ≥ 5 ⇔ x2 – x ≥ 1
⇔ x2 – x – 1 ≥ 0 ⇔
x 2
x 2
≤
≥
Tập nghiệm : S = [0 ; 1] ∪ (–∞ ; ?] ∪ [? ; +∞)
M9*.Giải bất phương trình sau :
a) 4.9x + 12x – 3.16x > 0
b) 4x + 6x≥ 10.9x – 1 c) 4x – 2.52x < 10x
a) 4.9 x + 12 x – 3.16 x > 0
Chia hai vế cho 16x ta được :
+ − >
÷ ÷
Đặt : t =
x
3 4
÷
, t > 0 Ta được :
4t2 + t – 3 > 0 ⇔
3 t 4
< −
>
Giao điều kiện nhận :
t > 3
x
3 4
÷
>
3
4 ⇔ x > 1 Tập nghiệm : S = (1 ; +∞)
b) 4 x + 6 x ≥ 10 9 x – 1⇔ 4x + 6x≥ 10.9x – 1
Chia hai vế cho 9x ta được :
+ ≥
÷ ÷
Đặt : t =
x
2 3
÷
, t > 0 Bất phương trình trở thành :
t2 + t ≥ 10
9 ⇔ 9t2 + 9t – 10 ≥ 0 ⇔
5 t 3 2 t 3
≤ −
≥
Giao điều kiện nhận :
t ≥ 2
x
2 3
÷
≥
2
3 ⇔ x ≥ 1 Tập nghiệm : S = [1 ; +∞)
c) 4 x – 2.5 2x < 10 x
Chia hai vế cho 10x ta được :
− <
÷ ÷
x
x
5
− <
÷
÷
Đặt : t =
x
2 5
÷
, t > 0 Ta được : 2
t
− < ⇔ t2 – t – 2 < 0 ⇔ – 1 < t < 2 Giao điều kiện nhận :
0 < t < 2 ⇔ 0 <
x
2 5
÷
< 1 ⇔ x > 0 Tập nghiệm : S = (0 ; +∞)
M11.Giải bất phương trình sau :
a) x3x 3
a) x 3 x 3
3 −2<
Đặt : t = 3x Ta được :
t 2− < ⇔
t 2− − < ⇔ 2t 6 0
t 2
− + <
−
⇔ <t 2t 3
>
x x
<
>
3
x log 2
x 1
<
>
Tập nghiệm : S = (– ∞ ; log32) ∪ (1 ; +∞)
Giải tích 12
Trang 5><
5 THPT Lưu Tấn Phát
Đặt : t = 3x ¬ không đặt đk t > 0 cũng được
Bất phương trình trở thành :
t 5 3t 1+ ≤ − ⇔
t 5 3t 1+ − − ≤
⇔ (t 5)(3t 1)+2t 6− − ≤0 ⇔
< −
< ≤
1 t 3 3
⇔
< −
< ≤
x
x
(VN)
1 3 3
3
⇔ – 1 < x ≤ 1 Tập nghiệm : S = (– 1 ; 1]
PHỤ LỤC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
Dạng : ax2 + bx + c 0
x2 – x – 6 > 0 ⇔ >xx< −32
x2 – x – 6 ≤ 0 ⇔ – 2 ≤ x ≤ 3
x2 – 12 ≥ 0 ⇔ ≤ −
≥
x2 – 12 < 0 ⇔ −2 2< <x 2 2
x2 + 4x + 4 ≥ 0 ⇔ x ∈ IR
x2 + 4x + 4 ≤ 0 ⇔ x = – 2
x2 + 4x + 4 > 0 ⇔ x ≠– 2
x2 + 4x + 4 < 0 (vơ nghiệm)
x2 – x + 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ IR
x2 – x + 1 ≤ 0 (vơ nghiệm)
x2 – x + 1 > 0 ⇔ x ∈ IR
x2 – x + 1 < 0 (vơ nghiệm)
BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THƯƠNG
Q(x) 0
−
x 2
x 1 > 0 ⇔ >xx 1< −2
−
x 2
x 1 ≤ 0 ⇔ – 2 ≤ x < 1
−
2
⇔ – 4 ≤ x ≤ 3 hoặc x > 5
S = [– 4 ; 3] ∪ (5 : +∞)
+
− 2 3 o o
x VT
+
− 2 3 2 3
o o
x VT
+
− 2 o
+
x VT
+
x VT
+
− 2 o
+
x VT
1
+
− 4 o
+
x VT
5
3
Trang 66 THPT Lưu Tấn Phát
Giải tích 12