Tải Đề thi Olympic cụm trường THPT Ba Đình - Tây Hồ năm học 2011 - 2012 môn Toán lớp 11 - Đề thi Olympic

Tính tổng 2012 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT

BA ĐÌNH – TÂY HỒ

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011-2012

Môn Toán học - Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề thi gồm có 01 trang

Câu 1 (7 điểm):

a) Giải phương trình lượng giác: 3 2(sin  4x  cos ) tan4 x  x  cot x

b) Tính các giới hạn sau:

lim

3n

,

3

2 0

lim

x

B

x





Câu 2 (4 điểm): Cho dãy số ( ), un n * xác định bởi:

1 1, 2 2

u  u  và un2  2 un1 un  2012  a n với tham số a R  .

a) Khi a  0 Xét dãy số ( ) vn với vn  un1 un, n N  * Chứng minh rằng dãy số ( ) vn là

một cấp số cộng Tính tổng 2012 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó

b) Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( ) un

Câu 3 (7 điểm): Trong không gian, cho 3 tia Ox Oy Oz , , đôi một vuông góc với nhau A, B,

C lần lượt là các điểm di động trên các tia Ox Oy Oz , , sao cho:

k

OA  OB  OC  với k là một hằng số dương.

a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác nhọn và trực tâm H của tam giác ABC luôn cách O một khoảng không đổi.

b) Chứng minh rằng: S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA trong đó SABC, SOAB, SOBC,

OCA

S lần lượt là diện tích các tam giác ABC OAB, ,OBC OCA, .

c) M là điểm thuộc miền trong tam giácABC (M không thuộc các cạnh của tam giác) Gọi

, ,

   lần lượt là các góc hợp bởi đường thẳng OM và các đường thẳng OA, OB, OC.

Chứng minh rằng:

4

Câu 4 (2 điểm): Cho dãy số   an với *



n N , gồm các số tự nhiên, được xác định như sau:

1 2

a , an1  ( n  1) an  1, *

  n N .

Với mỗi n N  *, xét a n 1 điểm khác nhau cùng nằm trên một mặt phẳng, trong đó không

có 3 điểm nào thẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối hai trong a n 1 điểm này được tô bằng một

trong n màu khác nhau Chứng minh rằng, tồn tại tam giác có đỉnh là ba trong a n 1 điểm

đã cho và các cạnh đều được tô cùng một màu

HẾT

-Họ và tên Thí sinh: ……… Số Báo danh: ………