a) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao và.. Cho hình chóp SABC có và tam giác ABC[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi:4/4/2013
2
x k x k k
Câu 1 a) Giải phương trình:
b)Tính giới hạn sau
Câu 2 a) Cho khai triển:
2 0
20 13
2 1 1 2.3 1 3.4 1 2012.2013 lim
2.3 1 1 3.4 1 2012.2013 2012.2013 1
x
L
x
Chứng minh đẳng thức sau:
0
n x
b) Tính tổng:
2011.2012
2
L
1
Câu 3 a) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao và
Tính diện tích tam giác ABC.
11 11 11 2 110
0 1 2 110
x x a ax ax a x
b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn Tính các góc của tam giác
đó khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
11
11 11
11 0
k
11 11
C
11
11 2 110
11 0 1 2 110 0
(2) k k1k
k
VP C x a ax ax a x
Câu 4 Cho hình chóp SABC có và tam giác ABC
vuông tại B Biết và góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng với Tính độ dài SC
theo a
11
0 1 2 3 10 11
11 0 111 11 2 11 3 11 10 11 11
Ca Ca Ca Ca Ca Ca Tìm
HẾT
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay,
- Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh: ………
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11
1a)
3,0
điểm
1 1
1!
.
Điều kiện: (*)
0,5
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
2 2
k k k k
kC kC
k k n n
n n S C C C nC
ÐÏ#ࡱ#á################;###þÿ #################
###################þÿÿÿ########ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
0,5
ÐÏ#ࡱ#á################;###þÿ
#####################################þÿÿÿ########ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
0,5
TH1:
0,5
ÐÏ#ࡱ#á################;###þÿ #################
###################þÿÿÿ########ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
TH2:
ÐÏ#ࡱ#á################;###þÿ
#####################################þÿÿÿ########ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
0,5
Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm
0,5
Trang 33,0
điểm
2 0
2 1 1 2.3 1 3.4 1 2012.2013 lim
2.3 1 1 3.4 1 2012.2013 2012.2013 1
x
L
x
1,0
* 0
1 1
x
Chứng minh công thức: (1)
1,0
Áp dụng (1) ta thu được
2011.2012
1 2 3 2012 2011.1006 2023066
2
1,0 2a)
2,5
điểm
1
x x 111
Xét từ khai triển trên nhân hai vế với ta có:
11 11 11 2 110
(2)
1,0
11
11 11 11 0
k
0,5
11
0
k
Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh
1,0
2b)
2,0
điểm
1 1
1 !
Ta có (3)
0,5
2 2
Áp dụng 2 lần công thức (3) ta được:
0,5
Cho k chạy từ 1 đến n rồi cộng vế các đẳng thức trên ta có
1
n n
0,5
1
1
1
n
n S
Vậy
0,5
3a) Xét hai trường hợp:
+) B và C không tù Khi đó
BB BC
CBB
1
A
B
C
B
’ C
’ H
Trang 4điểm
5
BB
A
+) B hoặc C tù
' '
BB CC B C
sin ,cos
Do nên và C tù
sin ,cos
2
5 5
2
S
Còn (giống trường hợp 1) Suy ra
0,5
3b)
2,5
điểm
1
0 cos
Ta có
0,5
cos 2Acos 2B2cos A B cos A B 2cocCcos A B 2cosC
(3)
cosC 0cosA B ( Do và ) 1
Dấu bằng trong (3) xảy ra khi hoặc
0,5
2 2 2
4 2cos 1 2 2cos 1 1 2cos
8cos C 2cos C 1 2cosC
0,5
2
16cos C 8cos C 1 1 2cosC 4 4cos C1 1 2cos C 44
(4)
3
Dấu bằng trong (4) xảy ra khi 3
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất khi
0,5 0,5
4)
2,5
điểm
Gọi H, K là hình chiếu của C lên SA, SB.
Ta chứng minh được
α =∠CHK Do đó
1,0
SC=x>0Đặt Trong tam giác vuông SAC ta có
1
CH2=
1
CA2+
1
CS2⇒ CH2
= 3 a2x2
3 a2+x2.
1,0
C A
B
S
H K x
a
Trang 5CK2= 2a2x2
2 a2
+x2.Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có
2 2
sin
CK CH
2(3 ) 13 3(2 ) 19
Ta có , vì x > 0 Vậy
0,5 5)
2,0
điểm
*
0,
n
a n
1
2
1
n
Dễ thấy Từ giả thiết ta có
0.5
*
n
1 1 4
n n
y a
y Với mỗi , đặt ta có và
2
n
n
1,0
n
2 2
2 2
n
n n a
n n
Do đó
0,5
Lưu ý: Mọi cách giải khác mà đúng đều cho điểm tương ứng