Toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12

b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC. a) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH.. b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB.[r]

Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Vectơ chỉ phương- vectơ pháp tuyến của đường thẳng:

+Vectơ u  0 đgl vectơ chỉ phương của đthẳng  nếu u có giá song song hoặc trùng với đường thẳng 

+Vectơ n  0 đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu n vuông góc với vectơ cp của đường thẳng 

+ Nếu vectơ u là một vectơ chỉ phương của đthẳng  thì ku k ( 0)



cũng là một vectơ chỉ phương của đthẳng 

+ Nếu vectơ n là một vectơ pháp tuyến của đthẳng  thì kn k ( 0)



cũng là một vectơ pháp tuyến của đthẳng 

+ Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương và vô số vectơ pháp tuyến

+ vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của cùng một đường thẳng thì vuông góc với nhau

II Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng:

a.Định nghĩa:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng  đi qua điểm

 0; 0

M  x y và nhận uu u1; 2 u0

làm vectơ chỉ phương Khi đó:

Phương trình tham số của đường thẳng là:

 

t R









Phương trình chính tắc của đường thẳng là:

0 0  

x x y y

u u

b.Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng:

+Nếu đường thẳng  có vectơ chỉ phương uu u1; 2 với u  thì hệ số góc1 0

đường thẳng  là

2 1

u k u



+Nếu đường thẳng  có hệ số góc k  vectơ chỉ phương của đường thẳng 

là u1;k

III Phương trình tổng quát của đường thẳng:

a.Định nghĩa:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng  đi qua điểm

 0; 0

M  x y và nhận na b;  a2 b2 0

làm vectơ pháp tuyến Khi đó:

Phương trình tổng quát của đường thẳng  có dạng:

 

0

a x x b y y

ax by c



Chú ý 1 :

+ Mọi đường thẳng đều có pttq dạng: ax by c  0với a2 b2 0

, trong đó: na b;  là một vtpt

+Một đthẳng hoàn toàn được xác định khi biết được một điểm và một vtpt của nó

Chú ý 2: Các trường hợp đặc biệt:

+ Đường thẳng  song song với trục hoành Ox và cắt trục tung tại điểm

0;  :

M  m   y m

+ Đường thẳng  song song với trục tung Oy và cắt trục hoành tại điểm

 ;0 :

N  n   x n

+ Đường thẳng  cắt với trục hoành Ox tại điểm A a ;0và cắt trục tung

tại điểm B0;b  : a x  b y 1: Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

IV Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng  và 1  lần lượt có phương trình tổng quát là:2

1:a x b y c1  1  1 0

2 :a x b y c2  2  2 0

Cách 1: Tọa độ giao điểm của  và 1  (nếu có) là nghiệm của hệ 2

phương trình:

0 0

a x b y c

a x b y c





+ Nếu hệ (*) có một nghiệm (x 0 ;y 0 ) thì  cắt 1  tại điểm 2 M x y 0; 0

+ Nếu hệ (*) có vô số nghiệm thì   1 2

+ Nếu hệ (*) vô nghiệm thì  //1 2

Cách 2:Lập tỉ số nếu:

+

a b

a b   cắt 1 2

+

a b c   // 1 2

+

a b c    1 2

V.Góc giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng  và 1  lần lượt có phương trình tổng 2

quát là:

1:a x b y c1  1  1  có vectơ pháp tuyến 0 n 1 a b1; 1

2 :a x b y c2  2  2  có vectơ pháp tuyến 0 n2 a b2; 2



Gọi  

^

    Khi đó ta có:

cos cos n n; n n

n n

a a b b

a b a b





 

 

 

Chú ý : + nếu 1 / / hoặc 2   thì 1 2  

^

0

+   1 2 n 1  n2  a a1 2 b b1 2 0

+ nếu 1: y k x m 1  1 và 2 : y k x m 2  2thì    1 2 k k1 2 1

VI.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

a.Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm

 0; 0

M  x y và đường thẳng :ax by c  0 Khi đó:

d M ,  ax0 2by0 2 c

 



Chú ý : + Nếu M   thì d M   ,  0

+ Nếu 1 / / thì 2 d 1, 2 d A ,2 với A là điểm bất kì nằm trên đường thẳng 1

B.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng  biết:

a  qua A  ( 2;1)và vectơ chỉ phương u    2;1

b  qua B (0;4)và vectơ pháp tuyến n   1; 3

c. qua C (4; 6) và có hệ số góc

2 5

k 

d  qua hai điểm M  ( 1;4);N 5; 5 

e  qua E (2;1)và song song với trục Ox

f  qua F (2; 11) và vuông góc với trục Ox

g  qua E  ( 3;1)và song song với trục Ox

h  qua H (6;1)và song song với trục Oy

Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  biết:

a  qua A   ( 3; 7)và vectơ pháp tuyến n     2; 1

b. qua A (2;1)và vectơ chỉ phương u  2;7

c  qua hai điểm M (1;4);N 0; 5 

d. qua P (4; 3) và có hệ số góc

2 7

k 

e  cắt trục hoành tại điểm E (2;0) và cắt trục tung tại điểm F (0; 5)

f  qua điểm A 2,3và vuông góc với MN biết M  ( 1;4);N 2; 5 

g  qua điểm A 3;1và song song với trục Ox

h  qua điểm B 3; 1 và vuông góc với trục Oy

Bài 3: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng

 trong mỗi trường hợp sau:

a)  đi qua điểm A3;0 và B1;3

b)  đi qua N3;4 và vuông góc với đường thẳng

1 3 ' :

4 5

d

 





 

Bài 4:Cho tam giác ABC biết A2;0 , B0;4 , (1;3) C Viết phương trình tổng

quát của

a) Đường cao AH

b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC

c) Đường thẳng AB

d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB

Bài 5:Cho điểm A 1; 3 Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua

A và

a) Vuông góc với trục tung

b) song song với đường thẳng d x: 2y 3 0

Bài 6: Cho tam giác ABC biết A2;1 , B1;0 , (0;3) C

a) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH

b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB

c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC

d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A và song song với đường thẳng

BC

Bài 7: Tìm tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC biết:

Bài 8: Viết phương trình 3 cạnh của tam giác ABC biết: ABC có đỉnh

3; 1

A   , đường cao BH : 8x y  10 0 ,đường trung bình song song với BC

là d : 2x y  1 0

Bài 9: Cho ABC cân tại C có A (1;3), đường cao

BH x y  AB x y   Tìm B,C

Bài 10: Cho ABC có đỉnh A (3;5), đường cao BH : 2x 5y 3 0;đường trung tuyến CM x y:   5 0; .Tìm B và phương trình các cạnh của ABC

Bài 11: Cho ABC biết AB: 4x y  12 0 , các đường cao

BH x y  AH x y  ,viết phương trình hai cạnh còn lại và

đường cao thứ 3 của ABC

Bài 12 Cho hình chữ nhật 2;0

p

F 

  có phương trình của , đường thẳng AD qua

gốc tọa độ O , và tâm hình chữ nhật là 2 2 Viết phương trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật

Bài 13 Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình  

12 2

2

p

d F



và p 16.Viết phương trình hai cạnh còn lại biết tâm hình bình hành là I3;1

Bài 14 Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau

a) 1:x y  2 0; 2 :x y  3 0

b) 1: x 2y 5 0; 2 : 2x4y 10 0

c) 1: 2x 3y 5 0; 2 :x 5 0

d) 1: 2x3y 4 0; 2 : 4 x 6y 0

Bài 15 Cho hai đường thẳng 1: (m 3)x2y m 2  1 0 và

 2

a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của  và 1  trong 2

các trường hợp m 0;m  1

b) Tìm m để hai đường thẳng song song với nhau

Bài 16 Cho hai đường thẳng 1: 3x y  3 0, 2 :x y   và điểm2 0

(0;2)

M

a) Tìm tọa độ giao điểm của  và 1  2

b) Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và cắt  và 1  lần lượt tại A và 2

B sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AM

Bài 17: Cho hai đường thẳng có phương trình

,với a2 b2 0

a) Tìm quan hệ giữa a và b để  và 1  cắt nhau2

b) Tìm điều kiện giữa a và b để  và 1  cắt nhau tại điểm thuộc trục hoành.2

1:kx y k 0, 2 : 1 k x 2ky 1 k 0

Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng  luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k.1

b)  luôn cắt 1  Xác định toạ độ giao điểm của chúng.2

Bài 19 Cho đường thẳng : 5x3y 5 0

a) Tính khoảng cách từ điểm A ( 1;3) đến đường thẳng 

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song  và ' : 5x3y  8 0

Bài 20: Cho 3 đường thẳng có phương trình

1:x y  3 0; 2 :x y  4 0; 3 :x 2y  0

Tìm tọa độ điểm M nằm trên  sao cho khoảng cách từ M đến 3  bằng 2 lần 1

khoảng cách từ M đến  2

Bài 21: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trong các trường hợp

sau:

a) M(1; 1); : d x y  5 0 b) M(3;2)và d là trục 0x

c) M( 3;2); 2 x3 d)

2 2 (5; 2); :

5

 



 

Bài 22: Cho hai đường thẳngd1: 2x 3y 5 0; d2 : 3x2y 2 0 Tìm M nằm trên ox cách đềud và 1 d 2

Bài 23: Cho hai đường thẳng d1: 2x 3y 1 0; d2 : 4 x6y 3 0

a) Chứng minh rằng d1 / / d 2

b) Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng d và 1 d 2

c) Viết phương trình đường thẳng  song song và cách đều d và 1 d 2

Bài 24 Xác định góc giữa hai đường thẳng trong các trường hợp sau:

a)

 

7 5

x t





 





'

'

t t





Bài 25 Tìm m để góc hợp bởi hai đường thẳng 1: 3x y  7 0 và

    một góc bằng 300

Bài 26 Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng  và 1  trong các trường hợp sau:2

1 3

2

 



 



b/ 1:x my  1 0; 2 :x y 2m 1 0

Bài 27: Cho đường thẳng : 3x 4y 12 0

a) Tìm tọa độ điểm A thuộc  và cách gốc tọa độ một khoảng bằng bốn

b) Tìm điểm B thuộc  và cách đều hai điểm E5;0 , F3; 2 

c) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M 1;2 lên đường thẳng 

Bài 28:Cho hai đường thẳng

' 1

1

y t

 







a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm A  1;0 qua đường thẳng 

b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với ' qua 

Bài 29 Cho tam giác ABC có A(1; 2), B5;4 , C2;0 Hãy viết phương trình đường phân giác trong góc A