Toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12

Kiến thức cần nhớ TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ. I.[r]

Kiến thức cần nhớ

TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ

I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Oxyz: Gồm 3 trục

x Ox y Oy z Oz vuông góc từng đôi một tại điểm O,

trong đó:

+Trục

'

x Ox

có vectơ đơn vị: i 1;0;0



+Trục

'

y Oy

có vectơ đơn vị: j 0;1;0



+Trục

'

z Oz

có vectơ đơn vị: k 0;0;1



+

1

i  j k 

+ i j i k. j k. 0

   

+ Gốc tọa độ:O 0;0;0

II.TỌA ĐỘ VECTƠ

1.Định nghĩa: u x y z ; ;  u xi y j zk   

2.Công thức:

Trong kg Oxyz,cho: a( ; ; ),a a a1 2 3 b( ; ; )b b b1 2 3

a/ Tọa độ vectơ tổng:

a b   a b a b a b

b/Tích của 1 số thực k với 1 véc tơ:

ka ka ka ka ( k  R )

c/ Hai vectơ bằng nhau:









d/Điều kiện 2 vectơ cùng phương:

,

a b cùng phương  a kb ;b  0

3

a









e/Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

a b a b a b a b

f/Độ dài vec tơ:

a  a a a

g/ Điều kiện 2vectơ vuông góc

0

ab a b   a b1 1a b2 2a b3 3 0

h/Góc giữa 2 vectơ a0;b0 :

  .

cos ,

a b

a b

a b



 

 

 

TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ.

ĐN

: kg Oxyz cho ax y z1; ;1 1

, bx y z2; ;2 2

a b





Tính chất: [ , ]a b  b a, 

[ , ]a b  a[ , ]a b  b[ , ]a b  a b .sin , a b 

a b , cùng phương  [ , ]a b  0

Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:

,

a b và c đồng phẳng [ , ]. a b c    0

III TỌA ĐỘ ĐIỂM

1 Định nghĩa: M x y z ; ;   OM  xi y j zk 

Chú ý: Tọa độ của OM

cũng chính là tọa độ của điểm M

1 1 2 2 3 3

a b a b a b



2 Công thức:

Cho các điểm ( ;A x y z A A; ), ( ;A B x y z ,… B B; )B

a/Tọa độ vectơ:AB(x B  x y A; B  y z A; B  z A)

b/Khoảng cách giữa 2 điểm A,B (độ dài đoạn thẳng AB)

AB = AB

=

(x B x A) (y B y A) (z B  z A)

c/Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn AB

A B A B A B

d/Tọa độ trọng tâm tam giác

G trọng tâm tam giác ABC

A B C A B C A B C

MỘT SỐ ỨNG DỤNG và CÔNG THỨC

1 Chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng; không thẳng hàng:

 3 điểm A,B,C thẳng hàng

AB AB AB

AC AC AC

AB k AC AB cp AC

hoặc: 3 điểm A,B,C thẳng hàng 

AB AC

3 điểm A,B,C không thẳng hàng

 AB



k AC

(AB khong cp AC )

hoặc:3 điểm A,B,C không thẳng hàng  AB AC,   0

2.D x y z ; ; 

là đỉnh hình bình hành ABCD  AD BC

3.Diện tích tam giácABC:

1

2

ABC

S  AB AC

 

4.Diện tích hình bình hành ABCD:SABCD  AB AD, 

 

hoặc:SABCD 2SABC AB AC, 

 

5 Chứng minh 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng, không đồng phẳng

4 điểm A,B,C,D đồng phẳng AB AC AD, . 0

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

4 điểmA,B,C,D không đồng phẳng  AB AC AD, . 0

   (A,B,C,D là đỉnh tứ diện ABCD)

6.Thể tích tứ diện ABCD:

1

6

ABCD

  

7.Thể tích hình hộp ABCD.A ’ B ’ C ’ D ’:

' ' ' '

'

ABCD A B C D



 

KHOẢNG CÁCH

CÔNG THỨC GÓC

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hai vectơ ;a b

  tạo với nhau một góc 120 và 0 a 3; b 5

Tính: a b ; a b

Bài 2: Cho 3 điểm: A1;0; 2 ;  B2;1; 1 ;  C1; 2;3  Tìm toạ độ điểm M sao cho:

AM  AB BC OM 

Bài 3: Choa1; 2;0 , b2;0; 1 

, tính cos của góc hợp bởi 2 vectơ ,a b

 

?

Bài 4: Choa1; 2; 1 ,  b2;3; 1 ,  c  1; 2;0 

, tìm tọa độ của vectơ ,u v

  biết u2a 3b c  ,

2v i a   3b c

    

Bài 5: Xét sự đồng phẳng của các vectơ sau:

a u 4;3; 4 ; v2; 1; 2 ;  w 1; 2;1

b u0;1;2 ; v1; 1;1 ;  w4; 2;3



c u3;1;3 ; v2;0;1 ; w4;5;2

Bài 6: Tìm m để các vectơ sau đây đồng phẳng:

a u2; 1;1 ;  v1;2;1 ; w m ;3; 1 



b u1; 2;3 ; v2;1;m w; 2; ;1m 

Bài 7: Tìm m để hai vectơ sau vuông góc với nhau:

a u1; ;1 ;m  v2;1;3

b u1;log 2;3 m v;2;log 3;32 

Bài 8: Cho a2 2; 1; 4 

.Tìm vectơ b



cùng phương với a

 biết a b . 10

 

Bài 9:Cho A2;5;3 ; B3;7;4 ; C x y ; ;6

, tìm x,y để 3 điểm A, B, C thẳng hàng?

AB =

AB

=

(x B  x A) (y B  y A) (z B  z A)

9.Góc giữa 2vectơ a0;b0 :

Gọi  a b , 

  .

a b

a b

a b

 

 

 

a b a b a b



Bài 10: cho tam giác MNP biết: M1;1;1 ; N2;3; 4 ; P7;7;5 Tìm tọa độ điểm Q sao cho MNPQ là hình

bình hành?

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

* Phương trình mặt cầu:

Dạng 1:Mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kính r có phương trình (S):x a 2y b 2z c 2 r2

Mặt cầu tâm O(0;0;0), bán kính r có phương trình (S): x2y2z2 r2

Dạng 2: (S): x2y2z2 2ax 2by 2cz d  ; điều kiện 0 a2b2c2 d0

là phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính r a2b2c2 d.

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương trình của mặt cầu, hãy xác định tâm và

bán kính của mặt cầu đó

a x2y2 z22x y   b 1 0 3x23y23z2 2x0

c x2y2z28x 2y  d 1 0 x2y2z2 4x 8y2z 4 0

e 3x23y23z26x3y15z 2 0

Bài 2: lập phương trình của mặt cầu (S) trong các trường hợp sau đây:

a (S) có tâm (5; 4;3)I  và có bán kính R = 2

b (S) có tâm (1; 2;3)I  và đi qua điểm (2;3; 4)A 

c (S) đi qua 4 điểm ( 1;0; 2); (0; 4;0); ( 3;1;0); (1;1;1)A  B C  D

d (S) có tâm (4; 4; 2)I  và đi qua gốc toạ độ

e (S) có đường kính AB với (2; 3;0); ( 1;1;4)A  B 

Bài 3: Định m để các phương trình sau đây là phương trình của mặt cầu:

a x2y2z22mx4my 5mz m  2 0

b x2y2z22(m1)x 2(m1)y (2m1)z4m210 0