Toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12

[r]

Bài 1 : GIỚI HẠN DÃY SỐ

A LÝ THUYẾT :

Định lý :

 Nếu u n v n n,limv n  0 limu n 0

 lim cc  limu n  L limu n L

 limu n  L lim3u n 3 L

;

limu n L u, n   0 n L0,lim u n  L

 Nếu dãy ( )u là cấp số nhân lùi vô hạn ( n q 1

) thì tổng của cấp số nhân là:

1

n

u

q





1

n

u

u

Một số kết quả :

Các dãy số có giới hạn bằng 0

3

1

lim 0

lim 0; lim 0

n



lim n 0

q  nếu q 1

*

1

lim k 0,k N

c

n 

Các dãy số có giới hạn vô cực:

3

lim lim ; lim

n



lim n

q  nếu q 1;

*

limn k ,k N

Quy tắc xét dấu :

Cho các dãy số ( ) , ( )u n v , ta có n

Định lý:

a) Nếu limu  ,lim n v  thì n

limu n limv n lim u v n n





 

 



 



 



 

 

 b) Nếu limu  ,lim n v n   thì L 0

limu n Dấu của L lim u v n n





 

 











 

 

 c) Nếu limu n   ,limL 0 v  thì n 0

n

u v



















 

 



B BÀI TẬP

Bài 1: Tìm các giới hạn sau :

1

2 1

lim

1

n

n





2

2

2

lim

3

3

3

4 lim

n



 

4

lim

6 1

n



1 lim

2

n n





4 lim

3 2

n



7

2 1 lim

6 1

n n n





8

lim

1

n n





2 3

lim

6 1

n

 Bài 2: Tính các giới hạn sau :

1

2

1 lim

2 3

n

n





2

lim

2 2

n

n



 

3

1 lim

1

n

n





4

2 lim

1

n



5

2 lim

2

n

 



6

2

1 1 lim

3 2

n n

 

 

7

3

2

1 lim

1 3

n n

 

Bài 3: Tính các giới hạn sau:

1 lim n 1 n

2 limn n23

lim n  4n n

4 lim n 1 n

5 3 2 3 

lim n  n n

6 lim3n 3 n1

7 lim n25n 1 n2 n

8 lim 3n2  2n 1  3n2  4n 8

9

2

1 lim

1

 

 

10 lim3n3 3n2 1 n24n

Bài 4: Tính các giới hạn sau:

1

1 4

lim

1 4

n

n





2

1 2

3 4

lim









3

lim

 

 

4

1 1

lim

3 6





 



2

2

lim

2n

n

Bài 5 Tìm các giới hạn sau:

1

sin

lim

1

n

n



sin10 cos10 lim

2





Bài 6: Tính các giới hạn sau:

1 3 5 (2 1)

lim

n n

1 2 3

lim

3

n n

   

3

1 2 3

lim

( 1)( 2)

n

4

1.2 2.3 n n( 1)



5

1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)

Bài 7: Tính các tổng sau :

1

1 1

2 4

S    

2

1 1 1

3 9 27

3 S  1 0,1 (0,1) 2(0,1)3

4 S  2 0,3 (0,3) 2(0,3)3