PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN DẠNG I

[r]

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN DẠNG I

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Với các hệ phương trình

sin sin

cos cos

tan tan

cot cot

x y

x y

x y

x y











  





  





  





  



Ta chuyển tổng f x  f y m thành tích bằng một trong các công thức

sin sin 2 sin cos

sin sin 2 cos sin

cos cos 2 cos cos

cos cos 2 sin sin

sin tan tan

cos cos

x y

  



Chú ý: Phương pháp chung là nếu biết tổng x y thì tìm hiệu xy thay ngược lại, bằng các công thức biến đổi, tức là:

- Ta đi biến đổi phương trình f x  f y  m g x1 y g  2 xym1  *

- Từ đó thay phương trình x y  vào (*) để tìm biểu thức còn lại

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:

 

2 3







 



a) Giải hệ phương trình với 1

2

m  b) Tìm m để hệ có nghiệm

Giải:

Biến đổi (1) về dạng:

 

2 cos cos

2 cos cos

2

m

x y

m

x y

m







a) Với 1

2

Do đó hệ phương trình tương đương với

4

4

2 3

2

2

4

3

x y

   

        





    

  







b) Hệ có nghiệm  3 có nghiệm  m 1

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  

 

2

2 2 4







   



Giải

Biến đổi (1) về dạng

 

2 sin sin

2

2

x y



   



Ta có

2

2

cos 1 2sin sin

2 cos 1 cos





Khi đó:

  1 2 2

2

3

4 4

4 4

x y

x y

k



    

   



 

   



Do đó hệ phương trình tương đương với

3

4

2 4

4 2 4

2 2 4

4

2 4 4

x y

x y







    





     









Ví dụ 3: Cho hệ phương trình

 

 

3

2 4







 

a) Giải hệ phương trình với m2

b) Tìm m để hệ có nghiệm

Giải

; cos 0

2

x

k l Z y

 

 

  







Biến đổi (1) về dạng

sin

2

2

m



        



a) Với m2 ta được:

      2

2 2

2 sin

1 sin

x y

x y







     

     

         



Do đó hệ phương trình tương đương với

5 2

12 12

3

3 4

2

3

x y







      













b) Hệ có nghiệm khi (3) có nghiệm

2

4

2

m

     

2

8 m 0

   luôn đúng

Vậy hệ có nghiệm với mọi m

 

1 4

x y



  







a) Giải hệ với m0

b) Tìm m hệ có nghiệm

Giải

Biến đổi (2) về dạng

1 cos 2 1 cos 2 2 1

cos 2 cos 2 1 2

2 sin sin 1 2

4

m

x y





a) Với m0, hệ có dạng

4

4 4

5 2

2 4

2

x k

x y

x y

x y







 

 

 







 







Vậy với m0 hệ có hai cặp họ nghiệm

b) Hệ có nghiệm khi:

 3 có nghiệm 2 1 1 1 2 1 2

2

m

m

Vậy hệ có nghiệm khi 1 2 1 2

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Giải các hệ phương trình:

3

2 sin sin 3

3

tan tan 1

)

4

cot cot 2

)

2

a

x y

b

x y

c

x y

d

x y









  







 









 









 









 



Bài 2: Cho hệ phương trình

sin sin

3





  

a) Giải hệ với m1

b) Tìm m để hệ có nghiệm

Bài 3: Cho hệ phương trình

tan tan

x y a

 



a) Giải hệ với 5

12

 và b2 b) Tìm điều kiện giữa a và b để hệ có nghiệm

Bài 4: Cho hệ phương trình  

3

x y



  





a) Giải hệ phương trình khi 2

8

m b) Xác định m để hệ trên có nghiệm

Bài 5: Giải và biện luận các hệ phương trình:

sin sin

)

cos cos

)

2

sin sin 1 cos

)

)

2 sin sin 2 sin 2

a

x y

b

x y

c

x y

d









  



  





 



 



