MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ CHỨA CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

Các công thức vận dụng a.. Khai phương một tích: A.[r]

Trang 1

- 1 - Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ CHỨA CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

I LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa căn bậc hai:

Với a0,















a x

x a

2 Các công thức vận dụng

a Hằng đẳng thức: A2  A

b Khai phương một tích: A.B  A B với A0,B0

c Khai phương một thương:

B

A B

A  với A0,B0

d Đưa thừa số từ ngoài vào trong và từ trong ra ngoài dấu căn

B

A

B

A  2 với A0 ( A2.B  A B với A0)

B A

B

A  2 với A < 0 ( A2BA B

với A < 0)

e Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

B

AB B

A

 với A.B0,B0

f Trục căn thức ở mẫu:

a)

B

B A

B

A  với B > 0

2

B A

B A C B

A

C









B A

B A C B

A

C









3 Định nghĩa căn bậc ba: x3 a  x3 a

4 Tính chất của căn bậc ba

a 3 3 3

.B A B

b

3

B

A

B

A  với B0

II CÁC DẠNG TOÁN

1 BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC

Dạng phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn

Ví dụ: Rút gọn biểu thức

x

x x x

x







1

2

với x0

Hướng dẫn giải

Trang 2

 

2

2 1 1

1 1

1

x x

 

 

Dạng phân tích mẫu thành nhân tử rồi quy đồng sau đó rút gọn

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức

2

1 :

1

1 1 1



















x x

x

x x

x

Với x0,x1

 

2

: 2

1

2

1

x



















Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

    với x0,x1

Trang 3

  

1

x









2 BÀI TOÁN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức

a) 4 2 3

6 2



 b) 3 2 6 6 3 3

 

2

3 1

2



b)

Tính tổng x + y

Ta có:

y y    x x 

x x    y y  Cộng (4) với (5) và thu gọn ta được

0

x      y x y x y

Trang 4

3 BÀI TOÁN CHỨNG MINH

Ví dụ 1: Chứng minh hiệu: 1 1

2 3 2 3

  là số hữu tỉ

2 3 2 3

  là số hửu tỉ

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 2

51 và

1 5 2



là hai số đối nhau

     

0 2



Vậy: 2

51 và

1 5 2



là hai số đối nhau

Ví dụ 3: Chứng minh tổng: 3 3

18 5 13  185 13 là một số nguyên tố

18 5 13 18 5 13

Ta có:

3

2

3

2

36 3

x

x x

3 0

x

   vì x23x120,x

3



x

18 5 13  185 13 là một số nguyên tố

4 BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

4.1 Một vài phương pháp cơ bản

a) Phương pháp nâng lũy thừa

Ví dụ 1: Giải phương trình

2x  3 5 8 (1)

Điều kiện: 3

2

x

(1) 2x  3 3 2x  3 9 2x  6 x 3

Đối chiếu điều kiện x3 thỏa mãn

Trang 5

Vậy x 3 là nghiệm của phương trình

Ví dụ 2: Giải phương trình

4x 1 x 1 x2 (1)

Điều kiện: x2

 1 4 1 2 1

2 4 2 2 1

  2  

     vì x2 hai vế đều không âm

2

7

x



 

2

7

x 

không thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình vô nghiệm

b) Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ: Giải phương trình

Điều kiện: x2

 

Với x       2 1 0 x 2 1 x 3 ta có

 1  x  2 1 x  2 1 2 Vì x  2 1 0 với x2

2 1

3

x

 

3



x thỏa mãn điều kiện

Với x     2 1 0 2 x 3 ta có

 1  x   2 1 1 x 2 2

2

2

 thỏa mãn với mọi 2 x3

Kết hợp hai trường hợp ta có: Nghiệm của phương trình là: 2 x3

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

8 x 3 5 x 3 5

u  x  u u   x

Trang 6

v  x  v v   x

Ta có hệ phương trình: 2 2

2 3 5

2

u v

v

 



 

 





 Thay giá trị của u, v ta tìm được nghiệm của phương trình là x4

4.2 Một vài phương pháp khác

a) Phương pháp sử dụng đối nghịch hai vế

2x 4x 3 3x 6x  7 2 2xx (1)

2x 4x 3 3x 6x 7 2 x1  1 3 x1    4 1 2 3

Dấu ‘=’ xảy ra khi x = -1

VP = -(x +1)2 + 3 3

Dấu ‘=’ xảy ra khi x = -1

Suy ra: 2x2 4x 3 3x2 6x  7 2 2xx2

2x 4x 3 3x 6x 7 2 2x x 3

Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình

b) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

2x  1 x 1

+) Với x > 0 ta có: 3 3

2x  1 1; 3 x 0 suy ra: VT = 3 3 3

2x  1 x 1 = VP Vậy phương trình vô nghiệm

+) Với x < 0 ta có: 3 2x3 11; 3 x 0 suy ra: VT = 3 2x3 13 x 1= VP

Vậy phương trình vô nghiệm

+) Với x = 0 ta có : VT = 3 2x313 x 1 = VP

Vậy Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

c) Phương pháp bất đẳng thức

2

7 x x 1 x 6x13 (1)

Điều kiện: 1x7

Ta có:  2  2 2

2a b b

a   với mọi a, suy ra b

4 1 7

16 1 7

2 1





















x x

x x x

x

Mặt khác : x26x13x3244

Vậy phương trình (1) tương đương với:

3 4

13 6 1

7x x  x2  x   x

Vì x = 3 thỏa mãn điều kiện

Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

BÀI TOÁN VỀ TỔNG ĐẶC BIỆT

Trang 7

Ví dụ 1: Tính tổng

2014 1

b) 1 12 12 1 12 12 1 12 12 1 1 2 1 2

Với mọi n  N * ta có:

2

1

n n



Do đó :

1 1.2013 1

2014 2013

2013

2014

2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4  2014 2013 2013 2014

Với mọi n  N * ta có:

 

Do đó

Trang 8

2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2014 2013 2013 2014

1

2014

1

2014

 

1.2013 2.2012 2012.2 2013.1

Hãy so sánh S và

2014

2013 2

Bất đẳng thức Cauchy viết dưới dạng: 1 1

a b

a b 

 với ab

Áp dụng ta có: S > 2.2013

2014

C BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Rút gọn biểu thức

x



Bài 2: Chứng minh rằng 3 2303 3 2303

27   27  là một số nguyên

Bài 3: Chứng minh rằng: x 3 2 1 3 2 1 là nghiệm của phương trình x33x20

Bài 4: Giải phương trình

a) 3x2 21x182 x27x7 2

b) x1 5x1 3x2

c) 3x2 6x7 5x2 10x14 42xx2

P có phải là số hữu tỉ không?

Bài 6: Chứng minh rằng

Bài 7: Chứng minh rằng: n1,nN thì:

 

23 2 4 35 4   n 1 n 



Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	723,59 KB