Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 của phương trình sao cho hệ thức đó không phụ thuộc m.. Chứng minh rằng: tứ giác AKHB nội tiếp và tứ giác HKNP là hình chữ nhật.[r]
Trang 1
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2004 – 2005
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 PHÚT
Bài 1: (2 Điểm)
1 Giải phương trình: x2 – 3x - 4 = 0
2 Giải hệ phương trình: 2( ) 3 1
x y y
x x y
Bài 2: (2 Điểm) Cho biểu thức: B = 2 2 . 1
1
a
1 Tìm điều kiện của a để biểu thức B có nghĩa
2 Chứng minh B = 2
1
a
Bài 3: (2 Điểm) Cho phương trình: x2 – (m+1)x + 2m - 3 = 0 (Với m là tham số)
1 Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
2 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 của phương trình sao cho hệ thức đó không phụ
thuộc m
Bài 4: (3 Điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O và d là
tiếp tuyến của đường tròn tại C Gọi AH và BK là các đường cao của tam giác; M, N, P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A, K, H, B xuống đường thẳng d
1 Chứng minh rằng: tứ giác AKHB nội tiếp và tứ giác HKNP là hình chữ nhật
2 Chứng minh rằng: HMP = HAC, HMP = KQN
3 Chứng minh rằng: MP = QN
Bài 5: (1 Điểm) Cho 0 < x < 1
1 Chứng minh rằng: x( 1 – x ) 1
4
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
2
2
(1 )
x
x x
- hết -
Trang 2ĐÁP ÁN
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2004 – 2005
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 PHÚT
Bài 1:
1 Giải phương trình: x2 – 3x - 4 = 0
Ta có: a – b + c = 1 –(-3) + (-4) = 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1, x2 = ( 4) 4
1
c a
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = -1, x2 = 4
2 Giải hệ phương trình:
x y y
x x y
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x = 1, y = -1
Bài 2:
1
a
.
1
a
a
(1)
1 Để biểu thức B có nghĩa thì:
0
0
1 0
1 0
a
a a
a a
2
B =
1
a
a a
Trang 3Vậy: B = 2
1
a
Bài 3:
Cho phương trình: x2 – (m+1)x + 2m - 3 = 0 (Với m là tham số)
2
m
Với m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
2 Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ta có: 1 2
1 2
1
x x m
x x m
Từ x1 + x2 = m + 1 m x1 x2 1 (1)
Từ x1.x2 = 2m – 3 1 2
1
3 2
Từ (1) và (2) ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2
1
2
x x x x x x x x
Vậy 2x1 2x2 x x1 2 5 là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m
Bài 4:
1 Ta có: AKB = AHB = 900
A, B, H, K cùng thuộc đường tròn đường kính AB hay tứ giác AKHB nội tiếp
Trong đườn tròn (O) ta có: ABC = ACN (1) (Góc nội tiếp và góc tạo bới tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)
d
O
Q P
N M
H K
C
B A
Trang 4Ta lại có: ABC = HKC (2) (Cùng bù với góc AKH )
Từ (1) và (2) suy ra: ACN =HKC KH // NP (3)
Mà: KN // HP (Cùng vuông góc với d) (4)
Mặt khác: KNP = 900 (5)
Từ (3), (4), và (5) ta có: tứ giác HKNP là hình chữ nhật (Hình bình hành có một góc vuông)
2 Ta có: AMC = 900 (AM d), AHC = 900 (AH BC)
AMC + AHC = 1800
Tứ giác AHCM nội tiếp
HMP = HAC (Cùng chắn cung CH) (6)
Chứng minh tương tự ta được BKCQ là tứ giác nội tiếp
KQN = KBC (Cùng chắn cung BC)
Mà KBC = HAC (cùng chắn cung KH trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHK)
Nên KQN = HAC (7)
Từ (6) và (7) suy ra: KQN = HMP
3 Xét MPH và QNK có:
MPH = KNQ = 900
HMP = KQN (Chứng minh trên)
PH = KN (Vì tứ giác HKNP là hình chữ nhật)
Do đó: MPH = QNK (Cạnh góc vuông – góc nhọn)
MP = QN
Bài 5: (1 Điểm)
1 Chứng minh rằng: x( 1 – x ) 1
4 Với 0 < x < 1
Ta có:
2 2
x x x x x x x
1
4
x x Khi
2
0
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
2
2
(1 )
x
x x
Với 0 < x < 1
Trang 5Từ câu 1 ta có: x( 1 – x ) 1
4
A =
2
2
(1 )
x
x x
=
x
2
0
x x
A 8.2 2 1 16
2
x x
2
x
x
Giá trị nhỏ nhất của A = 16 Khi:
1 (1 )
1 4
2 2
x x
x x
x
- hết -