[r]
Trang 1Cực trị hàm bậc ba
I,Tóm tắt lý thuyết:
1.Hàm số y f x ax3 bx2 cxd
)
2.Đạo hàm : y' f' (x) 3ax2 2bxc
3.Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số y f (x) có cực trị y f (x) có cực đại và cực tiểu f' (x) 0có hai nghiệm phân biệt ' b2 3ac 0
4.Kỹ năng tính nhanh cực trị:
B-ớc1:Thực hiện phép chia f (x) cho f ' x( ) ta có:
a
bc d x a
b c x
f a
b x x
f
9 3
3
2 ) ( ' 9 3
1 )
(
Tức là: f(x) q(x).f' (x) r(x)
B-ớc 2:Do
0 ) 2 ( '
0 ) 1 ( '
x f
x f
nên
) 9 ( 2 ) 3
( 3
2 ) 2 ( ) 2 ( 2
) 9 ( 1 ) 3
( 3
2 ) 1 ( ) 1 ( 1
a
bc d x a
b c x
r x f y
a
bc d x a
b c x
r x f y
.Hệ quả:Đ-ờng thẳng đi qua CĐ,CT có ph-ơng trình là:
9 ( ) 3
( 3
2
a
bc d a
b c
II.Các dạng bài tập:
Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị:
Bài tập:
Bài 1:Tìm m để hàm số : ( 6 ) ( 2 1 )
3
Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu ph-ơng trình y' (x) 0 có hai nghiệm phân
biệt x2 2mx (m 6 ) 0
có hai nghiệm phânbiệt ' m2 m 6 0 (m 2 ) (m 3 )
Bài 2:Tìm m để hàm số y (m 2 )x3 3x2 mx 5 có cực đại và cực tiểu
Giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu ph-ơng trình y' (x) 0 có hai nghiệm phân biệt
0 6
)
2
(
3 m x2 xm có hai nghiệm phân biệt
1 2 3
0 3 2
2 0
9 6 3
'
0
2
2
m m
m m
m
m
Bài 3:Tìm m để hàm số ( 2 ) ( 5 4 ) ( 1 )
3
điều kiện x1<-1<x2
Giải: yêu cầu bài toány' (x) x2 2 (m 2 )x ( 5m 4 ) 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2 1 y' ( 1 ) 3m 9 0 m 3
Bài 4:Tìm m để hàm số ( 3 ) 4 ( 3 ) ( )
3
m m x m x
m x
y đạt cực trị tại x1,x2 thỏa mãn
điều kiện -1<x1<<x2
Trang 2Giải: yêu cầu bài toány' (x) x2 2 (m 3 )x 4 (m 3 ) 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa
2 7 )
3 ( 1
0 7 2
0 3 2
2 1
0 ) 1 ( ' 1
0
m m
m m
S f
Bài 5: Tìm m để hàm số ( 2 ) ( 3 1 ) ( 5 )
3
Giải:
*Điều kiện cần:
Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 suy ra f' ( 2 ) 0 ta có f' (x) x2 2 (m2 m 2 )x 3m2 1 suy
ra m2 4m 3 0 m 1 ;m 3
*Điều kiện đủ:
Nếu m=3 thì f ' (x) 2x 16 f ' ( 2 ) 12 0 x CT 2
Nếu m=1 thì f ' (x) 2x 4 f ' ( 2 ) 0 nh-ng lúc đó ta có f' (x) (x 2 )2 0 x
Hàm số không có cực trị
*Kết luận:m=3
Dạng 2:ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu
Bài 1:Tìm cực trị và viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua cực đại,cực tiểu của hàm số
8 6 3
)
(x x3 x2 x
f
Giải:
.Ta có f' (x) 3 (x2 2x 2 )
3 1 2
3 1 1 0
2 2 )
( 0 ) (
x
x x
x x g x
f
suy ra hàm số y f (x)đạt cực trị tại x1,x2
.Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta có f(x) g(x)(x 1 ) 6 (x 1 ) do
0 ) 2 (
0 ) 1 (
x g
x g
nên
3 6 ) 1 2 ( 6 ) 2 (
2
3 6 ) 1 1 ( 6 ) 1 (
1
x x
f
y
x x
f
y
3 6 ) 2 (
3 6 ) 1 ( 0
3 6 ) 2 ( '
0 3 6 ) 1 ( ' )
1 (
6
)
(
'
x f f
x f f x
f
x f x
x
f
cd ct
.Ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua CĐ,CT là y 6 (x 1 )
Bài 2:Tìm m để hàm số f(x) 2x3 3 (m 1 )x2 6 (m 2 )x 1 có đ-ờng thẳngđi qua CĐ,CT song song với đ-ờng thẳng yaxb
Giải:
.Đạo hàm f' (x) 6 (x2 (m 1 )xm 2 )
f' (x) 0 g(x) x2 (m 1 )xm 2 0
Trang 3hàm số có CĐ,CT f' (x) 0hayg(x) 0 có hai nghiệm phân biệt g (m 3 )2 0 m 3
.Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta có
) 3 3 ( ) 3 ( )]
1 ( 2
)[
(
)
(x g x x m m 2x m2 m
f
Với m 3 thì g(x) 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2
do
0
)
2
(
0
)
1
(
x
g
x
g
nên
) 3 3 ( 2 ) 3 ( ) 2 ( 2
) 3 3 ( 1 ) 3 ( ) 1 ( 1
2 2
2 2
m m x m
x f y
m m x m
x f y
suy ra đ-ờng thẳng qua CĐ,CT là():y (m 3 )2x (m2 3m 3 )
ta có () song song với đ-ờng
a m
a a m
a a m
a m a m
m b
ax
y
3
0 3
0 )
3 (
0 , 3 )
3 (
3
2 2
vậy nếu a 0 thì không tồn tại m;nếu a<0 thì m 3 a
Bài 3: Tìm m để hàm số f(x) 2x3 3 (m 1 )x2 6m( 1 2m)x có cực đại và cực tiểu nằm trên
đ-ờng thẳng y 4x
Giải:
.Đạo hàm f' (x) 6 (x2 (m 1 )xm( 1 2m))
f' (x) 0 g(x) x2 (m 1 )xm( 1 2m) 0
hàm số có CĐ,CT f' (x) 0hayg(x) 0 có hai nghiệm phân
biệt
3
1 0
) 1 3 ( ) 2 1 ( 4 ) 1
.Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta có
) 2 1 )(
1 ( )
1 3 ( )]
1 ( 2
)[
(
)
Với
3
1
m thì g(x) 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2
do
0
)
2
(
0
)
1
(
x
g
x
g
nên
) 2 1 )(
1 ( 2 ) 1 3 ( ) 2 ( 2
) 2 1 )(
1 ( 1 ) 1 3 ( ) 1 ( 1
2 2
m m
m x m x
f y
m m
m x m x
f y
suy ra đ-ờng thẳng qua CĐ,CT là():y ( 3m 1 )2xm(m 1 )( 1 2m)
Ta có CĐ,CT nằm trên đ-ờng thẳng
1 2
1
; 1
; 0
2 1 3 0 ) 2 1 )(
1 (
4 ) 1 3 ( )
4 ( ) (
4
2
m
m m
m m
m x
y x
y
Bài 4: Tìm m để hàm số f(x) x3 mx2 7x 3 có đ-ờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu vuông góc với đ-ờng thẳng y 3x 7
Giải:
Hàm số có CĐ,CT f' (x) 0 có hai nghiệm phân biệt 'g m2 21 0 m 21
.Thực hiện phép chia f (x) cho f ' x( ) ta có
9
7 3 ] 21 [ 9
2 ] 9
1 3
1 )[
(
'
)
Với m 21thì f' (x) 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2
Trang 4do
0 )
2
(
'
0 )
1
(
'
x
f
x
f
nên
9
7 3 2 ) 21 ( 9
2 ) 2 ( 2
9
7 3 1 ) 21 ( 9
2 ) 1 ( 1
2
2
m x
m x
f y
m x
m x
f y
suy ra đ-ờng thẳng qua CĐ,CT là():
9
7 3 ) 21 ( 9
x m
ta có () vuông góc với đ-ờng thẳng y 3x 7
1 3 ) 21 ( 9 2
21 2
m m
Dạng 3:sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị
bài 1:Cho (cos 3 sin ) 8 ( 1 cos 2 ) 1
3
2 ) (x x3 a a x2 a x
f
1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiểu
2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2.CMR:x12+x22
18
Giải:
1.Xét ph-ơng trình: f' (x) 2x3 2 (cosa 3 sina)x 8 ( 1 cos 2a) 0
Ta có ' (cosa 3 sina)2 16 ( 1 cos 2a)
' (cosa 3 sina)2 32 cos2a 0 a
Nếu ' 0 thì
0 sin
0 cos 0
sin 3 cos
0 cos
a
a a
a
a
0 cos2a sin2a 1 0 1 vôlý
Từ đó suy ra ' 0 a f' (x) 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2 2.Theo định lý Viét ta có
) 2 cos 1 ( 4 2 1
cos sin
3 2 1
a x
x
a a
x x
Suy ra x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=( 3 sina cosa)2 8 ( 1 cos 2a) 9 sin2a 6 sinacosa 17 cos2a
Khi đó
BĐT:x12
+x22 18 9 sin2 a 6 sinacosa 17 cos2 a 18 (sin2 a cos2 a) 0 ( 3 sina cosa)2
luôn đúng
Bài 2: Cho f x x (m 1 )x (m 4m 2 )x
3
2 ) ( 3 2 2
1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
2.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1
3.Gọi các điểm cực trị là x1,x2.tìm max của A= x1x2 2 (x1 x2 )
Giải:
Đạo hàm f' (x) 2x2 2 (m 1 )xm2 4m 3
1.-5<m<-1
Trang 52.hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1 f' (x) 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa
3
) 2 3 ( ) 2 3 (
1 5
) 2 3 , 2 3 (
2 1
0 ) 1 ( ' 1
0 '
0 ) 1 ( ' 2
2 1
1
2 1
1
m m
m m
m m
S f
f
x x
x x
3.Theo định lý viét ta có
) 3 4 (
2
1 2 1
) 1 ( 2 1
2
m m
x x
m x
x
Khi đó A=
2
9 9 2
1 ] ) 4 ( 9 [ 2
1 ) 1 ( 2 2
3 4 )
2 1 ( 2 2
2
x x
Với m=-4 ( 5 ; 1 ) thì Max A=
2 9