của phương trình nào dưới đây.. A.[r]
Trang 1- PHẦN 1:
ĐÁP ÁN TỔNG ÔN:100 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 12
(TIẾP THEO)(đã gửi lần 5)
11.C 12.A 13.C 14.C 15.D 16.B 17.A 18.D 19.B 20.D 21.C 22.C 23.D 24.A 25.A 26.D 27.D 28.C 29.D 30.B 31.C 32.C 33.D 34.A 35.D 36.D 37.D 38.D 39.B 40.D 41.A 42.D 43.A 44.B 45.A 46.A 47.B 48.C 49.D 50.C
51 52.D 53.B 54.C 55.C 56.D 57.C 58.B 59.C 60.A 61.A 62.A 63.A 64.A 65.A 66.A 67.B 68.C 69.B 70.D 71.A 72.A 73.A 74.A 75.A 76.A 77.B 78.C 79.D 80.C 81.A 82.A 83.A 84.A 85.A 86.A 87.A 88.A 89.A 90.A 91.A 92.A 93.D 94.C 95.A 96.D 97.D 98.A 99.D 100.B
PHẦN 2:Các em xem thật kỹ phần kiến thức cơ bản của bài tích phân, xem các ví
dụ mẫu đã giải và làm bài tập áp dụng vào vở bài tập nhé, chúc các em học tốt
BÀI 2: TÍCH PHÂN
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên khoảng K và ,a b là hai số bất kì thuộc K Nếu
F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b F a được gọi là tích phân của
hàm số f từ a đến b và kí hiệu là d
b
a
f x x
Ta gọi: a là cận dưới, b là cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, f x dx là biểu thức
dưới dấu tích phân, x biến số lấy tích phân
Nhận xét :
a) Nếu a b thì ta gọi d
b
a
là tích phân của f trên đoạn a b ; b) Hiệu số F b F a còn được kí hiệu là b
a
F x Khi đó : d
b
b a a
f x xF x F b F a
c) Tích phân không phụ thuộc biến số, tức là:
d d d
f x x f t t f u u F b F a
Trang 22) Tính chất: Cho k là hằng số:
e) Tính chất chèn cận: ( ) ( ) ( )
f x dx f x dx f x dx
VD1:
1
1 3 3 3
2
1 0 1 d
x
I x x
VD2:
Cho 2 5
f x x f x x
1
d
I f x x
I f x x f x x f x x
VD3: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;10 thỏa mãn 10
0
d 7
f x x
; 6
2
d 3
f x x
giá trị của biểu thức 2 10
P f x x f x x
f x x f x x f x x f x x f x x P P
3 Tích phân của hàm chứa dấu trị tuyệt đối
Tính tích phân ( )
b
a
I f x dx
+ Bước 1: Xét dấu của f x trên khoảng a b ;
- Giải phương trình f x 0 x x i a b;
- Lập bảng xét dấu của f x trên khoảng a b ;
+ Bước 2: Chèn cận x i bỏ dấu trị tuyệt đối (căn cứ vào BXD) ta được các tích phân cơ bản
i
i
x
I f x x f x x f x x
VD:
2
2 4
2 3 d
Trang 3-
1
x
x
BXD:
x 4 3 1
2
2
x x 0 0
Suy ra:
7 32 7 46
B MỌT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
1) PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1 ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
Yêu cầu : Tính tích phân 1 2 d
b
a
I f x f x x
Phương pháp:
+ Biến đổi về dạng d
b
a
I f u x u x x
+ Đặt t u x dt u x d x
+ Đổi cận:
x a t u a t
x b t u b t
+ Khi đó: 2
1
d
t
t
I f t t là tính phân đơn giản hơn
VD1:
2
3
1
2
2 x=0 t=2
2 x=1 t=3
2 2 5 2 5 2 5 10
t x
dt xdx
t
VD2:
Trang 47 7
2
3
3 2
2
2
2 3
1
2
1 x=0 t=1
1 x= 7 t=2
3 2
t
VD3: Biết
3
2 2
d ln 2 ln 3 1
x
, trong đó ,a b Khi đó, a và b đồng thời là hai nghiệm
của phương trình nào dưới đây?
A x2 4x 3 0 B. 2 2 3 0
4
x x C 2 3 0
4
x x D x2 2x 3 0
2
8 8
3 3
3
1 x=2 t=3
2 x=3 t=8
ln ln 8 ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3
,
dt
t
VD4: Biết
1
2 0
d 3ln
x
trong đó ,a b là hai số nguyên dương và a
b là phân số tối
giản ính ab ta được kết quả
A ab 5 B ab27 C ab6 D. ab12
2 2
4
3 x=0 t=3
x=1 t=4
4, 3
Trang 5-
VD5: Cho
1
ln
d
ln 2
e
x
có kết quả dạng I lnab với ,a b Q Khẳng định nào sau đây đúng:
A 2a3b3 B. 1 b 1
a C 4a2 9b2 11. D 2 a b1
3
ln 2 x=1 2
1
x=e 3
3 1
ln
2 3
,
x
x
t
VD6: Cho 9
0
d 27
3
3 d
A I 27 B I 3 C I 9 D I 3
1
3
3 x=-3 t=9
3 x=0 t=0
.27 9
VD7: Cho f x là hàm số liên tục trên và 2
0
f x x
và 3
1
2 d 10
f x x
của 2
0
3 d
I f x x
A I 8 B. I 5 C I 3 D I 6
Trang 6
1
2
2 x=1 t=2
2 x=3 t=6 1
2
1
3
3 x=0 t=0
3 x=2 t=6
5 20 5
VD8: Cho 1
0
0
sin 3 cos3 d
A I 5 B I 9 C. I 3 D I 2
1 0
1 sin 3 cos3xd sin 3 3cos3xd
3 sin 3 x=0 t=0
3 os3x x= t=1
6
dt 9 3
VD9: Cho biết 1
1 2
1 d 2
6
sin 2 sin d
A I 2 B
3
I
2
Trang 7-
sin 2 sin d 2sin sin osxd
1 sin x=
dt=cosxdx x= 1
2
1
2
t
2) PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2 ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
Yêu cầu: Tính tích phân d
b
a
I f x x
Phương pháp: Đặt x t dx t dt
2
+ Khi đó: 2
1
d
t
t
I f t t t
Một số cách đổi biển cần nhớ:
Gặp 2 1 2
a x đặt x atan ,t t 2 2;
Gặp 2 2
2 2
VD1: Tính tích phân
1 2 0
1 d 3
x
2 2
Đổi cận: x 0 t 0; 1
6
Suy ra:
2 2
t
VD2: Tính tích phân
1
2 0
1
I x dx
2 2
Trang 8Đổi cận: x 0 t 0; 1
2
Suy ra:
t
3) PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
Công thức từng phần:
b a
u x v x xu x v x v x u x x
Viết gọn: d d
b a
Áp dụng: Tính tích phân d
b
a
I f x x
Phương pháp:
+ Bước 1: Biến đổi 1 2 d
b
a
+ Bước 2: Đặt
1 1
u f x x
u f x
(Chọn dv sao cho v dễ lấy nguyên hàm)
+ Bước 3: Khi đó d
b b a a
I uv v u
VD1: Tính tích phân
1
2
1
1 2
2 4 ln
1 ln
4 1
1
e
e e
x
x
e
Trang 9-
VD2: Tính tích phân
1
5 0
5 5
1
0
1 1
0
0
3 4
3
1 5
x
x x
VD3: Cho hàm số f x thỏa mãn 3
1
4x1 f x dx5
và 13f 3 5f 1 1 Tính
3
1
d
I f x x
A I 0 B I 1 C I 1 D I 2
3
1
3 3 1 1 3 1
4 1 d 5
d
dv f x x v f x
VD4: Biết
2
2 1
ln
d ln 2
x c
(với a là số thực, b c là các số nguyên dương và , b
c là phân số
tối giản) Tính giá trị của 2a3bc
A. 4 B 6 C 6 D 5
Trang 102 1
2
2
ln
1
u = lnx du =
1
1
dv = d
v =
1
2
dx x x
x
x
C BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1) Tính các tích phân sau:
a)
2
3
5 1
2
3x 7 dx
x
2 0
3x2 x 5x
2 5 2
3 1
2x 4x 3
dx x
2 2 3 1
dx x
e)
4
2 0
3
1 sin cos
cos
x
2 1
2 3
2 1
x dx x
3 2 2
4 12 9
2 3
dx x
h) 2 2 3
2 1
dx x
1
5
0 3 2
dx
x
j)
3 2 2
2 1
8 7
x
dx
k)
3 2
23 5 2
dx
x x
l)
1
2
09 24 16
dx
x x
m)
1 2
0 4 9 12
dx
x x
4 2 3
2 3
4 4
x
dx
o)
4
2 0
2 cos
x
x
p)
2
0
cos 2 cos x x dx
2 0
sin 3 cos 2 x x dx
2 2 0
cos x dx
s) 2
2 0
cosx 2sin x dx
2) Tính các tích phân sau:
a)
2
2 3
0
1
x x dx
b)
1
3 2 0
1
x x dx
1 3
5 4
0 1
x dx
d) 1
7
3 2 0
1
x x dx
e) 1 2 6
0
1
x x dx
f)
1
0 2 1
xdx
x
g)
1 0
1
x xdx
1
0 2 1
xdx
x
i)
3 1
4
0 1
x
dx x
2 1
2 1 1
x dx
x x
2 5
1 1
dx
x x
10 10
3 10
2 1
dx
m)
1
1 ln
e
x dx x
n)
2 2
.ln
e
e
dx
1
1 3ln ln
e
x x dx x
1
ln
2 ln
e
x dx
Trang 11-
q)
ln 2
0 5
x
x
e dx
e
r)
ln 2
0 x 5
dx
e
s)
3
1 x 1
dx I
e
ln 2 0
1 1
x x
e dx e
2 0
sin 2 1 sinx x dx
3 4
3 2
cos sin sin cos
dx
w)
2
2 2 0
sin 2 cos 4sin
x
dx
x)
2 4
0
1 2sin
1 sin 2
x dx x
y)
2 0
sin 2 cos
1 cos
dx x
2 0
sin 2 sin
1 3cos
dx x
3) Tính các tích phân sau:
a)
2
0
cos
b) 1 2
0
2 x
x e dx
c) 2
1
.ln
e
x xdx
d) 3 2
1
.ln
e
x xdx
e) 1
2
0
2 x
x x e dx
f) 2
1
ln 1x dx
2 3 1
ln x dx x
h) 1
2 0
e x e dx
i)
1
3
2 ln
e
x
1 3 0
x
x e dx
k)
2 cos 0
.sin2
x
2 3 1
1
x
2
2
ln x x dx
n)
2 1
1 ln
e
x
xdx x
2 0
ln 1
x x dx
sin 0
cos cos
x
sin 0
tanx e x.cosx dx
2 4
ln sin cos
x dx x
2
2 0
4x dx
2
2 0
4
x x dx
u)
1
2 2
0
1
x x dx
v)
3
2
09
dx x
w)
1 2
1 2 5
dx
x)
3 2
2 4 7
dx
x x
y)
4
01 cos 2
x
dx x
z)
1 0
x
x dx e
4) Tính các tích phân sau:
a)
2
2
0
x x dx
0
cos x dx
c)
0
1 cos 2xdx
d) 1
2 0
1 4
x x
dx x
e)
4
2
0
tan x dx
3 3 0
tan xdx
g)
4 4 0
tan x dx
3 5 0
tan xdx
i)
2
6
4
cot x dx
2
3 2 0
sin x.cos xdx
k)
2
4 3 0
sin x.cos x dx
2 5 0
cos xdx
Trang 12m)
2
3 5
0
sin x.cos xdx
2 7 0
sin x.cosxdx
p)
2 4 4
sin
dx x
q)
4 6
0 cos
dx x
r)
2
4
4
sin
dx
x
s)
4 6
0 cos
dx x
t)
4
0cos sin cos
dx
5) Tính các tích phân sau:
a)
2
4
0
cos xdx
1 0
x
e dx
c)
2 1 2 1 2
1 e dx x x
tan 4 2
0cos
x e dx x
e)
1
2 1
1
ln
e
x
x
1
3 1 0
x x
x
3 2 3
.sin cos
dx x
h)
ln 5
ln 3 x 2 x 3
dx
i)
1 3 2
2 2
0
dx
1 3 2
3 2
0
dx