Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông : 1.. Định lí :.[r]
Trang 1Hệ thức lượng trong tam giác vuông
I Hệ thức trong tam giác vuông
1 Khái niệm :
Cho tam giác ABC vuông tại A , ta có :
Cạnh huyền : BC
Cạnh góc vuông : AC, AB
Đường cao : AH
Hình chiếu :
BH là hình chiếu của AB lên cạnh huyền BC
CH là hình chiếu của AC lên cạnh huyền BC
2 Các hệ thức :
1 Định lí 0 : (Pitago) BC 2 = AB 2 + AC 2
2 Định lí 1 : AB 2 =BC BH; AC 2 =BC CH
3 Định lí 2 : AH 2 = BH.CH
4 Định lí 3 : AB.AC = BC.AH
5 Định lí 4 : 1/AH 2 = 1/AB 2 + 1/AC 2
Bài tập 1 : Cho tam giác ABC như hình Tính AB, AC, AH
12,8
B
A
B
A
Trang 2hình vẽ, ta có : BC = BH + HC = 7,2 + 12,8 = 20
Theo hệ thức : AB2 =BC BH = 20.7,2 = 144
=> AB = = 12
AC2 =BC CH = 20.12,8 = 256
=> AC = = 16
AH2 = BH.CH = 7,2 12,8 = 92,16
=> AH = = 9,6
Bài tập 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, AB = 6cm, AC = 8cm
a) Tính độ dài : BC, HA, HB, HC
b) Tia phân giác góc BAC cắt BC tại D tính diện tích tam giác ABD
Giải
theo định lý Pitago : BC2
= AB2 + AC2= 62 + 82 = 100
=> BC = = 10cm
Theo hệ thức : AB2 =BC BH
62 =10 BH
=> BH = 36 : 10 = 3,6cm
AC2 =BC CH
82 =10 CH
=> CH = 64 : 10 = 6,4cm
AH2 = BH.CH = 3,6 6,4 = 23,04
=> AH = = 4,8cm b) Áp dụng tính chất đường phân giác :
=>DB = 6.10:14 = 30/7cm
=> SABD = AH.DB:2 = 4,8 30/7 : 2 = 72/7cm2
Trang 3II Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông :
1 Định nghĩa :
2 Định lí :
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia
sin A = cos B cos A = sin B
tan A = cotg B cotg A = tan B
2 Định lí so sánh :
cho 0 ≤ α1 < α2 ≤ 900
, ta có : sinα1 < sinα2
tanα1 < tanα2
cosα1 > cosα2
cotgα1 > cotgα2
Một số kết quả đáng nhớ :
1 sin2 α + cos2 α = 1
2 tan α cotg α = 1
3 tan α =
4 cotg α =
bài tập mẫu :
Bài tập 1 : sắp xếp theo thứ tự tăng dần :
sin 610; cos 520; sin 340 ; cos 730
ta có :
Trang 437
D
B
A
cos 520 = cos (900 – 380) = sin 380
cos 730 = cos (900 – 170) = sin 170
theo định lý so sánh : 170
< 340 < 380 < 610 => sin 170 < sin 340 < sin 380 < sin 610 vậy : cos 730
< sin 340 < cos 520 < sin 610
Bài tập 2 :Tính : (không dùng bảng số và máy tính )
A = sin2 350 + tg 220 + sin2 550 – cotg 130 : tg 770 – cotg 680
= (sin2 350 + sin2 550) – (cotg 130 : tg 770) + (tg 220 – cotg 680)
= (sin2 350 + cos2 350) – (tg 770 : tg 770) + (tg 220 – tg 220)
= 1 – 1 + 0 = 0
Bài 3 : Cho ΔABC vuông tại A, biết AC = 12cm, cos C = 4/5
a ) iải tam giác ABC
b ) Tính độ dài đường cao AH, đường phân giác AD của ΔABC
Giải
Theo đề bài : cos C = 4/5 => = 370
Ta có : + = 900 => = 900 – = 900
– 370 = 530 Trong ΔABC vuông tại A, ta có :
cos C = => BC = AC : cos C = 12 : = 15cm
Trang 5Theo định lý Pitago : BC2
= AB2 + AC2=> AB2 = BC2 – AC2
= 152 – 122 = 81
=> AB = 9cm
b) độ dài đường cao AH :
theo hệ thức : BC AH = AB AC => AH = AB AC : BC
= 9 12 : 15 = 7,2cm
Áp dụng tính chất đường phân giác :
=> DB = 5 9 : 7 = 6,43 cm
theo hệ thức : AB2 = BC BH => 92 = 15 BH => BH = 5,4 cm
Trên tia BC, ta có : BH < BD => H nằm giữa B và D
=> BD = BH + HD => HD = BD – BH = 6,43 – 5,4 = 1,03cm
Theo định lý Pitago Trong ΔAHD vuông tại H, ta có :
AD2 = AH2 + HD2= 7,22 + 1,032= 52,9009
=> AD = 7,233 cm
Bài toán tổng hợp : Cho ΔABC có ba góc nhọn, kẻ đường cao AH
a ) Chứng minh : sinA + cosA > 1
b ) Chứng minh : BC = AH.(cotgB + cotgC)
c ) Biết AH = 6cm, góc B = 600, góc C = 450 Tính diện tích ΔABC
Giải
D
B
A
Trang 6trong ΔABD vuông tại D, ta có :
mà : DB + AD > AB => > 1 vậy : sinA + cosA > 1
b) theo hệ thức : BH = AH cotgB
HC = AH cotgC
mà : BC = BH + HC = AH cotgB + AH cotgC = AH.(cotgB + cotgC)
vậy : BC = AH.(cotgB + cotgC) c) Biết AH = 6cm, góc B = 600, góc C = 450
BC = 6.(cotg 600 + cotg 450)
SABC =