Giải phương trình mũ bằng phương pháp logarit hóa

Lấy logarit hai vế với cơ số , ta được:.[r]

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA

Phương pháp

Dạng 1: ag(x) = f(x) (0 < a ≠ 1)  { ( )

( ) ( )

Dạng 2: af(x) = bg(x) (0 < a,b ≠ 1)  ( ) ( )

 f(x) = g(x)

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

1 ( ) = ( ) 2

Lời giải

1 Phương trình 

(1) x2 + 1 = 1  x = 0

(2) |x2 – 5x + 4| = x + 4  {

( ) ( )

( )( )  x = 0 và x = 6

Vậy phương trình có nghiệm : x = 0; x = 6

Chú ý: Lấy logarit 2 vế, bài toán cho lời giải đẹp

2 Cách 1:  

Lấy logarit cơ số 2 vế Ta được:

( ) <=> ( ) ( )

 (x – 3)  x = 3 hoặc x =

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x = 3 và x =

Cách 2:  ( )   ( )

 ( )  ( )

 x – 3 = 0  x = 3

Hoặc = 1  x =

Ví dụ 2: Giải các phương trình:

1 2 49 3

Lời giải

1 Điều kiện: 0 < x ≠ 1

Lấy logarit cơ số 5 cả 2 vế phương trình cho ta được:

( ) hay

 ( ) (*)

Đặt , phương trình (*) trở thành 6t2

+ 5t – 1 = 0, phương trình này có 2 nghiệm t = -1 hoặc t =

Với t = -1 tức  x = 5-1

= Với t = tức =  x = = √

Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm: x ∈ {√

2 Phươn trình ch tươn đươn (*)

Lấy arit cơ số 2 hai vế phươn trình (*) ta được:

 x2 – 4 = (x – 2)  (x – 2)(x + 2 - ) = 0

 x = 2 hoặc x = – 2

Vậy, phươn trình đã ch có n hiệm x = – 2 , x = 2

3 Lấy logarit hai vế với cơ số , ta được:



 x + (x2 - 1) = -1  x + 1 + (x2 – 1) = 0

 (x + 1) + (x +1)(x – 1) = 0

 (x +1)[1 + (x – 1) = 0

 x + 1 = 0  x = -1

1 + (x -1) = 0  x  x = 1 -

Vậy phương trình có nghiệm: x = -1, x = 1 -

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các phương trình:

1 2

3 ( ( ) ) 4

5 6

Bài 2: Giải các phương trình:

1 ( ) 2 ( )

3 ( ) 4 ( ) ( )

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:

1 Với điều kiện x > 0, lấy logarit cơ số 4 cả 2 vế rồi đưa phương trình về dạng:

( ) , ta tìm được x = 4

2 Với điều kiện x ≠ 1, lấy logarit cơ số 2 cả hai vế phương trình ta được:

, quy đồng rồi đưa phương trình về dạng:

( ) ,

phương trình này có 2 nghiệm : x = 2 hoặc x = -1 -

3 Với điều kiện x > 0, lấy logarit cơ số 5 cả 2 vế rồi đưa phương trình về dạng: [( )  ( )

4  ( )  ( )

   ( )

 x = 0 Hoặc 1 + 

 x = =

5 Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình, ta được: ( )  x2 – 2x - = 0

 x = √ hoặc x = √

6 Phương trình cho  ( )  ( )

 x – 1 = (x + 1)( )  ( )



Bài 2: 1 Lấy ln hai vế, ta được (x2 – 1)ln(x2 – x + 1) = 0  x2 – 1 = 0  x = -1, x = 1 ln(x2 – x + 1) = 0  x2 – x = 0  x = 0, x = 1 Phương trình cho có 3 nghiệm x = -1; x = 0; x = 1 2 Phương trình  ( ) ( )

 {

( )( )

 {

√ Vậy, phương trình có 3 nghiệm: x = -4, x = √

( )( )

 {

Vậy phương trình có nghiệm x = 1; x = 2

4 ( ) [( ) ( ) ( )

 (1) x = 3 = 1  x = 4

(2) {

 {

, Vậy x = 4, x = 5