Giải phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các phương trình:.[r]

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

Phương pháp

Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

 a = 1 hoặc {

Logarit hóa và đưa về cùng cơ số:

Dạng 1: Phương trình:  {

Dạng 2: Phương trình:

  f(x) = g(x)

Hoặc  f(x) = g(x)

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

1 2

Lời giải

1   x2 – x + 8 = 2(1 – 3x)

 x2 + 5x + 6 = 0  x = - 2, x = -3

Vậy, phương trình cho có nghiệm x = -2, x = -3

2 

 4 = 10   x = 1

Vậy, phương trình cho có nghiệm x = 1

Ví dụ 2: Giải các phương trình:

1 2 √ √ √ = √

Lời giải

1 Điều kiện x -2

Phương trình cho   

 (x-4)(x + 2 + ) = 0  x = 4 hoặc x = -2 -

Vậy, phương trình cho có nghiệm: x = 4 hoặc x = -2 -

2 Điều kiện: {

Vì các cơ số của các lũy thừa đều viết được dưới dạng lũy thừa cơ số 2 nên ta biến đổi hai

vế của phương trình về lũy thừa cơ số 2 và so sánh hai số mũ

Phương trình  √ 

 

 5x2 – 14x – 3 = 0

 x = - hoặc x = 3

Kết hợp với điều kiện ta có x = 3 là nghiệm của phương trình

Ví dụ 3: Giải phương trình:

Lời giải

Phương trình cho 

 -

 (

x2 – 3x + 2 = 0  x = 1 hoặc x = 2

2x2 + 6x + 5 = 0, phương trình này vô nghiệm

Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm x = 1, x = 2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các phương trình:

1 2

3 9.22x = √ 4

5 6

7 x2.2x+1 + 2|x-3| + 2 = x2 2|x-3| + 4 + 2x – 1 8

9 10 √ √

Bài 2: Giải các phương trình: 1 )

2

Bài 3: Giải các phương trình: 1 2x + 2x+1 + 2x+3 = 3x + 3x+1 + 3x+2 2

3 √ √ √ 4

Bài 4: Giải các phương trình: 1 15x – 3.5x + 3x = 3 2

3

4

5

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:

1 Phương trình cho tương đương với: 5.5x – 5x = 2.2x +8.2x

 4.5x

= 10.2x   x = 1

Vậy, phương trình có nghiệm x = 1

2 Điều kiện: x 10, x 15

 

,

Quy đồng rồi rút gọn ta được: x2 – 20x = 0  x = 0 hoặc x = 20 Vậy, phương trình cho có nghiệm x = 0, x = 20 3

 81.42x = 64.3.32x 



 2x = 3  x =

4 Phương trình cho  √

√  (√

√ ) ( )

 √  √ 

 x = 2 5 Phương trình đã cho  



6 Phương trình đã cho 



7 Phương trình đã cho  4x2 2x-1 – 2x-1 = 4x2 2|x-3|+ 2 – 2|x-3| + 2  2x-1 (4x2 – 1) – 2|x-3| + 2 (4x2 – 1) = 0  (4x2 – 1)(2x- 1 – 2|x-3| + 2) = 0  2 trường hợp: (1) 4x2 – 1 = 0  x =

(2) 2x-1 = 2|x-3| + 2

 x – 1 = |x – 3| + 2

 Với x x – 1 = x – 3 + 2  vô nghiệm

Với x < 3 thì x – 1 = 3 – x + 2  x = 3

Vậy x = hoặc x = 3

8 Phương trình đã cho 

  1 + cos2x = sin2x

9 Phương trình đã cho   x2 + 3x – 4 = 2x -2

 x2 + x – 2 = 0  (x – 1)(x + 2) = 0

 x = 1 và x = -2

10 Phương trình đã cho  √ √

 3x + 1 = -5x – 8  x =

Bài 2:

1 Phương trình cho tương đương với:

 

=> x2 = 3 tức x = √

Vậy, phương trình cho có nghiệm x = √

2 Phương trình cho

 3.4x + 27.9x = 96.4x  21.9x = 62.4x

 x =

Vậy, phương trình cho có nghiệm x =

Bài 3:

1 Ta có phương trình

 2x + 2.2x + 4.2x = 3x + 3.3x + 9.3x  7.2x = 13.3x

  x =

2 Phương trình  x2 -5x + 6 = (x – 3)

 (x – 2)(x – 3) – (x – 3) = 0

 (x – 3)(x – 2 - = 0

 x = 3, x = 2 +

3 Phương trình 

  x =

4 (x2 + x) – (x2 – x) = 2x => x2 + x = (x2 – x) + 2x

Pt 



 ( )

Bài 4:

1 Biến đổi phương trình cho về phương trình: (3x – 3)(5x + 1) = 0

2

3 Đặt u = 2x-1 + 1, v = 21 – x + 1 , u > 1, v > 1

u = v = 2 => x = 1, u = 9, v = => x = 4

4 Cần tìm a,b,c R sao cho x2

+ 5x + 1 = a(2x2 + 2x) + b(8x – 4) + c, đồng nhất thức hai

vế ta được a = , c = 3

Phương trình cho viết lại:

( ) (*)

Đặt u = , u > 0 và v = 34x – 2 , v > 0

Phương trình (*) trở thành (25u – v)(-2u + v) = 0

Đáp số: phương trình cho vô nghiệm

5 Nhận thấy (x2 + x) – (x2 – x) = 2x

Đặt u = , u > 0 và v = , v > 0 => 22x =

Phương trình đã cho trở thành: u – 4v - + 4 = 0

 uv – 4v2 – u + 4v = 0  (u – 4v)(v – 1) = 0

* u = 4v =>  x2 + x = x2 – x + 2  x = 1

* v = 1 => = 1  x2 – x = 0  x = 0 hoặc x = 1

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0, hoặc x = 1